Binomische Formeln sind fertige algebraische Identitäten, mit denen man Klammern auflösen und Ausdrücke faktorisieren kann, ohne lange multiplizieren zu müssen. Auf dieser Seite findest du eine Tabelle aller sieben Formeln: Quadrat einer Summe und Differenz, Differenz von Quadraten, Kubik einer Summe und Differenz sowie Summe und Differenz von Kubikzahlen. Jede Formel wird mit Herleitung und Beispielen erklärt. Am Ende gibt es ein interaktives Übungstool, mit dem du die Anwendung direkt trainieren kannst.
Was sind binomische Formeln?
Binomische Formeln sind Identitäten, die entstehen, wenn man Polynome einmal sorgfältig ausmultipliziert und sich das Ergebnis merkt. Danach muss man nicht mehr jedes Mal die Klammern einzeln auflösen: Es reicht, das „Muster“ zu erkennen und die eigenen Zahlen oder Buchstaben einzusetzen.
Im Mathematikunterricht der 7. Klasse werden sie in zwei Richtungen verwendet:
- von links nach rechts — um schnell Klammern aufzulösen und einen Ausdruck zu quadrieren oder zu kubieren;
- von rechts nach links — um ein Polynom zu faktorisieren (wichtig für das Kürzen von Brüchen und das Lösen von Gleichungen).
Insgesamt lernt man sieben Formeln. Unten findest du eine Übersichtstabelle und danach die detaillierte Erklärung jeder Formel.
Tabelle der binomischen Formeln
Alle sieben binomischen Formeln übersichtlich in einer Tabelle. Die Buchstaben \(a\) und \(b\) stehen hier für beliebige Ausdrücke: eine Zahl, eine Variable oder ein ganzer Term wie \(2x\).
| Formel | Schreibweise |
|---|---|
| Quadrat einer Summe | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Quadrat einer Differenz | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Differenz von Quadraten | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kubik einer Summe | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kubik einer Differenz | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Summe von Kubikzahlen | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Differenz von Kubikzahlen | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Quadrat einer Summe und Quadrat einer Differenz
Das Quadrat einer Summe entsteht, wenn man \((a+b)\) mit sich selbst multipliziert:
In Worten: Das Quadrat einer Summe ist gleich dem Quadrat des ersten Terms plus dem doppelten Produkt aus dem ersten und zweiten Term plus dem Quadrat des zweiten Terms. Genauso wird das Quadrat einer Differenz hergeleitet – das Vorzeichen des mittleren Terms wird zum Minus:
Das Wichtigste: Vergiss nicht den mittleren Term \(2ab\): Genau deshalb ist \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Beim Quadrat einer Summe und einer Differenz unterscheidet sich nur das Vorzeichen vor \(2ab\), die äußeren Terme \(a^2\) und \(b^2\) haben immer ein Pluszeichen.
Beispiel. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Das Quadrat einer Summe hat eine anschauliche geometrische Bedeutung: Es ist die Fläche eines großen Quadrats mit der Seitenlänge \((a+b)\).
Differenz von Quadraten
Wenn man die Summe und die Differenz derselben Ausdrücke multipliziert, heben sich die mittleren Terme gegenseitig auf:
Das ergibt die Formel für die Differenz von Quadraten: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Dies ist die nützlichste binomische Formel zum Faktorisieren: Sobald du die Differenz zweier Quadrate siehst, schreibe sie sofort als Produkt.
Beispiel (Klammern auflösen). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Beispiel (Faktorisieren). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Wichtig: Eine Summe von Quadraten \(a^2 + b^2\) lässt sich mit dieser Formel nicht faktorisieren – das funktioniert nur bei einer Differenz.
Kubik einer Summe, Kubik einer Differenz, Summe und Differenz von Kubikzahlen
Das Kubik einer Summe und einer Differenz enthält bereits vier Summanden:
Beim Kubik einer Differenz wechseln die Vorzeichen: \(+\,-\,+\,-\). Und wieder eine häufige Falle: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) – man darf den Exponenten nicht einfach „verteilen“, die mittleren Terme \(3a^2b\) und \(3ab^2\) dürfen nicht verloren gehen.
Beispiel. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Davon zu unterscheiden sind die Summe und Differenz von Kubikzahlen – diese dienen dazu, einen Ausdruck zu faktorisieren:
Der zweite Faktor wird als unvollständiges Quadrat einer Summe oder Differenz bezeichnet. Das Vorzeichen in seinem mittleren Term ist immer entgegengesetzt zum Vorzeichen in der ersten Klammer: bei der Summe von Kubikzahlen \(-ab\), bei der Differenz von Kubikzahlen \(+ab\).
Beispiel. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Beispiele für die Anwendung binomischer Formeln
Beispiel 1. Klammern auflösen: Quadrat einer Summe
Aufgabe. Berechne \((2x+5)^2\).
Schritt 1. Wir erkennen die Formel für das Quadrat einer Summe: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), wobei \(a = 2x\) und \(b = 5\).
