Die arithmetische Quadratwurzel einer Zahl \(a\) ist diejenige Zahl, deren Quadrat gleich \(a\) ist, und nur ihr nicht-negativer Wert wird als arithmetische Quadratwurzel bezeichnet: \(\sqrt{25} = 5\). Man kann die Wurzel nur aus nicht-negativen Zahlen ziehen, aber die Eigenschaften der Wurzel verwandeln sperrige Ausdrücke in kurze. Auf dieser Seite finden Sie die Definition und den Definitionsbereich, alle Eigenschaften der Quadratwurzel mit Formeln, eine Tabelle der Quadratwurzeln von 1 bis 20, Methoden zum Ziehen der Wurzel und Herausziehen von Faktoren, durchgearbeitete Beispiele, häufige Fehler und ein interaktives Übungsgerät.
Was ist die Quadratwurzel einer Zahl
Die Quadratwurzel einer Zahl \(a\) ist eine Zahl, deren Quadrat gleich \(a\) ist. Das Ziehen der Wurzel und das Quadrieren sind umgekehrte Operationen: Aus \(7^2 = 49\) folgt unmittelbar, dass die Quadratwurzel aus 49 gleich 7 ist.
Eine positive Zahl hat jedoch genau zwei Quadratwurzeln, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden: \(5^2 = 25\) und \((-5)^2 = 25\), das heißt, die Quadratwurzeln aus 25 sind sowohl \(5\) als auch \(-5\). Damit die Schreibweise \(\sqrt{25}\) eine einzige Zahl bezeichnet, hat man vereinbart: Das Zeichen \(\sqrt{\phantom{a}}\) steht nur für die nicht-negative Wurzel. Diese nennt man arithmetische Quadratwurzel.
Die Schreibweise hat ihre eigenen Bezeichnungen: das Zeichen \(\sqrt{\phantom{a}}\) ist der Radikal, und die Zahl oder der Ausdruck darunter ist der Radikand.
Arithmetische Quadratwurzel: Definition und Definitionsbereich
Die arithmetische Quadratwurzel aus einer nicht-negativen Zahl \(a\) ist die nicht-negative Zahl, deren Quadrat gleich \(a\) ist. Sie wird mit \(\sqrt{a}\) bezeichnet und als „Wurzel aus a“ gelesen.
In der Definition stecken zwei Bedingungen, und beide sind gleichermaßen wichtig:
- Der Radikand ist nicht-negativ: \(a \ge 0\);
- Der Wert der Wurzel ist nicht-negativ: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Daraus ergibt sich unmittelbar: \(\sqrt{25} = 5\), nicht \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); und die Schreibweise \(\sqrt{-9}\) hat in den reellen Zahlen keine Bedeutung – es gibt keine Zahl, deren Quadrat negativ ist.
Die erste Bedingung legt den Definitionsbereich des Wurzelausdrucks fest. Zum Beispiel ist \(\sqrt{x-7}\) sinnvoll für \(x - 7 \ge 0\), also für \(x \ge 7\): Jeder kleinere Wert von \(x\) würde eine negative Zahl unter die Wurzel bringen.
Aus der Definition folgt auch die Gleichung \((\sqrt{a})^2 = a\) für \(a \ge 0\): Das Quadrieren der Wurzel liefert die Zahl unter der Wurzel zurück. Dies gilt auch dann, wenn wir die Wurzel selbst nicht genau berechnen können: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabelle der Quadratwurzeln: Quadrate von Zahlen von 1 bis 20
Eine Wurzel ist genau dann ganzzahlig, wenn die Zahl unter der Wurzel ein perfektes Quadrat ist. Daher funktioniert die Tabelle der Quadrate auch als Tabelle der Quadratwurzeln: Man liest sie in beide Richtungen – \(14^2 = 196\), also \(\sqrt{196} = 14\).
Die Tabelle hilft nicht nur bei ganzen Zahlen:
- Dezimalbrüche: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), weil \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- Gewöhnliche Brüche: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) – die Wurzel wird separat für den Zähler und separat für den Nenner gezogen;
- Ganzzahlige Vielfache von 10: \(\sqrt{2500} = 50\), denn \(2500 = 25 \cdot 100\), und die Wurzel jedes Faktors ist bekannt.
Eigenschaften der Quadratwurzel
Die Eigenschaften der Quadratwurzel ermöglichen es, Ausdrücke zu berechnen, ohne jede Wurzel einzeln zu ziehen, und das Ergebnis zu vereinfachen.
