Kvadratická rovnice je rovnice tvaru \(ax^2 + bx + c = 0\), kde \(a \neq 0\). Počet jejích kořenů určuje diskriminant \(D = b^2 - 4ac\) a samotné kořeny se najdou podle vzorce \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Na této stránce je vše o tématu: standardní tvar a koeficienty, tři druhy neúplných rovnic, diskriminant a tři případy, vzorec pro kořeny a jeho „sudá“ varianta, redukovaná rovnice a Vietova věta, rozklad na součinové činitele a bikvadratické rovnice — s příklady krok za krokem, rozborem častých chyb a interaktivním trenažérem.
Co je to kvadratická rovnice
Kvadratická rovnice je rovnice tvaru
kde \(x\) je neznámá a \(a\), \(b\), \(c\) jsou čísla (koeficienty), přičemž \(a \neq 0\). Takový zápis se nazývá standardní tvar kvadratické rovnice: vlevo jsou členy seřazeny podle klesající mocniny, vpravo je nula.
Podmínka \(a \neq 0\) není formalita. Právě člen \(ax^2\) činí rovnici kvadratickou: při \(a = 0\) zůstává \(bx + c = 0\), tedy obyčejná lineární rovnice s jedním kořenem. Proto se v úlohách s parametrem jako první kontroluje, zda se nejvyšší koeficient neobrátí v nulu.
Přivést rovnici do standardního tvaru lze téměř vždy: roznásobit závorky, převést všechny členy na levou stranu a sečíst podobné. Například \(5x^2 = 3x - 2\) se po převodu změní na \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), odkud \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Slovo „kvadratická rovnice“ znamená přesně totéž — je to jen jiný variant názvu.
Úplné a neúplné kvadratické rovnice
Pokud jsou všechny tři koeficienty nenulové, rovnice se nazývá úplná. Pokud \(b\) nebo \(c\) (nebo obě) jsou nulové — neúplná. Neúplné typy jsou přesně tři a žádný z nich nevyžaduje diskriminant: každý se řeší jedním až dvěma řádky a je to nejrychlejší způsob, jak ušetřit čas na písemce.
Klíčová myšlenka pro \(ax^2 + bx = 0\) — vytknutí společného činitele. Součin \(x(ax + b)\) je roven nule tehdy a jen tehdy, když je alespoň jeden činitel roven nule, odtud hned dva kořeny. Pro \(ax^2 + c = 0\) je myšlenka jiná: vyjádřit \(x^2\) a podívat se na znaménko výsledného čísla — druhá mocnina reálného čísla nemůže být záporná.
| Typ rovnice | Jak řešit |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Převeďte c na pravou stranu a vydělte a: x2 = −c/a. Odmocněte, nezapomeňte na druhé znaménko.x = 5 a x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Vytkněte x: x(ax + b) = 0. Součin je nula, když je nula alespoň jeden z činitelů.x = 0 a x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Vydělte a a odmocněte nulu. Kořen je vždy právě jeden.x = 0 |
Diskriminant: jak ho najít a kolik bude kořenů
Diskriminant je číslo, které se počítá z koeficientů úplné rovnice:
Samotné slovo znamená „rozlišovač“: diskriminant nic neřeší, pouze rozlišuje tři situace — kořeny jsou dva, kořen je jeden nebo kořeny nejsou žádné. Proto otázka „kolik kořenů má rovnice“ se řeší bez nalezení samotných kořenů.
Počítejte \(D\) pečlivě: \(b^2\) je vždy kladné, i když je samotné \(b\) záporné, a znaménka \(a\) a \(c\) vstupují do součinu \(4ac\) tak, jak jsou. Vezměme \(x^2 + 4x - 5 = 0\): zde \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), takže \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminant je kladný a kořeny budou dva.
Vzorec pro kořeny kvadratické rovnice
Když \(D \ge 0\), kořeny se najdou podle hlavního vzorce tématu:
Znaménko \(\pm\) znamená dvě výpočty: jednou se sčítáním, podruhé s odčítáním. Při \(D = 0\) oba výpočty dají stejné číslo \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — tento kořen se nazývá dvojnásobný.
Dvě místa, kde se nejčastěji chybuje: v čitateli je minus \(b\) (pro \(b = -7\) je to \(+7\)) a ve jmenovateli je \(2a\), nikoli jen \(2\). Při \(a = 1\) není rozdíl patrný, proto chyba vyplave na povrch právě tam, kde se hlavní koeficient liší od jedničky.
Vyřešme \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), proto \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) a \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Sudý druhý koeficient: vzorec s D₁
Pokud je \(b\) sudé číslo, je vhodné ho zapsat jako \(b = 2k\) a počítat „zmenšený“ diskriminant:
Čísla ve výpočtech budou čtyřikrát menší (\(D = 4D_1\)) a znaménko u \(D_1\) je stejné jako u \(D\) — takže závěr o počtu kořenů se nemění.
Příklad: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Zde \(b = 8\), tedy \(k = 4\), a \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Pak \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) a \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Podle běžného vzorce by se pracovalo s \(D = 100\) — výsledek je stejný, ale aritmetiky je víc.
