Potenzgesetze sind acht Regeln, nach denen Potenzen multipliziert, dividiert, potenziert und vereinfacht werden. Diese Seite sammelt alle Formeln in einer Tabelle: Produkt und Quotient von Potenzen mit gleicher Basis, Potenz einer Potenz, Potenz eines Produkts und Quotienten, Null-, negativer und gebrochener Exponent. Jedes Gesetz wird mit einer Erklärung, warum es funktioniert, erläutert, gefolgt von Schritt-für-Schritt-Beispielen, einer Analyse häufiger Fehler mit Vorzeichen und einem interaktiven Übungsmodus, in dem Sie sich sofort testen können.
Was ist eine Potenz: Basis und Exponent
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für die Multiplikation gleicher Faktoren. Die Schreibweise \(a^n\) bedeutet, dass die Zahl \(a\) \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert wird:
Hier ist \(a\) die Basis der Potenz (was multipliziert wird) und \(n\) ist der Exponent der Potenz (wie oft multipliziert wird). Zum Beispiel ist \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): Die Basis ist 3, der Exponent ist 4.
Zwei Schreibweisen, die man sich sofort merken sollte: \(a^1 = a\) (eine „Kopie“ der Zahl) und \(a^2\) – „Quadrat“, \(a^3\) – „Kubik“. Alle unten stehenden Regeln gelten speziell für Basen und Exponenten: Einige Gesetze erfordern gleiche Basen, andere gleiche Exponenten. Es ist wichtiger, diese beiden Fälle zu unterscheiden, als sich die Formeln auswendig zu merken.
Alle Potenzgesetze: Formeltabelle
Es ist praktisch, die acht grundlegenden Potenzgesetze in einer Tabelle vor sich zu haben. Die ersten fünf gelten für jeden Exponenten, die letzten drei erweitern den Begriff der Potenz auf Null-, negativen und gebrochenen Exponenten.
| Gesetz | Formel |
|---|---|
| Produkt gleiche Basen – Exponenten addieren | am · an = am+n |
| Quotient gleiche Basen – Exponenten subtrahieren | am : an = am−n |
| Potenz einer Potenz Exponenten multiplizieren | (am)n = amn |
| Potenz eines Produkts jeden Faktor potenzieren | (ab)n = anbn |
| Potenz eines Quotienten Zähler und Nenner potenzieren | (a/b)n = an/bn |
| Null-Exponent jede Zahl außer Null ergibt Eins | a0 = 1 |
| Negativer Exponent als Kehrwert schreiben | a−n = 1/an |
| Gebrochener Exponent ist die n-te Wurzel | am/n = ⁿ√(am) |
Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis
Dies sind die beiden häufigsten Operationen mit Potenzen.
Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert, die Basis bleibt unverändert:
Warum: Im ersten Faktor gibt es \(m\) gleiche Zahlen, im zweiten \(n\), insgesamt sind es \(m+n\). Zum Beispiel ist \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
Beim Dividieren werden die Exponenten subtrahiert (vom Exponenten des Dividenden wird der Exponent des Divisors subtrahiert):
Zum Beispiel ist \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Wichtig: Beim Addieren und Subtrahieren von Potenzen werden die Exponenten nicht addiert oder subtrahiert. Der Ausdruck \(2^3 + 2^4\) kann nicht zu einer einzigen Potenz zusammengefasst werden: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), während \(2^7 = 128\). Die Gesetze gelten nur für Multiplikation und Division.
Die Basis ändert sich bei der Multiplikation ebenfalls nicht. \(2^3 \cdot 2^4\) ist \(2^7\), nicht \(4^7\): Wir addieren die Exponenten und schreiben die Basis unverändert hin.
