Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, bei der der ganzzahlige Teil und der Bruchteil durch ein Komma getrennt sind: 3,25 oder 0,7. Alle Grundrechenarten mit Dezimalzahlen — Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division — funktionieren fast genauso wie mit natürlichen Zahlen; wichtig ist nur, das Komma im Blick zu behalten. Auf dieser Seite findest du alle Regeln mit schriftlichen Beispielen, eine Merkhilfe zum Verschieben des Kommas, häufige Fehler und einen interaktiven Übungstrainer zur Selbstkontrolle.
Stellenwerte einer Dezimalzahl
Jede Ziffer nach dem Komma hat ihren eigenen Namen und Stellenwert:
- die erste Stelle sind die Zehntel (0,1);
- die zweite die Hundertstel (0,01);
- die dritte die Tausendstel (0,001) und so weiter.
Wichtige Eigenschaft: Hängt man rechts an den Bruchteil Nullen an, ändert sich die Zahl nicht: 5,7 = 5,70 = 5,700. Diese Eigenschaft nutzen wir ständig — sie erlaubt es, bei Addition, Subtraktion und Vergleich die Anzahl der Nachkommastellen anzugleichen.
Alle Grundrechenarten mit Dezimalzahlen: die Kurzübersicht
Jede Rechenart hat ihre eigene Hauptregel für das Komma. Die vier Karten unten fassen das ganze Thema zusammen, danach wird jede Rechenart im Detail mit Beispielen erklärt.
Schriftliche Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen
Addition und Subtraktion folgen derselben Regel:
- Die Zahlen so untereinanderschreiben, dass das Komma genau unter dem Komma steht — dann stehen gleiche Stellenwerte übereinander: Zehntel unter Zehntel, Hundertstel unter Hundertstel.
- Ist die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich, gleicht man sie mit Nullen an.
- Addieren oder subtrahieren, ohne auf das Komma zu achten, wie bei natürlichen Zahlen.
- Im Ergebnis das Komma genau unter die Kommas der Ausgangszahlen setzen.
Eine ganze Zahl lässt sich auch als Dezimalzahl schreiben: 6 = 6,00 — das hilft bei Aufgaben wie 6 − 2,35.
Die Multiplikationsregel für Dezimalzahlen
Die Multiplikation ist die einzige Rechenart, bei der man die Kommas nicht ausrichten muss. Die Multiplikationsregel für Dezimalzahlen besteht aus zwei Schritten:
- Die Zahlen ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren — wie gewöhnliche natürliche Zahlen.
- Im Ergebnis von rechts so viele Ziffern mit einem Komma abtrennen, wie in beiden Faktoren zusammen Nachkommastellen stehen.
Hat das Produkt weniger Ziffern, als abgetrennt werden müssen, hängt man links Nullen an: 12 × 3 = 36, aber bei 0,12 × 0,3 müssen drei Stellen abgetrennt werden, deshalb lautet die Antwort 0,036.
Schnelle Selbstkontrolle: Multipliziert man mit einer Zahl kleiner als eins, muss das Ergebnis kleiner sein als der erste Faktor. Kommt etwas Größeres heraus, steht das Komma an der falschen Stelle.
Division von Dezimalzahlen
Hier gibt es zwei Fälle.
Division durch eine natürliche Zahl. Man dividiert schriftlich wie gewohnt und setzt das Komma im Ergebnis genau dann, wenn der ganzzahlige Teil des Dividenden fertig ist: 8,46 : 2 = 4,23.
Division durch eine Dezimalzahl. Zuerst wird das Komma im Divisor entfernt: Man verschiebt das Komma sowohl im Dividenden als auch im Divisor um die gleiche Anzahl Stellen nach rechts — also multipliziert beide Zahlen mit 10, 100 oder 1000. Das Ergebnis ändert sich dadurch nicht, und die Division wird auf den ersten Fall zurückgeführt.