Die Wurzel aus einem Produkt ist gleich dem Produkt der Wurzeln: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) für \(a \ge 0\) und \(b \ge 0\). Zum Beispiel ist \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) – das gleiche Ergebnis wie \(\sqrt{144}\).
Die Wurzel aus einem Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) für \(a \ge 0\) und \(b > 0\). Zum Beispiel ist \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Die Bedingung \(b > 0\) ist streng: Durch Null darf nicht geteilt werden.
Die Wurzel aus einem Quadrat ist gleich dem Betrag: \(\sqrt{a^2} = |a|\), und das gilt für jede Zahl \(a\). Hier liegt die Hauptschwierigkeit des gesamten Themas. Wenn \(a \ge 0\), ändert sich nichts: \(\sqrt{7^2} = 7\). Aber bei negativem \(a\) wird das Vorzeichen „geradegezogen“: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), nicht \(-6\) – denn die arithmetische Wurzel kann nicht negativ sein.
Das Quadrieren der Wurzel liefert die Zahl unter der Wurzel zurück: \((\sqrt{a})^2 = a\) für \(a \ge 0\).
Für Summen und Differenzen gibt es jedoch keine ähnlichen Eigenschaften: Die Wurzel aus einer Summe ist nicht gleich der Summe der Wurzeln. Das ist der häufigste Fehler bei diesem Thema, die Erklärung folgt weiter unten.
| Eigenschaft und Bedingung | Beispiel |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bfür a ≥ 0 und b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bfür a ≥ 0 und b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|für jedes a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = afür a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bfür b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Wie man die Quadratwurzel aus einer Zahl zieht
Ein Taschenrechner ist nicht immer zur Hand, und Schulaufgaben sind fast immer so gestellt, dass die Wurzel gezogen werden kann. Die Vorgehensweise ist wie folgt.
- Prüfe in der Tabelle der Quadrate. Wenn die Zahl in der Tabelle steht, ist die Antwort fertig: \(\sqrt{289} = 17\).
- Trenne einen runden Faktor ab. Bei Zahlen mit Nullen ist es praktisch, \(100\), \(10\,000\) usw. abzusondern: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Zerlege in Primfaktoren. Dies ist eine universelle Methode: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), die Exponenten werden halbiert und man erhält \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Wandle den Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Gleichzeitig vermeidet man den Verlust einer Stelle.
- Wenn kein perfektes Quadrat vorhanden ist – die Wurzel ist irrational. Dann lässt man sie entweder im Antwortsymbol stehen (man schreibt: \(\sqrt{30}\)) oder schätzt sie zwischen benachbarten Quadraten.
Die Überprüfung dauert eine Sekunde: Man quadriert die erhaltene Zahl und prüft, ob die Zahl unter der Wurzel zurückkehrt. \(24^2 = 576\) – richtig.
Herausziehen eines Faktors aus dem Wurzelzeichen
Eine Wurzel wird selten „roh“ belassen – alles, was herausgezogen werden kann, wird herausgezogen. Die Eigenschaft \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) für \(b \ge 0\) gilt: Man sucht den größten quadratischen Teiler der Zahl unter der Wurzel.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Die umgekehrte Operation ist das Einbringen eines Faktors unter die Wurzel: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) für \(a \ge 0\). Zum Beispiel ist \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Bei negativen Faktoren ist Vorsicht geboten: Ein Minuszeichen kommt nicht unter die Wurzel und bleibt davor. Die korrekte Schreibweise ist \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), nicht \(\sqrt{12}\).
Warum ist das nötig: Nach dem Herausziehen von Faktoren werden Wurzeln mit demselben Radikanden zu ähnlichen Termen, die man addieren kann. Das Einbringen eines Faktors unter die Wurzel ist die schnellste Methode, um zwei Ausdrücke mit Wurzeln zu vergleichen.
Was ist die Quadratwurzel, die sich nicht ziehen lässt
Wenn die Zahl unter der Wurzel kein perfektes Quadrat ist, ist die Wurzel eine irrationale Zahl: ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht-periodisch. Zum Beispiel ist \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), und der genaue Wert wird nur mit dem Symbol \(\sqrt{2}\) geschrieben. Ein gerundeter Wert wird nur angegeben, wenn dies in der Aufgabe verlangt wird.
Man kann eine solche Wurzel ohne Taschenrechner abschätzen: Finde zwei benachbarte perfekte Quadrate, zwischen denen die Zahl unter der Wurzel liegt. Die Vergleichsregel gilt: Für \(a \ge 0\) und \(b \ge 0\) folgt aus \(a < b\), dass \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) – einer größeren Zahl unter der Wurzel entspricht eine größere Wurzel.