Potenz einer Potenz, Potenz eines Produkts und Potenz eines Quotienten
Potenz einer Potenz – die Exponenten werden multipliziert:
Zum Beispiel ist \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Potenz eines Produkts – jeder Faktor wird potenziert:
Zum Beispiel ist \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Potenz eines Quotienten – sowohl Zähler als auch Nenner werden potenziert:
Zum Beispiel ist \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Die letzten beiden Formeln werden oft von rechts nach links verwendet – sie ermöglichen dann die Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichem Exponenten: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
Wenn die Basen und Exponenten unterschiedlich sind, wird der Ausdruck normalerweise auf eine gemeinsame Basis zurückgeführt: Man erkennt, dass die Zahlen Potenzen derselben Zahl sind. Zum Beispiel wird \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\) und das Produkt \(4^3 \cdot 8^2\) zu \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\) umgewandelt.
Null- und negativer Exponent
Jede Zahl außer Null ergibt in der Nullpotenz Eins:
Dies ist keine Erfindung, sondern eine Folge der Divisionsregel: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), aber derselbe Quotient ist \(216 : 216 = 1\). Daher ist \(6^0 = 1\). Der Ausdruck \(0^0\) ist undefiniert.
Ein negativer Exponent bedeutet Eins geteilt durch die Potenz:
Zum Beispiel ist \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\) und \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Eine nützliche Folgerung: Ein Bruch mit negativem Exponenten wird umgekehrt, und der Exponent wird positiv:
Das Minus im Exponenten macht die Zahl nicht negativ. Die Schreibweise \(2^{-3}\) ist ein positiver Bruch \(\frac{1}{8}\), nicht \(-8\). Das Vorzeichen des Exponenten bestimmt die „Umkehrung“, nicht das Vorzeichen des Ergebnisses.
Das Wichtigste: Alle acht Gesetze aus der Tabelle gelten auch für Null- und negative Exponenten – zum Beispiel ist \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Gebrochener Exponent und Wurzeln
Ein gebrochener Exponent ist eine andere Schreibweise für eine Wurzel:
Der Nenner des Bruchs gibt den Wurzelexponenten an, der Zähler den Exponenten des Radikanden. Beispiele: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Einschränkung: Bei geradem Nenner \(n\) muss die Basis nicht-negativ sein (\(a \geqslant 0\)) – die Wurzel aus einer negativen Zahl mit geradem Wurzelexponenten wird im Schulunterricht nicht behandelt.
Warum ist das nützlich: Mit gebrochenen Exponenten gelten dieselben Gesetze, daher lassen sich Wurzeln bequem multiplizieren und dividieren, indem man sie in Potenzen umwandelt. Zum Beispiel ist \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Potenz einer negativen Zahl: Wo geht das Vorzeichen verloren?
Wenn die Basis negativ ist, hängt das Vorzeichen des Ergebnisses von der Geradheit des Exponenten ab:
- gerader Exponent – das Ergebnis ist positiv: \((-3)^2 = 9\);
- ungerader Exponent – das Ergebnis ist negativ: \((-3)^3 = -27\).
Es ist besonders wichtig, zwischen Schreibweisen mit und ohne Klammern zu unterscheiden: \((-3)^2 = 9\), aber \(-3^2 = -9\). Im zweiten Fall wird nur die Drei quadriert, und das Minuszeichen bleibt davor. Dies ist der häufigste Verlust des Vorzeichens in Tests.
Besonders nützlich ist es, sich die Potenzen von minus Eins zu merken: \((-1)^{100} = 1\), und \((-1)^{101} = -1\) – ein gerader Exponent ergibt \(+1\), ein ungerader ergibt \(-1\).
Reihenfolge der Operationen mit Potenzen
Wenn ein Ausdruck sowohl Potenzen als auch normale Operationen enthält, gilt folgende Reihenfolge: zuerst Klammern, dann Potenzen und Wurzeln, dann Multiplikation und Division, und erst am Ende Addition und Subtraktion.
Zum Beispiel ist \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): Zuerst wird quadriert, und erst dann wird multipliziert und addiert.
