Eine rationale Ungleichung ist eine Ungleichung der Form \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), wobei \(P(x)\) und \(Q(x)\) Polynome sind und das Zeichen \(>\) durch \(<\), \(\ge\) oder \(\le\) ersetzt werden kann. Solche Ungleichungen werden mit der Intervallmethode gelöst: Alles wird auf die linke Seite gebracht, in Faktoren zerlegt, die Nullstellen von Zähler und Nenner auf der Zahlengeraden markiert und die Vorzeichen bestimmt. Unten finden Sie die Definition, den vollständigen Algorithmus, die Regel für ausgesparte Punkte, die Vielfachheit von Wurzeln, gelöste Beispiele und einen Übungsgenerator mit Überprüfung.
Was ist eine rationale Ungleichung?
Eine rationale Ungleichung ist eine Ungleichung, deren beide Seiten durch rationale Ausdrücke dargestellt werden, d. h. durch Polynome und Brüche von Polynomen. Nach dem Überführen alles auf eine Seite wird sie immer auf die Form
zurückgeführt, wobei \(P(x)\) und \(Q(x)\) Polynome sind und \(\vee\) eines der Zeichen \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) darstellt. Auf der rechten Seite muss unbedingt eine Null stehen – das ist die Bedingung, ohne die die Intervallmethode nicht funktioniert.
Rationale Ungleichungen werden in zwei Arten unterteilt. Wenn die Variable nur im Zähler vorkommt, nennt man die Ungleichung ganz-rational: Es gibt nichts zu teilen, und alle Werte von \(x\) sind zulässig. Wenn die Variable im Nenner vorkommt, ist die Ungleichung bruch-rational (sie wird auch Bruchungleichung oder Ungleichung mit Bruch genannt) – und dann gibt es sofort die Einschränkung \(Q(x) \neq 0\).
Warum darf man beide Seiten nicht mit dem Nenner multiplizieren?
Die größte Versuchung bei der Lösung einer Ungleichung mit Bruch ist, den Nenner durch Multiplikation beider Seiten zu „eliminieren“. Bei Gleichungen ist das erlaubt, bei Ungleichungen nicht. Der Grund ist einfach: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um, und das Vorzeichen des Ausdrucks \(Q(x)\) ist im Voraus unbekannt – es hängt von \(x\) ab.
Betrachten wir die Ungleichung \(\frac{5}{x-3} < 1\). Multiplizieren wir beide Seiten mit \(x - 3\), als wäre es eine positive Zahl: Es ergibt sich \(5 < x - 3\), also \(x > 8\). Überprüfen wir die Antwort durch Einsetzen von \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – die Ungleichung ist richtig, also ist Null auch eine Lösung, aber sie ist nicht im Ergebnis \(x > 8\) enthalten. Die Antwort ist verloren.
Der richtige Weg ist, alles nach links zu bringen und auf einen Bruch zu reduzieren:
Im letzten Schritt haben wir beide Seiten mit \(-1\) multipliziert und das Zeichen umgedreht – das ist erlaubt, weil \(-1\) immer negativ ist. Danach funktioniert die Intervallmethode, und die Antwort lautet \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – sie enthält auch die verlorene Null.
Am einfachsten merkt man sich: Beide Seiten mit einem Ausdruck mit einer Variablen multiplizieren ist nicht erlaubt, Terme verschieben ist immer erlaubt. Das Verschieben ändert das Ungleichheitszeichen nicht.
Intervallmethode: Lösungsalgorithmus Schritt für Schritt
Die Intervallmethode basiert auf einer Eigenschaft: Zwischen benachbarten Nullstellen eines rationalen Ausdrucks ist sein Vorzeichen konstant. Das bedeutet, es reicht aus, alle Punkte zu finden, an denen der Zähler oder Nenner Null wird, diese auf der Zahlengeraden zu markieren und das Vorzeichen auf jedem Intervall zu bestimmen – mit einem Testpunkt oder anhand der Vielfachheit der Wurzeln.
Ausgesparte und gefüllte Punkte: Definitionsbereich und Vorzeichen der Ungleichung
Ein Fehler in einer Klammer verwandelt eine richtige Lösung in eine falsche Antwort, daher sollte man die Regel für die Punkte separat lernen. Es gelten genau zwei Überlegungen.
Erstens – der Definitionsbereich. Die Nullstelle des Nenners wird immer ausgespart, bei jedem Ungleichheitszeichen. An diesem Punkt existiert der Bruch einfach nicht: Teilen durch Null ist nicht erlaubt, daher kann die Zahl keine Lösung sein, auch wenn das Zeichen nicht strikt ist.