Multiplizieren und Dividieren mit 10, 100, 1000
Die schnellsten Rechnungen mit Dezimalzahlen sind Multiplikation und Division mit einer Zehnerpotenz. Schriftliches Rechnen ist nicht nötig: Man verschiebt das Komma einfach um so viele Stellen, wie 10, 100 oder 1000 Nullen haben. Reichen die Ziffern nicht aus, hängt man Nullen an.
Vergleich von Dezimalzahlen
Dezimalzahlen werden stellenweise verglichen:
- Zuerst die ganzzahligen Teile: Die Zahl mit dem größeren ganzzahligen Teil ist größer.
- Sind die ganzzahligen Teile gleich, vergleicht man die Zehntel, dann die Hundertstel, dann die Tausendstel, bis man einen Unterschied findet.
- Um sich nicht zu vertun, gleicht man die Anzahl der Stellen mit Nullen an: 5,7 und 5,68 vergleicht man leichter als 5,70 und 5,68 — siebzig Hundertstel sind mehr als achtundsechzig, also ist 5,7 > 5,68.
Die Länge der Schreibweise sagt nichts aus: 0,5 ist größer als 0,4999, obwohl es weniger Ziffern hat.
Rechnen mit Dezimalzahlen: Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1. Addition: 5,3 + 2,47
Schritt 1. Nachkommastellen angleichen: 5,3 = 5,30.
Schritt 2. Untereinanderschreiben, Komma unter Komma.
Schritt 3. Wie natürliche Zahlen addieren: 530 + 247 = 777.
Schritt 4. Das Komma unter die Kommas der Summanden setzen: 7,77.
Beispiel 2. Subtraktion von einer ganzen Zahl: 6 − 2,35
Schritt 1. 6 als Dezimalzahl darstellen: 6 = 6,00.
Schritt 2. Untereinanderschreiben: 6,00 − 2,35.
Schritt 3. Mit Entbündeln aus den höheren Stellen subtrahieren: 3,65.
Probe. 3,65 + 2,35 = 6 — stimmt.
Beispiel 3. Multiplikation: 2,5 × 0,04
Schritt 1. Ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren: 25 × 4 = 100.
Schritt 2. Nachkommastellen zählen: eine bei 2,5 und zwei bei 0,04 — zusammen drei.
Schritt 3. Von rechts drei Stellen abtrennen: 0,100.
Schritt 4. Abschließende Nullen im Bruchteil weglassen: 0,1.
Größenordnungs-Probe. 0,04 ist kleiner als eins, also muss das Ergebnis kleiner sein als 2,5 — stimmt.
Beispiel 4. Division durch eine Dezimalzahl: 1,44 : 1,2
Schritt 1. Den Divisor zu einer ganzen Zahl machen: das Komma in beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts verschieben — man erhält 14,4 : 12.
Schritt 2. Den ganzzahligen Teil schriftlich dividieren: 14 : 12 = 1, Rest 2.
Schritt 3. Der ganzzahlige Teil ist fertig — im Ergebnis das Komma setzen und die 4 herunterholen: 24 : 12 = 2.
Antwort: 1,2. Probe: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Häufige Fehler beim Rechnen mit Dezimalzahlen
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Bei Addition und Subtraktion werden die Zahlen wie ganze Zahlen am rechten Rand ausgerichtet: schreibt man 3,25 + 4,8 schriftlich ohne auf das Komma zu achten, kommt 3,73 heraus.
Richte am Komma aus, nicht an der letzten Ziffer: 4,8 = 4,80, dann ergibt 3,25 + 4,80 = 8,05. Zehntel müssen unter Zehntel stehen, Hundertstel unter Hundertstel.
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Bei der Multiplikation versucht man, die Kommas auszurichten, oder setzt das Komma im Produkt 'unter die Kommas' der Faktoren.
Bei der Multiplikation werden Kommas überhaupt nicht ausgerichtet. Multipliziere wie ganze Zahlen und trenne von rechts so viele Stellen ab, wie beide Faktoren zusammen Nachkommastellen haben.