Redukovaná rovnice a Vietova věta
Rovnice s \(a = 1\) se nazývá redukovaná a zapisuje se jako \(x^2 + px + q = 0\). Každou kvadratickou rovnici lze převést do tohoto tvaru vydělením číslem \(a\): například \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) se po vydělení 4 stane \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Redukovaný tvar je cenný tím, že pro něj platí Vietova věta: součet kořenů je roven \(-p\) a součin je roven \(q\). Pro \(x^2 - 7x + 10 = 0\) potřebujeme dvě čísla se součtem 7 a součinem 10 — to jsou 2 a 5, a diskriminant jsme ani nemuseli počítat.
Podbírání podle Viety pomůže, když jsou kořeny celočíselné a malé, a také zdarma ověří odpověď nalezenou přes diskriminant: součet musí dát \(-p\) a součin \(q\). Vzorce pro obecný tvar, zpětná věta a algoritmus podbírání jsou rozebrány v samostatném materiálu — Vietova věta.
Rozklad kvadratického trojčlenu na součinové činitele
Pokud jsou kořeny \(x_1\) a \(x_2\) nalezeny, kvadratický trojčlen se rozloží na součinové činitele:
Činitel \(a\) nesmíte zapomenout — bez něj rovnost přestává platit. Ověřit rozklad je vždy snadné: roznásobte závorky a porovnejte s původním trojčlenem. Řekněme, že u \(x^2 + 2x - 8\) jsou kořeny 2 a \(-4\), proto \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Funguje i opačný směr: pokud se trojčlen podařilo rozložit v duchu, kořeny jsou hned vidět a diskriminant není potřeba. Zde pomáhají vzorce pro zkrácené násobení — například \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) dává kořeny \(4\) a \(-4\) okamžitě.
Třetí způsob, jak se obejít bez vzorce pro kořeny, je doplnění na úplný čtverec. V \(x^2 + 6x + 5 = 0\) první dva členy doplní čtverec součtu: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), tedy \((x + 3)^2 = 4\), odkud \(x + 3 = \pm 2\) a \(x = -1\) nebo \(x = -5\). Právě tímto postupem se vzorec pro kořeny odvozuje v obecném tvaru.
Rovnice převoditelné na kvadratické: bikvadratické
Bikvadratická rovnice má tvar \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): mocniny jsou pouze sudé. Řeší se substitucí \(t = x^2\), přičemž je nutná podmínka \(t \ge 0\) — druhá mocnina reálného čísla nemůže být záporná.
Po substituci vznikne běžná kvadratická rovnice \(at^2 + bt + c = 0\). Tu řešíme diskriminantem a pak pro každý nezáporný kořen \(t\) se vrátíme k \(x = \pm\sqrt{t}\). Odtud plyne i počet kořenů: až čtyři.
Například \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) po substituci dává \(t^2 - 5t + 4 = 0\) s kořeny \(t = 1\) a \(t = 4\). Obě hodnoty jsou kladné, proto \(x = \pm 1\) a \(x = \pm 2\) — celkem čtyři kořeny. Kdyby jedna z hodnot \(t\) byla záporná, prostě by se zahodila.
Stejným postupem se řeší zlomkově-racionální rovnice (po převedení na společného jmenovatele a zahození zakázaných hodnot) a rovnice se substitucí tvaru \(t = x^2 + 3x\).
Příklady řešení kvadratických rovnic
Příklad 1. Úplná rovnice, D > 0
Vyřešte \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Krok 1. Rovnice je již ve standardním tvaru: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Krok 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — kořeny jsou dva.
Krok 3. \(\sqrt{D} = 5\), proto \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Krok 4. Ověření dosazením. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Odpověď: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Příklad 2. Diskriminant je roven nule
Vyřešte \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Krok 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Krok 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — kořen je jeden.
Krok 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Krok 4. Ověření. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Odpověď: \(x = 1{,}5\). Všimněte si: levá strana je úplný čtverec \((2x - 3)^2\), proto kořen vyšel právě jeden.
Příklad 3. Diskriminant je záporný
Vyřešte \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Krok 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Krok 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Krok 3. Diskriminant je záporný, takže odmocnit \(\sqrt{D}\) v oboru reálných čísel nelze. Vzorec pro kořeny není třeba použít — řešení je tímto ukončeno.
Odpověď: reálné kořeny neexistují. Toto je plnohodnotná odpověď, nikoli známka chyby: graf funkce \(y = 2x^2 + 3x + 5\) jednoduše neprotíná osu x.
Příklad 4. Neúplná rovnice tvaru ax² + c = 0
Vyřešte \(3x^2 - 27 = 0\).
Krok 1. Převedeme absolutní člen: \(3x^2 = 27\).
Krok 2. Vydělíme třemi: \(x^2 = 9\).
Krok 3. Druhou mocninou čísla 9 jsou dvě čísla: \(x = 3\) a \(x = -3\). Druhé znaménko se ztrácí nejčastěji.
Krok 4. Ověření. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Odpověď: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Porovnejte s rovnicí \(2x^2 + 8 = 0\): tam \(x^2 = -4\) a reálné kořeny neexistují.