Zweitens – striktes oder nicht-striktes Zeichen. Die Nullstellen des Zählers machen den Bruch gleich Null. Bei einem nicht-strengen Zeichen (\(\le\) oder \(\ge\)) ist die Gleichheit Null für uns akzeptabel, daher wird der Punkt gefüllt und mit einer eckigen Klammer in die Antwort aufgenommen. Bei einem strikten Zeichen (\(<\) oder \(>\)) ist Null nicht zulässig, und der Punkt wird ausgespart.
Zum Beispiel bei der Ungleichung \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) wird der Punkt \(x = 6\) gefüllt (Nullstelle des Zählers, nicht-striktes Zeichen), während der Punkt \(x = -1\) ausgespart wird (Nullstelle des Nenners). Antwort: \(x \in (-1; 6]\).
| Was für ein Punkt | Wie markieren |
|---|---|
| Nullstelle des Nenners, Q(x) = 0 | ausgespart immer, bei jedem Vorzeichen – Punkte sind nicht im Definitionsbereich |
| Nullstelle des Zählers, striktes Zeichen < oder > | ausgespart der Bruch ist Null, aber ein strikt anderes Vorzeichen ist gefordert |
| Nullstelle des Zählers, nicht-striktes Zeichen ≤ oder ≥ | gefüllt Gleichheit Null ist zulässig, der Punkt gehört zur Antwort |
Vielfachheit der Wurzeln: Wo sich das Vorzeichen ändert und wo nicht
Die Vorzeichen auf den Intervallen müssen sich nicht einfach abwechseln – das ist die häufigste Fehlannahme in diesem Thema. Der Wechsel funktioniert nur, wenn alle Klammern in der ersten Potenz vorkommen. Die Regel lautet genauer: Vielfachheit der Wurzel – der Exponent der entsprechenden Klammer.
Beim Übergang über eine Wurzel mit ungerader Vielfachheit (Exponent 1, 3, 5) ändert sich das Vorzeichen des Ausdrucks. Beim Übergang über eine Wurzel mit gerader Vielfachheit (Exponent 2, 4) ändert sich das Vorzeichen nicht: Die Klammer im geraden Exponenten ist nicht negativ und beeinträchtigt das Vorzeichen des Ausdrucks nicht. Die Vielfachheit wird sowohl für den Zähler als auch für den Nenner gleich berechnet.
Nehmen wir \((x-9)^2(x+3) > 0\). Wurzeln: \(x = 9\) mit Vielfachheit 2 und \(x = -3\) mit Vielfachheit 1. Rechts von der Neun ist der Ausdruck positiv. Beim Übergang über 9 – Vielfachheit gerade, Vorzeichen bleibt gleich, auf dem Intervall \((-3; 9)\) ebenfalls plus. Beim Übergang über -3 – Vielfachheit ungerade, Vorzeichen wechselt zu minus. Die Antwort für die strikte Ungleichung lautet: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), der Punkt 9 ist ausgespart, da der Ausdruck dort Null ist. Aber bei der nicht-strengen \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) ist die Antwort anders: \(x \in [-3; +\infty)\) – die Neun wird gefüllt und „klebt“ zwei Intervalle zu einem zusammen.
| Vielfachheit der Wurzel | Vorzeichenwechsel beim Übergang |
|---|---|
| Ungerade: (x − a), (x − a)3 | ändert sich |
| Gerade: (x − a)2, (x − a)4 | ändert sich nicht |
Zahlengerade am Beispiel: Vorzeichen setzen
Fassen wir alles zusammen für die Ungleichung \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Nullstellen des Zählers: \(x = -7\). Nullstellen des Nenners: \(x = 2\) und \(x = 5\), diese definieren auch den Definitionsbereich. Alle drei Klammern stehen in der ersten Potenz, daher wechseln sich die Vorzeichen ab. Testpunkt \(x = 10\) im rechtesten Intervall ergibt \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – wir beginnen mit Plus und gehen nach links, wobei wir bei jedem Punkt das Vorzeichen ändern.
Beispiele für die Lösung rationaler Ungleichungen
Beispiel 1. Einfache Bruchungleichung
Lösen Sie \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Schritt 1. Rechts steht bereits Null, der Bruch ist bereits einer – nichts zu verschieben oder zu reduzieren.
Schritt 2. Definitionsbereich (ODZ). \(x + 5 \neq 0\), also \(x \neq -5\).
Schritt 3. Nullstellen. Der Zähler ist Null bei \(x = 3\), der Nenner – bei \(x = -5\).
Schritt 4. Punkte auf der Achse. \(x = 3\) wird gefüllt (Nullstelle des Zählers, nicht-striktes Zeichen), \(x = -5\) wird ausgespart (Nullstelle des Nenners).