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Hat das Produkt weniger Ziffern, als abgetrennt werden müssen, gehen Nullen verloren: 0,12 × 0,3 = 0,36 statt 0,036.
12 × 3 = 36 — das sind nur zwei Ziffern, abgetrennt werden müssen aber drei. Hänge die fehlenden Nullen links an: 0,036.
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Bei der Division durch eine Dezimalzahl verschiebt man das Komma nur im Divisor: aus 4,2 : 0,7 wird 4,2 : 7, und man erhält 0,6.
Das Komma wird in beiden Zahlen um die gleiche Anzahl Stellen verschoben: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Sonst wird das Ergebnis um das Zehnfache zu klein.
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Dezimalzahlen werden nach der Anzahl der Ziffern verglichen: man denkt, 5,68 sei größer als 5,7, weil die Schreibweise länger ist.
Gleiche die Stellen mit Nullen an und vergleiche stellenweise: 5,70 und 5,68 — bei den Zehnteln gilt 7 > 6, also ist 5,7 > 5,68.
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Bei der Multiplikation oder Division mit 10, 100, 1000 wird das Komma in die falsche Richtung verschoben.
Die Multiplikation vergrößert die Zahl — das Komma wandert nach rechts: 3,74 × 10 = 37,4. Die Division verkleinert sie — das Komma wandert nach links: 3,74 : 10 = 0,374. Die Anzahl der Stellen entspricht der Anzahl der Nullen.
Fragen und Antworten
Welche Rechenarten mit Dezimalzahlen werden in der 5. Klasse behandelt?
In der 5. Klasse werden alle vier Grundrechenarten behandelt — Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Dezimalzahlen — sowie ihr Vergleich und das Runden. Meist beginnt man mit der schriftlichen Addition und Subtraktion, dann folgen Multiplikation und Division durch eine natürliche Zahl, und zum Schluss die Division durch eine Dezimalzahl.
Ändert sich eine Dezimalzahl, wenn man rechts Nullen anhängt?
Nein: 5,7 = 5,70 = 5,700 ist dieselbe Zahl. Das Anhängen von Nullen nutzt man, um bei Addition, Subtraktion und Vergleich die Anzahl der Nachkommastellen anzugleichen. Eine Null zwischen Ziffern einzufügen oder eine Null aus der Mitte einer Zahl zu entfernen, geht dagegen nicht — das würde die Zahl verändern.
Wie rundet man eine Dezimalzahl?
Suche die Stelle, auf die gerundet werden soll, und schau dir die folgende Ziffer an: Ist sie kleiner als 5, bleibt die zu rundende Ziffer gleich (3,748 ≈ 3,7); ist sie 5 oder größer, wird sie um eins erhöht (2,85 ≈ 2,9). Alle Ziffern rechts davon werden weggelassen.
Wie wandelt man einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl um?
Teile den Zähler durch den Nenner: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Nicht jeder gewöhnliche Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl: 1/3 = 0,333… ist zum Beispiel eine unendliche periodische Dezimalzahl. Eine endliche Dezimalzahl entsteht, wenn sich der Nenner nur in die Faktoren 2 und 5 zerlegen lässt.
In welcher Reihenfolge löst man Aufgaben mit Dezimalzahlen?
Die Reihenfolge ist dieselbe wie bei natürlichen Zahlen: zuerst die Klammern, dann Multiplikation und Division von links nach rechts, dann Addition und Subtraktion von links nach rechts. Die Dezimalschreibweise der Zahlen ändert nichts an der Reihenfolge der Rechenoperationen.
Kann man eine kleinere Dezimalzahl durch eine größere teilen?
Ja. Ist der Dividend kleiner als der Divisor, wird das Ergebnis einfach kleiner als eins: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. In diesem Fall schreibt man im ganzzahligen Teil des Ergebnisses eine 0 und dividiert nach dem Komma weiter.