Beispiele: Wie man Potenzgesetze anwendet
Beispiel 1. Multiplikation und Division in einem Ausdruck
Aufgabe. Vereinfache \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Schritt 1. Multiplikation: Gleiche Basen – Exponenten addieren: \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Schritt 2. Division: Exponenten subtrahieren: \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Antwort. \(x^2\) (für \(x \neq 0\)).
Beispiel 2. Potenz eines Produkts mit Koeffizient
Aufgabe. Potenziere \((3a^4)^3\).
Schritt 1. Jeder Faktor wird potenziert: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Schritt 2. Getrennt berechnen: \(3^3 = 27\), und bei der Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert: \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Antwort. \(27a^{12}\). Ein häufiger Fehler hier ist, die Drei nicht zu potenzieren und \(3a^{12}\) zu schreiben.
Beispiel 3. Negativer Exponent in einem Produkt
Aufgabe. Berechne \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Schritt 1. Gleiche Basen – Exponenten gemäß der üblichen Regel addieren, das Minuszeichen nimmt einfach an der Addition teil: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Schritt 2. \(8^3 = 512\).
Antwort. \(512\). Beachte: \(8^{-2}\) als Bruch zu schreiben war nicht nötig – die Potenzgesetze funktionieren auch direkt mit negativen Exponenten.
Beispiel 4. Bruch mit negativem Exponenten
Aufgabe. Berechne \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Schritt 1. Ein negativer Exponent kehrt den Bruch um: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Schritt 2. Zähler und Nenner quadrieren: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Antwort. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
Beispiel 5. Gebrochener Exponent
Aufgabe. Berechne \(81^{\frac{3}{4}}\).
Schritt 1. Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Schritt 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), weil \(3^4 = 81\).
Schritt 3. Nun noch kubieren: \(3^3 = 27\).
Antwort. \(27\). Es ist praktisch, zuerst die Wurzel zu ziehen – die Zahlen werden kleiner, als wenn man zuerst \(81^3\) berechnet.
Beispiel 6. Kombinierter Ausdruck
Aufgabe. Berechne \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Schritt 1. Potenz einer Potenz im Zähler: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Schritt 2. Division von Potenzen mit gleicher Basis: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Schritt 3. \(3^2 = 9\).
Antwort. \(9\). Allgemeine Regel: Zuerst Klammern und Potenzen von Potenzen vereinfachen, dann mit Multiplikation und Division arbeiten.
Häufige Fehler bei Operationen mit Potenzen
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Exponenten werden bei der **Addition** von Potenzen addiert: $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Exponenten werden nur bei der Multiplikation addiert. Hier ist \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), während \(2^4 = 16\) – die Gleichung ist falsch. Die Summe von Potenzen kann überhaupt nicht zu einer einzigen Potenz zusammengefasst werden, man kann sie nur ausklammern: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
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Auch die Basen werden multipliziert: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
Die Basis bleibt bei der Multiplikation von Potenzen unverändert, nur der Exponent ändert sich: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
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Man nimmt an, dass $(a+b)^n = a^n + b^n$, verwechselt also Summe und Produkt.
Eine Potenz kann nur auf ein Produkt „verteilt“ werden: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) – richtig. Aber \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), während \(2^2 + 3^2 = 13\). Für Summen braucht man binomische Formeln, nicht Potenzgesetze.
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Man nimmt an, dass $a^0 = 0$.
Im Gegenteil: Jede Zahl außer Null ergibt in der Nullpotenz Eins – \(9^0 = 1\). Null ergibt nur die Basis selbst, die Null ist (\(0^n = 0\) für \(n > 0\)), und der Ausdruck \(0^0\) ist undefiniert.
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Exponenten werden in umgekehrter Reihenfolge subtrahiert: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
Vom Exponenten des Dividenden wird der Exponent des Divisors subtrahiert, nicht umgekehrt: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). Die Reihenfolge ist hier genauso wichtig wie bei der normalen Subtraktion.
