Ungleichungen lösen: Arten von Ungleichungen und wie man sie löst

Die Lösung einer Ungleichung ist jeder Wert der Variablen, der die Ungleichung in eine wahre numerische Ungleichung umwandelt. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle solchen Werte zu finden und sie als Menge zu schreiben.

Vergleiche es mit einer Gleichung. Bei der Gleichung \(2x = 8\) ist die Antwort eine Zahl \(x = 4\). Bei der Ungleichung \(2x < 8\) ist die Antwort unendlich viele Zahlen: \(3\), \(0\), \(-100\) und \(3.999\) passen alle. Sie einzeln aufzuzählen ist unmöglich, daher wird die Antwort als Intervall geschrieben: \(x < 4\), also \((-\infty;\ 4)\).

Es ist einfach zu überprüfen, ob eine bestimmte Zahl eine Lösung ist: setze sie für die Variable ein und schaue, ob eine wahre Ungleichung herauskommt.

• \(x = 1\) in der Ungleichung \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) – wahr, also ist \(1\) eine Lösung.
• \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) – falsch, also ist \(5\) keine Lösung.

Zwei Ungleichungen werden als äquivalent bezeichnet, wenn sie dieselben Lösungs­mengen haben. Die gesamte Lösung einer Ungleichung ist eine Kette von Übergängen zu einer einfacheren äquivalenten Ungleichung, bis links nur noch ein einzelnes \(x\) übrig bleibt.

Es gibt vier Zeichen, und davon, welches davon steht, hängen die Antwort und die Schreibweise ab. Strenge Zeichen < und > schließen den Grenzpunkt selbst nicht in die Antwort ein, nicht-strenge ≤ und ≥ – schließen ihn ein.

Dieser Unterschied zieht sich durch die gesamte Lösung: ein strenges Zeichen ergibt einen leeren Punkt auf der Achse und eine runde Klammer in der Antwort, ein nicht-strenges – einen ausgefüllten Punkt und eine eckige Klammer.

Mit einer Ungleichung darf man fast dasselbe machen wie mit einer Gleichung, aber mit einer wichtigen Einschränkung. Addieren und subtrahieren kann man frei: Wenn man zu beiden Seiten dasselbe addiert oder von beiden Seiten dasselbe subtrahiert, ändert sich die Lösungsmenge nicht. So werden Terme über das Gleichheitszeichen „geschoben“, indem ihr Vorzeichen geändert wird.

Das Multiplizieren und Dividieren hängt jedoch vom Vorzeichen des Faktors ab. Beim Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten mit einer negativen Zahl ändert sich das Ungleichheitszeichen in das Gegenteil: < wird zu >, ≤ wird zu ≥ und umgekehrt. Der Grund ist bei Zahlen sichtbar: Aus dem wahren \(3 < 5\) wird nach der Multiplikation mit -1 \(-3\) und \(-5\), und \(-3 > -5\) – die Reihenfolge der Zahlen hat sich umgekehrt.

Dasselbe passiert, wenn man die linke und rechte Seite vertauscht: Aus \(7 < y\) wird \(y > 7\).

Wenn die Variable allein steht, ist die Lösung fast fertig – es bleibt nur noch, sie zu formatieren. Am praktischsten ist es, die Lösung zuerst auf der Zahlengeraden zu markieren und von dort aus das Intervall abzulesen.

Es gibt nur drei Regeln für die Schreibweise, und sie ändern sich nicht je nach Art der Ungleichung:

• runde Klammer – der Punkt ist nicht in der Antwort enthalten (strenges Zeichen, leerer Punkt);
• eckige Klammer – der Punkt ist enthalten (nicht-strenges Zeichen, ausgefüllter Punkt);
• bei Unendlich ist die Klammer immer rund: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) – die Schreibweise \([-\infty;\ 4]\) existiert nicht, Unendlich ist keine Zahl und kann nicht erreicht werden.

Wenn die Lösung aus zwei Teilen der Achse besteht, werden diese mit dem Vereinigungszeichen \(\cup\) verbunden: z. B. \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).

Ungleichungen werden danach unterschieden, wie die Variable darin vorkommt – ob sie in erster Potenz, unter dem Quadrat, im Nenner oder unter dem Betrag steht. Genau das bestimmt die Lösungsmethode, daher ist der erste Schritt jeder Lösung, die Art der Ungleichung zu erkennen. Die allgemeine Logik ist immer dieselbe: die Ungleichung in die Form „Ausdruck wird mit Null verglichen“ bringen und dann die für diese Art passende Methode anwenden. Eine Zusammenfassung der Arten und Methoden finden Sie in der Tabelle unten.

Gesondert zu merken ist, wie der Betrag aufgelöst wird – die Tabelle kann das nicht erfassen. Bei \(a > 0\) ist die Ungleichung \(|f(x)| < a\) äquivalent zur doppelten Ungleichung \(-a < f(x) < a\) (ergibt ein System), und \(|f(x)| > a\) – zur Alternative \(f(x) < -a\) oder \(f(x) > a\) (ergibt eine Vereinigung von Intervallen). Wenn aber \(a < 0\), gibt es nichts zu überlegen: der Betrag ist nicht negativ, daher hat \(|f(x)| < a\) keine Lösungen, und \(|f(x)| > a\) ist für alle zulässigen \(x\) wahr.

Irrationale (mit Wurzel) und exponentielle Ungleichungen werden in der Oberstufe behandelt: zu den üblichen Umformungen kommt dort die Arbeit mit dem Definitionsbereich hinzu.

Detaillierte Erklärungen zu einzelnen Arten: lineare Ungleichungen, rationale Ungleichungen und das Intervallverfahren, und die Wurzeln eines quadratischen Dreiglieds lassen sich gut mit dem Satz von Vieta finden.

Oft zerfällt eine Ungleichung in zwei, und dann ist es wichtig, nicht zu verwechseln, was mit den erhaltenen Mengen zu tun ist.

Ein System (geschweifte Klammer) bedeutet „sowohl das eine als auch das andere gleichzeitig“. Jede Ungleichung wird separat gelöst, beide Antworten auf einer Achse markiert und die Schnittmenge – der gemeinsame Teil – gebildet. Wenn es keinen gemeinsamen Teil gibt, hat das System keine Lösungen.

Eine Alternative (eckige Klammer) bedeutet „entweder das eine oder das andere“. Hier wird die Vereinigung gebildet – alles, was von mindestens einer der Antworten eingefärbt ist. Eine Alternative entsteht zum Beispiel beim Auflösen eines Betrags mit dem Zeichen „größer“.

Gesondert zu erwähnen ist die doppelte Ungleichung der Form \(-3 < 2x + 1 \le 7\): das ist eine Kurzschreibweise für ein System. Die Umformungen werden sofort für alle drei Teile durchgeführt – subtrahiert, dividiert, und beim Dividieren durch eine negative Zahl werden beide Zeichen zusammen umgedreht.