Schritt 5. Vorzeichen. Testpunkt \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – rechts Plus. Beide Klammern stehen in der ersten Potenz, also wechseln sich die Vorzeichen ab: auf \((-5; 3)\) Minus, auf \((-\infty; -5)\) Plus. Überprüfung: für \(x = -6\) erhalten wir \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – stimmt überein.
Schritt 6. Antwort. Benötigt wird das Zeichen „Plus oder Null“: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Beispiel 2. Rechts steht keine Null – verschieben
Lösen Sie \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Schritt 1. Verschieben Sie die Eins nach links. Multiplizieren mit \(x - 4\) ist nicht erlaubt, das Vorzeichen dieses Ausdrucks ist unbekannt:
Schritt 2. Auf einen Bruch reduzieren.
Schritt 3. Definitionsbereich (ODZ). \(x \neq 4\).
Schritt 4. Punkte. \(x = -5\) – Nullstelle des Zählers, nicht-striktes Zeichen, gefüllt. \(x = 4\) – Nullstelle des Nenners, ausgespart.
Schritt 5. Vorzeichen. Bei \(x = 5\) ist der Bruch \(\frac{10}{1} > 0\). Also auf \((4; +\infty)\) Plus, auf \((-5; 4)\) Minus, auf \((-\infty; -5)\) Plus.
Schritt 6. Antwort. \(x \in [-5; 4)\). Überprüfung der Grenzpunkte: bei \(x = -5\) ist der Bruch Null – passt für \(\le\); bei \(x = 4\) gibt es keinen Bruch – passt nicht.
Beispiel 3. Wurzel gerader Vielfachheit und isolierter Punkt
Lösen Sie \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Schritt 1. Definitionsbereich (ODZ). \(x \neq 9\).
Schritt 2. Nullstellen und Vielfachheiten. \(x = 2\) – Vielfachheit 2 (gerade), \(x = -6\) – Vielfachheit 1, \(x = 9\) – Vielfachheit 1 im Nenner.
Schritt 3. Punkte. \(x = 2\) und \(x = -6\) werden gefüllt (Nullstellen des Zählers bei nicht-striktem Zeichen), \(x = 9\) wird ausgespart.
Schritt 4. Vorzeichen. Testpunkt \(x = 10\): Zähler positiv, Nenner gleich 1 – Plus. Nach links gehen. Über 9 (ungerade Vielfachheit) ändert sich das Vorzeichen: auf \((2; 9)\) Minus. Über 2 (Vielfachheit gerade) ändert sich das Vorzeichen nicht: auf \((-6; 2)\) ebenfalls Minus. Über -6 (ungerade Vielfachheit) ändert sich das Vorzeichen: auf \((-\infty; -6)\) Plus.
Schritt 5. Antwort. Nehmen Sie Intervalle mit „Plus“ plus alle Punkte, an denen der Ausdruck Null ist. Der Punkt \(x = 2\) liegt innerhalb des Intervalls mit Minus, aber der Ausdruck selbst ist dort Null, also gehört er separat zur Antwort:
Ein solcher „einsamer“ Punkt in der Antwort ist ein sicheres Zeichen für eine Wurzel gerader Vielfachheit bei nicht-striktem Zeichen.
Beispiel 4. Kürzen eines Bruchs: Falle mit ODZ
Lösen Sie \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Schritt 1. Faktorisieren. Zähler ist ein vollständiges Quadrat: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Für den Nenner berechnen wir die Diskriminante: \(D = 81 + 40 = 121\), Wurzeln \(x_1 = \frac{1}{5}\) und \(x_2 = -2\), daher \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Schritt 2. Definitionsbereich (ODZ) – vor jedem Kürzen. \(5x - 1 \neq 0\) und \(x + 2 \neq 0\), also \(x \neq \frac{1}{5}\) und \(x \neq -2\).
Schritt 3. Kürzen. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), aber nur für \(x \neq \frac{1}{5}\) – das Kürzen bringt den ausgesparten Punkt nicht zurück.
Schritt 4. Lösen Sie \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nullstellen: \(\frac{1}{5}\) und \(-2\). Bei \(x = 1\) ist der Bruch \(\frac{4}{3} > 0\). Also auf \((\frac{1}{5}; +\infty)\) Plus, auf \((-2; \frac{1}{5})\) Minus, auf \((-\infty; -2)\) Plus.