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Man denkt, dass ein negativer Exponent die Zahl negativ macht: $2^{-2} = -4$.
Ein negativer Exponent bedeutet einen Bruch, nicht ein Minus: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Das Ergebnis bleibt positiv.
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Das Vorzeichen einer negativen Basis geht verloren: Man schreibt $(-4)^2 = -16$.
Bei geradem Exponenten „verschwindet“ das Minus: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Die Schreibweise ohne Klammern bedeutet etwas anderes: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Klammern entscheiden alles.
Fragen und Antworten zu Potenzgesetzen
Werden Potenzen bei der Multiplikation addiert oder multipliziert?
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert, und die Basis bleibt unverändert: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Zum Beispiel ist \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Die Exponenten werden in einem anderen Fall multipliziert – wenn eine Potenz potenziert wird: \((a^m)^n = a^{mn}\).
Werden Potenzen bei der Division addiert oder subtrahiert?
Subtrahiert: Vom Exponenten des Dividenden wird der Exponent des Divisors subtrahiert, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) für \(a \neq 0\). Zum Beispiel ist \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Was ergibt eine Zahl in der Nullpotenz?
Eins, wenn die Basis nicht Null ist: \(a^0 = 1\). Dies folgt aus der Divisionsregel – der Quotient \(a^n : a^n\) ist sowohl \(a^0\) als auch Eins gleichzeitig. Der Ausdruck \(0^0\) ist im Schulunterricht undefiniert.
Wie wird man einen negativen Potenzexponenten los?
Man schreibt den Ausdruck als Kehrwert: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Zum Beispiel ist \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Wenn die Basis selbst ein Bruch ist, wird sie einfach umgekehrt und der Exponent wird positiv.
Was bedeuten Basis und Exponent einer Potenz?
In der Schreibweise \(a^n\) ist die Zahl \(a\) die Basis der Potenz, also der Faktor, der sich wiederholt; \(n\) ist der Exponent der Potenz, er gibt an, wie viele solche Faktoren es gibt. In der Schreibweise \(5^4\) ist die Basis 5, der Exponent 4, und der Wert selbst ist 625.
Dürfen Potenzen mit unterschiedlichen Basen multipliziert werden?
Zu einer einzigen Potenz zusammenfassen kann man nur, wenn die Exponenten gleich sind: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Zum Beispiel ist \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Wenn sowohl die Basen als auch die Exponenten unterschiedlich sind, wird der Ausdruck zuerst auf eine gemeinsame Basis zurückgeführt (wenn möglich), andernfalls bleibt er unverändert.
Wie viele Potenzgesetze gibt es insgesamt?
Es gibt acht grundlegende Gesetze: Produkt und Quotient von Potenzen mit gleicher Basis, Potenz einer Potenz, Potenz eines Produkts, Potenz eines Quotienten, Null-, negativer und gebrochener Exponent. In verschiedenen Lehrbüchern werden sie unterschiedlich gruppiert, daher gibt es Formulierungen wie „fünf Gesetze“ oder „zehn Gesetze“, aber der Inhalt ist derselbe – die vollständige Übersicht finden Sie in der obigen Tabelle.
Was bedeutet ein gebrochener Exponent?
Eine Wurzel. Der Nenner des Bruchs ist der Wurzelexponent, der Zähler der Exponent des Radikanden: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Zum Beispiel ist \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Bei geradem Nenner muss die Basis nicht-negativ sein.
In welcher Klasse werden Potenzgesetze unterrichtet?
Potenzen mit natürlichem Exponenten und ihre grundlegenden Gesetze werden in der 7. Klasse Algebra behandelt, Potenzen mit ganzzahlig negativem Exponenten in der 8. Klasse, und Potenzen mit rationalem (gebrochenem) Exponenten und Wurzeln in der 9.–11. Klasse. Diese Gesetze werden auch für die Mittlere Reife (OGE) und das Abitur (EGE) bei der Vereinfachung von Ausdrücken benötigt.