Schritt 2. Wir berechnen jeden Term:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Antwort. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Beispiel 2. Zusammenfassen zur Differenz von Quadraten
Aufgabe. Berechne das Produkt \((3x-4)(3x+4)\).
Schritt 1. Wir haben das Produkt aus der Differenz und der Summe gleicher Ausdrücke – das ist die Differenz von Quadraten \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), wobei \(a = 3x\) und \(b = 4\).
Schritt 2. Wir quadrieren jeden Ausdruck: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Antwort. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Beispiel 3. Faktorisieren
Aufgabe. Faktorisiere \(x^2 - 36\) und \(x^3 + 27\).
Differenz von Quadraten. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Summe von Kubikzahlen. Wir bemerken, dass \(27 = 3^3\), also \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Wir wenden die Formel \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) mit \(a = x\) und \(b = 3\) an:
Beachte das Vorzeichen \(-3x\) im unvollständigen Quadrat – bei der Summe von Kubikzahlen ist der mittlere Term negativ.
Beispiel 4. Kubik einer Summe
Aufgabe. Löse die Klammern auf: \((x+2)^3\).
Schritt 1. Formel für das Kubik einer Summe: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), wobei \(a = x\) und \(b = 2\).
Schritt 2. Wir berechnen die Terme nacheinander:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Antwort. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Häufige Fehler bei der Arbeit mit binomischen Formeln
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Das doppelte Produkt wird vergessen: Man schreibt $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Beim Quadrat einer Summe oder Differenz gibt es immer einen mittleren Term \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Das lässt sich leicht prüfen – multipliziere \((a+b)(a+b)\) schriftlich aus, dann erscheint der mittlere Term von selbst.
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Die Vorzeichen beim Quadrat einer Differenz und bei der Differenz von Quadraten werden verwechselt.
Beim Quadrat einer Differenz steht das Minus nur vor dem mittleren Term: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (die äußeren Terme sind positiv). Bei der Differenz von Quadraten steht das Minus zwischen den Quadraten: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Das sind unterschiedliche Formeln.
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Der Exponent wird beim Kubik einfach „verteilt“: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Das darf man nicht tun. Das Kubik einer Summe enthält vier Terme: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Die Formel \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) ist etwas ganz anderes (Summe von Kubikzahlen), sie dient dem Faktorisieren.
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Im unvollständigen Quadrat bei der Summe/Differenz von Kubikzahlen wird das doppelte Produkt $2ab$ verwendet.
Das unvollständige Quadrat ist \(a^2 \pm ab + b^2\), ohne die Zwei vor \(ab\). Das Vorzeichen ist entgegengesetzt zum Vorzeichen der ersten Klammer: Summe von Kubikzahlen \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), Differenz von Kubikzahlen \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
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Es wird versucht, eine Summe von Quadraten $a^2 + b^2$ zu faktorisieren.
Faktorisieren lässt sich nur die Differenz von Quadraten \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Eine Summe von Quadraten \(a^2 + b^2\) lässt sich im Schulunterricht nicht faktorisieren.
Fragen und Antworten
Wie viele binomische Formeln gibt es insgesamt?
Sieben: Quadrat einer Summe, Quadrat einer Differenz, Differenz von Quadraten, Kubik einer Summe, Kubik einer Differenz, Summe von Kubikzahlen und Differenz von Kubikzahlen. Alle sind in der obigen Tabelle aufgeführt.
Was ergibt das Quadrat einer Summe?
Das Quadrat des ersten Terms plus dem doppelten Produkt aus dem ersten und zweiten Term plus dem Quadrat des zweiten Terms: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Beim Quadrat einer Differenz hat der mittlere Term ein Minuszeichen: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Wie faktorisiert man eine Differenz von Quadraten?
Nach der Formel \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Zum Beispiel \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Es reicht zu erkennen, dass beide Summanden vollständige Quadrate sind und ein Minus dazwischen steht.
Warum ist $(a+b)^2$ nicht gleich $a^2 + b^2$?
Weil beim Multiplizieren von \((a+b)(a+b)\) zwei weitere gleiche Terme \(ab\) entstehen, die zusammen den mittleren Term \(2ab\) ergeben. Den darf man nicht verlieren: Richtig ist \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Was ist der Unterschied zwischen dem Kubik einer Summe und der Summe von Kubikzahlen?
Das Kubik einer Summe \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) dient zum Auflösen von Klammern. Die Summe von Kubikzahlen \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) dient umgekehrt zum Faktorisieren. Das sind verschiedene Formeln, verwechsle sie nicht.
In welcher Klasse lernt man binomische Formeln?
Normalerweise in der 7. Klasse im Mathematikunterricht: Zuerst das Quadrat einer Summe und Differenz sowie die Differenz von Quadraten, dann die Formeln für Kubikzahlen. Sie werden später intensiv zum Vereinfachen von Ausdrücken, Kürzen von Brüchen und Lösen von Gleichungen verwendet.