Schritt 5. ODZ zurückbringen. Das Intervall \((-2; \frac{1}{5}]\) wäre vom Vorzeichen her passend, aber der Punkt \(\frac{1}{5}\) ist ausgespart: in der ursprünglichen Ungleichung wird der Nenner \(5x^2+9x-2\) für \(x = \frac{1}{5}\) Null, der Bruch existiert dort nicht.
Antwort: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – beide Klammern sind rund.
Beispiel 5. Quadratisches Trinom im Zähler
Lösen Sie \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Schritt 1. Zähler faktorisieren. Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der Wurzeln 7, das Produkt 10, also \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Die Ungleichung nimmt die Form \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) an.
Schritt 2. Definitionsbereich (ODZ). \(x \neq -4\).
Schritt 3. Punkte. Alle drei Punkte sind ausgespart: \(-4\) – Nullstelle des Nenners, \(2\) und \(5\) – Nullstellen des Zählers bei striktem Zeichen.
Schritt 4. Vorzeichen. Testpunkt \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Alle Klammern stehen in der ersten Potenz, daher wechseln sich die Vorzeichen ab: auf \((5; +\infty)\) Plus, auf \((2; 5)\) Minus, auf \((-4; 2)\) Plus, auf \((-\infty; -4)\) Minus.
Schritt 5. Antwort. Benötigt wird ein striktes Minus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrolle durch Einsetzen: für \(x = -5\) erhalten wir \(\frac{70}{-1} < 0\), für \(x = 3\) erhalten wir \(\frac{-2}{7} < 0\) – beide Intervalle passen.
Häufige Fehler bei der Lösung rationaler Ungleichungen
-
Multiplikation beider Seiten mit dem Nenner: Aus $\frac{3}{x-8} > 1$ wird $3 > x - 8$ und es wird $x < 11$ geschrieben.
Das Vorzeichen des Ausdrucks \(x - 8\) ist im Voraus unbekannt, und bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich die Ungleichung um. Überprüfung: \(x = 0\) ergibt \(\frac{3}{-8} < 1\) – Null ist keine Lösung, obwohl sie in die Antwort \(x < 11\) gefallen ist. Richtig: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), also \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), woraus \(x \in (8; 11)\) folgt.
-
Füllen der Nullstelle des Nenners, weil das Zeichen nicht-strikt ist: Bei $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ wird die Antwort mit einer eckigen Klammer bei der Sieben geschrieben.
Die Nullstelle des Nenners wird immer ausgespart, bei jedem Zeichen: An diesem Punkt existiert der Bruch einfach nicht. Richtige Antwort: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – bei der Eins steht eine eckige Klammer, bei der Sieben eine runde.
-
Kürzen des Bruchs und Verlieren des Definitionsbereichs: Aus $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ wird $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ und der Punkt $x = -3$ wird in die Antwort aufgenommen.
Der Definitionsbereich wird vor dem Kürzen anhand des ursprünglichen Nenners aufgeschrieben: \(x \neq -3\) und \(x \neq 5\). Der gekürzte Bruch \(\frac{x+3}{x-5}\) ist auf \([-3; 5)\) nicht positiv – bei \(x = 0\) ist er gleich \(-0{,}6\), was für das Zeichen \(\le\) gefordert ist. Aber der Punkt \(-3\) ist wegen des Definitionsbereichs ausgespart, daher ist die Antwort \((-3; 5)\) und nicht \([-3; 5)\).
-
Annahme, dass sich die Vorzeichen auf den Intervallen immer abwechseln, und für $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ wird rechts von der Eins ein Minus gesetzt.
Der Wechsel ist nur bei Klammern in der ersten Potenz korrekt. Die Wurzel \(x = 1\) hat die Vielfachheit 2, daher ändert sich das Vorzeichen beim Übergang nicht. Der Ausdruck ist auf dem gesamten \((-4; +\infty)\) positiv, außer an der Eins selbst, wo er Null ist. Antwort: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Ändern des Ungleichheitszeichens beim Verschieben eines Terms: Aus $\frac{x}{x-2} \le 3$ wird $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Das Verschieben eines Terms von einer Seite zur anderen ändert das Ungleichheitszeichen nicht – nur das Vorzeichen des Terms selbst ändert sich. Das Zeichen dreht sich nur um, wenn beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert werden. Richtig: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), weiter \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), also \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Markieren nur der Nullstellen des Zählers auf der Achse, und der Nenner wird „später“ überprüft: Für $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ wird ein Punkt -11 gesetzt.
Auf der Achse werden alle Nullstellen sofort markiert – sowohl die des Zählers als auch die des Nenners, sonst werden die Intervalle falsch. Hier ist \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), also gibt es drei Punkte: \(-11\), \(-4\) und \(4\), nicht nur einen. Alle sind ausgespart (striktes Zeichen), Antwort: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Fragen und Antworten
Was ist eine rationale Ungleichung?