Beispiele für Berechnungen mit Quadratwurzeln
Beispiel 1. Wert eines Wurzelausdrucks
Berechne \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Schritt 1. \(\sqrt{121} = 11\), weil \(11^2 = 121\).
Schritt 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), weil \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Schritt 3. Die Wurzel aus dem Bruch ziehen wir für Zähler und Nenner getrennt: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Schritt 4. Addieren: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Antwort: 11.
Beispiel 2. Wurzel aus einem Produkt
Berechne \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Schritt 1. Einzeln lassen sich diese Wurzeln nicht ziehen, also fassen wir sie zu einer zusammen: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Schritt 2. Berechne das Produkt unter der Wurzel: \(8 \cdot 18 = 144\).
Schritt 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Anderer Weg – Faktoren vorher herausziehen: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) und \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), dann \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Die Ergebnisse stimmen überein.
Antwort: 12.
Beispiel 3. Wurzelziehen durch Zerlegung in Faktoren
Berechne \(\sqrt{576}\) und \(\sqrt{6400}\).
Schritt 1. Die Zahl 576 steht nicht in der Tabelle der Quadrate, also zerlegen wir sie in Primfaktoren: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Schritt 2. Die Exponenten werden halbiert: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Schritt 3. Überprüfung. \(24^2 = 576\) – richtig.
Schritt 4. Bei der Zahl 6400 ist es praktischer, einen runden Faktor abzusondern: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Überprüfung: \(80^2 = 6400\).
Antwort: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Beispiel 4. Herausziehen von Faktoren und Zusammenfassen ähnlicher Terme
Vereinfache \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Schritt 1. Ziehe die Faktoren aus jeder Wurzel heraus: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), also ist \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Schritt 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Schritt 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Schritt 4. Nur Wurzeln mit demselben Radikanden können addiert werden: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), und der Term mit \(\sqrt{3}\) bleibt separat.
Antwort: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Beispiel 5. Wurzel aus dem Quadrat einer Variablen
Vereinfache \(\sqrt{(x-4)^2}\) für \(x < 4\).
Schritt 1. Nach der Eigenschaft der Wurzel aus einem Quadrat ist \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) – schreibe sofort den Betrag, nicht \(x - 4\).
Schritt 2. Löse den Betrag gemäß der Bedingung auf. Wenn \(x < 4\), dann ist die Differenz \(x - 4\) negativ, und der Betrag einer negativen Zahl ist die entgegengesetzte Zahl: \(|x-4| = 4 - x\).
Schritt 3. Überprüfung. Wähle \(x = 1\): Links \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), rechts \(4 - 1 = 3\) – stimmt überein.
Antwort: \(4 - x\). Zum Vergleich: Für \(x \ge 4\) wäre die Antwort \(x - 4\).
Beispiel 6. Vergleich von Wurzelausdrücken
Vergleiche \(3\sqrt{5}\) und \(5\sqrt{2}\).
Schritt 1. Beide Zahlen sind positiv, also bringen wir den Faktor unter die Wurzel: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Schritt 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Schritt 3. Vergleiche die Zahlen unter der Wurzel: \(45 < 50\), und einer größeren Zahl unter der Wurzel entspricht eine größere Wurzel.
Antwort: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Häufige Fehler bei der Arbeit mit Quadratwurzeln
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Man schreibt $\sqrt{a^2} = a$ und vergisst den Betrag.
Die korrekte Gleichung ist \(\sqrt{a^2} = |a|\). Für eine negative Zahl ist dies entscheidend: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), nicht \(-13\). Die arithmetische Wurzel kann nicht negativ sein, daher wird das Vorzeichen unter der Wurzel „geradegezogen“.
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Man glaubt, die Wurzel aus einer Summe sei gleich der Summe der Wurzeln: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Eine solche Eigenschaft gibt es nicht. Zuerst führt man die Operation unter der Wurzel durch: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), nicht 7. Eigenschaften gibt es nur für Produkte und Quotienten: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) und \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
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Man antwortet, dass $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) – die arithmetische Wurzel ist immer eindeutig und nicht-negativ. Zwei Werte ergeben sich bei einer anderen Aufgabe: Die Gleichung \(x^2 = 49\) hat die Lösungen \(x = 7\) und \(x = -7\). Die Schreibweise der Wurzel darf nicht mit der Lösung einer Gleichung verwechselt werden.
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Man schreibt $\sqrt{-16} = -4$ und argumentiert mit „Minus mal Minus“.
Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen: \((-4)^2 = 16\), nicht \(-16\), daher hat \(\sqrt{-16}\) in den reellen Zahlen keine Bedeutung. Der Ausdruck \(-\sqrt{16} = -4\) ist jedoch durchaus korrekt – das Minuszeichen steht vor der Wurzel, nicht darunter.
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Man bringt einen negativen Faktor unter die Wurzel: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Die Regel \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) gilt nur für \(a \ge 0\). Das Minuszeichen bleibt davor: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Überprüfung mit Vorzeichen: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), und \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) – die Zahlen sind entgegengesetzt.
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Man verliert eine Stelle bei Dezimalbrüchen: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Überprüfe mit der Umkehrung durch Quadrieren: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), stimmt nicht. Richtig ist \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), denn \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Eine zuverlässige Methode ist der Übergang zum gewöhnlichen Bruch: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
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Man ist sicher, dass die Wurzel immer kleiner als die Zahl selbst ist.
Das gilt nur für Zahlen größer als Eins. Im Intervall von 0 bis 1 ist es umgekehrt: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), und \(0{,}5\) ist größer als \(0{,}25\). Für 0 und 1 ist die Wurzel gleich der Zahl selbst.
Fragen und Antworten
Was ist die arithmetische Quadratwurzel einfach ausgedrückt?
Das ist die nicht-negative Zahl, die beim Quadrieren die Zahl unter der Wurzel ergibt. Man schreibt \(\sqrt{a}\), wobei der Radikand nicht-negativ sein muss: \(a \ge 0\). Zum Beispiel ist \(\sqrt{64} = 8\), weil \(8 \ge 0\) und \(8^2 = 64\).
Worin unterscheidet sich die Quadratwurzel von der arithmetischen Quadratwurzel?
Eine positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln – entgegengesetzt im Vorzeichen. Als arithmetische Quadratwurzel bezeichnet man nur die nicht-negative davon, und nur diese wird durch das Zeichen \(\sqrt{\phantom{a}}\) dargestellt. Daher ist \(\sqrt{25} = 5\), obwohl die Gleichung \(x^2 = 25\) zwei Lösungen hat: 5 und \(-5\).
Wie zieht man die Quadratwurzel aus einer Zahl ohne Taschenrechner?
Prüfe zuerst die Zahl in der Tabelle der Quadrate. Wenn sie dort nicht steht – zerlege sie in Faktoren und isoliere perfekte Quadrate: \(784 = 16 \cdot 49\), daher ist \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Überprüfe die Antwort immer mit der Umkehroperation: \(28^2 = 784\).
Kann man die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen?
In den reellen Zahlen – nein: Das Quadrat jeder Zahl ist nicht-negativ, daher hat der Ausdruck \(\sqrt{-9}\) keine Bedeutung. Genau aus dieser Bedingung sucht man den Definitionsbereich: Zum Beispiel existiert \(\sqrt{x-7}\) nur für \(x \ge 7\).
Was ist die Wurzel aus dem Quadrat einer Zahl?
Dem Betrag dieser Zahl: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Bei nicht-negativem \(a\) erhält man die Zahl selbst, bei negativem \(a\) die entgegengesetzte Zahl: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Wie zieht man einen Faktor aus dem Wurzelzeichen heraus?
Finde den größten quadratischen Teiler der Zahl unter der Wurzel und wende die Eigenschaft \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) an. Zum Beispiel ist \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Die Umkehroperation ist das Einbringen eines Faktors unter die Wurzel: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Was ist die Quadratwurzel aus 2?
Die Zahl \(\sqrt{2}\) ist irrational: ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht-periodisch, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Ein exakter Wert als Bruch existiert nicht, daher lässt man ihn in Antworten als Symbol \(\sqrt{2}\) stehen und rundet nur, wenn die Aufgabenstellung dies verlangt.
Wie vergleicht man zwei Zahlen mit Wurzeln, ohne sie zu berechnen?
Bringe die Faktoren unter die Wurzel und vergleiche die Zahlen unter der Wurzel: Einer größeren Zahl unter der Wurzel entspricht eine größere Wurzel. Zum Beispiel \(\sqrt{17}\) und 4: Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(17 > 16\), ist \(\sqrt{17} > 4\).
In welcher Klasse werden Quadratwurzeln behandelt?
In der 8. Klasse im Algebraunterricht: zuerst die Definition der arithmetischen Quadratwurzel und ihre Eigenschaften, dann die Umformung von Wurzelausdrücken und die Lösung von Gleichungen der Form \(x^2 = a\). Weiterhin kommen Wurzeln in der Diskriminantenformel und in Aufgaben der OGE und des ЕГЭ vor.