Das ist eine Ungleichung, deren beide Seiten rationale Ausdrücke sind (Polynome und Brüche von Polynomen). Nach dem Überführen alles auf die linke Seite wird sie auf die Form \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) zurückgeführt, wobei \(P(x)\) und \(Q(x)\) Polynome sind und statt \(>\) kann \(<\), \(\le\) oder \(\ge\) stehen.
Wie löst man rationale Ungleichungen?
Mit der Intervallmethode in sechs Schritten: alles auf die linke Seite bringen, sodass rechts Null bleibt; auf einen Bruch reduzieren und Zähler und Nenner faktorisieren; Definitionsbereich (ODZ) aufschreiben (\(Q(x) \neq 0\)); Nullstellen von Zähler und Nenner auf der Zahlengeraden markieren; Vorzeichen auf den Intervallen anhand eines Testpunkts und der Vielfachheit der Wurzeln bestimmen; die Intervalle mit dem gewünschten Vorzeichen als Antwort aufschreiben.
Wodurch unterscheidet sich eine bruch-rationale Ungleichung von einer ganz-rationalen?
Bei einer ganz-rationalen Ungleichung steht die Variable nur im Zähler, z. B. \((x-1)(x+4) > 0\), und der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen. Bei einer bruch-rationalen Ungleichung steht die Variable im Nenner, z. B. \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), und es gibt die Einschränkung \(x \neq -4\). Der Algorithmus ist dabei derselbe – nur die ausgesparten Punkte ändern sich.
Wie löst man Ungleichungen mit Brüchen?
Genauso wie jede rationale Ungleichung: Zuerst alles auf die linke Seite bringen und auf einen Bruch reduzieren, anstatt den Nenner zu eliminieren. Zum Beispiel wird \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) zu \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), also \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Der Zähler ist konstant und negativ, daher ist der Bruch nur dann nicht-negativ, wenn der Nenner negativ ist: \(x + 2 < 0\). Antwort: \(x \in (-\infty; -2)\).
Warum darf man beide Seiten einer Ungleichung nicht mit dem Nenner multiplizieren?
Weil das Vorzeichen des Nenners von \(x\) abhängt: Bei der Multiplikation mit einem positiven Ausdruck bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, bei der Multiplikation mit einem negativen – dreht es sich um. Man weiß im Voraus nicht, welcher Fall vorliegt, daher gehen Teile der Lösungen verloren und andere werden fälschlicherweise hinzugefügt. Terme verschieben ist immer erlaubt – das Verschieben ändert das Ungleichheitszeichen nicht.
Wie findet man den Definitionsbereich (ODZ) in einer Ungleichung?
Für eine rationale Ungleichung ist der Definitionsbereich (ODZ) alle Werte von \(x\), für die der Nenner nicht Null wird. Setzen Sie den Nenner gleich Null, lösen Sie die Gleichung und schließen Sie die gefundenen Zahlen aus. Der Definitionsbereich muss anhand des ursprünglichen Nenners aufgeschrieben werden, vor dem Kürzen des Bruchs – sonst gehen die ausgesparten Punkte verloren.
Welche Punkte sind ausgespart und welche gefüllt?
Nullstellen des Nenners werden immer ausgespart, bei jedem Ungleichheitszeichen. Nullstellen des Zählers werden bei nicht-striktem Zeichen (\(\le\) oder \(\ge\)) gefüllt und bei striktem (\(<\) oder \(>\)) ausgespart. In der Antwortschreibweise entspricht einem ausgesparten Punkt eine runde Klammer, einem gefüllten Punkt – eine eckige.
Was ist die Vielfachheit einer Wurzel und wozu braucht man sie bei der Intervallmethode?
Die Vielfachheit ist der Exponent, mit dem eine Klammer in der Zerlegung vorkommt. Beim Übergang über eine Wurzel ungerader Vielfachheit ändert sich das Vorzeichen des Ausdrucks, beim Übergang über eine Wurzel gerader Vielfachheit – bleibt es gleich. Genau deshalb wechseln sich die Vorzeichen nicht immer einfach ab: Bei \((x-9)^2(x+3)\) bleibt das Vorzeichen am Punkt 9 gleich.
In welcher Klasse werden rationale Ungleichungen behandelt?
In der 9. Klasse im Algebraunterricht, nach quadratischen Ungleichungen und der Faktorisierung von Polynomen. Die Intervallmethode wird später für exponentielle, logarithmische und irrationale Ungleichungen sowie für Aufgaben im OGE und im Profil-EGE verwendet.