Příklad 5. Neúplná rovnice tvaru ax² + bx = 0
Vyřešte \(5x^2 - 15x = 0\).
Krok 1. Vytkneme společný činitel: \(5x(x - 3) = 0\).
Krok 2. Součin je roven nule, když je roven nule jeden z činitelů: \(5x = 0\) nebo \(x - 3 = 0\).
Krok 3. Odtud \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Krok 4. Ověření. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Odpověď: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Pokud bychom původní rovnici zkrátili číslem \(x\), zůstalo by jen \(x = 3\) — kořen \(x = 0\) by zmizel. Dělit výrazem s neznámou nelze.
Příklad 6. Sudý druhý koeficient
Vyřešte \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Krok 1. \(b = -22\) je sudé, proto \(k = -11\), a \(a = 5\), \(c = 8\).
Krok 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Krok 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Krok 4. Ověření. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Odpověď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Běžný diskriminant by dal \(D = 324\) — stejný výsledek, ale počítalo by se déle.
Příklad 7. Nejprve převést na standardní tvar
Vyřešte \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Krok 1. Roznásobíme závorky: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), tedy \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Krok 2. Převedeme devítku doleva: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Teprve teď můžeme zapsat koeficienty: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Krok 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Krok 4. Ověření v původní rovnici. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Odpověď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Častá chyba zde je přirovnat každou závorku k 9: pravidlo „součin je roven nule“ platí pouze pro nulu.
Příklad 8. Rozklad trojčlenu na součinové činitele
Rozložte \(2x^2 - 5x - 3\) na součinové činitele.
Krok 1. Přirovnáme trojčlen k nule a najdeme kořeny: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Krok 2. Dosadíme do vzorce \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Krok 3. Dvojku je vhodné zanést do druhé závorky: \((x - 3)(2x + 1)\).
Krok 4. Ověření roznásobením závorek. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Odpověď: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Příklad 9. Bikvadratická rovnice
Vyřešte \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Krok 1. Substituce \(t = x^2\), kde \(t \ge 0\). Rovnice se změní na \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Krok 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Krok 3. Obě hodnoty jsou nezáporné, proto se vrátíme k \(x\): z \(x^2 = 9\) dostaneme \(x = \pm 3\), z \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Krok 4. Ověření. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Pro záporné hodnoty dají sudé mocniny stejná čísla.
Odpověď: \(x = \pm 2\) a \(x = \pm 3\) — čtyři kořeny.
Časté chyby při řešení kvadratických rovnic
-
Počítají diskriminant, aniž by rovnici převedli na standardní tvar: pro $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ hned berou $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Nejprve převedeme vše na levou stranu a sečteme podobné členy: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), tedy \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Teprve z toho \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Vzorec pro kořeny funguje výhradně se standardním tvarem.
-
Ztrácejí znaménko při umocňování $b$ na druhou: pro $x^2 - 9x + 14 = 0$ píší $D = -81 - 56$.
Druhá mocnina libovolného čísla je nezáporná: \((-9)^2 = 81\), nikoli \(-81\). Správně je \(D = 81 - 56 = 25\), kořeny \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), tedy 7 a 2. Ověření: \(49 - 63 + 14 = 0\) a \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
V čitateli ponechávají $b$ místo $-b$: pro $x^2 + 5x - 6 = 0$ počítají $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Ve vzorci je \(-b\), proto při \(b = 5\) bude v čitateli \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), odkud \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Dosazení potvrzuje: \(1 + 5 - 6 = 0\) a \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Při $D = 0$ píší „kořeny nejsou“: u $x^2 + 14x + 49 = 0$ je diskriminant nulový a řešení ukončí.
Kořeny nejsou pouze při \(D < 0\). Při \(D = 0\) je kořen právě jeden: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Ověření: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Krátí rovnici $4x^2 - 9x = 0$ číslem $x$ a dostanou jediný kořen $x = 2{,}25$.
Dělit výrazem s neznámou nelze: \(x\) může být nula a kořen \(x = 0\) se ztratí. Správně je vytknout činitel: \(x(4x - 9) = 0\), odkud \(x_1 = 0\) a \(x_2 = 2{,}25\). Ověření: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
U rovnice $x^2 = 16$ zapisují pouze $x = 4$.
Druhá mocnina je 16 i u čísla \(-4\). Zapisovat je třeba oba kořeny: \(x = \pm 4\). Spolehlivější je řešit přes standardní tvar \(x^2 - 16 = 0\), tedy \((x - 4)(x + 4) = 0\) — pak jsou oba činitelé hned vidět.
-
Nekontrolují podmínku $a \neq 0$ v rovnici s parametrem: u $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ hned počítají diskriminant.
Při \(m = 2\) se hlavní koeficient obrátí v nulu a rovnice se stane lineární \(3x - 1 = 0\) s jediným kořenem \(x = \dfrac{1}{3}\). Případ \(m = 2\) se řeší zvlášť a vzorec pro kořeny se použije jen při \(m \neq 2\).
Otázky a odpovědi
Co je to kvadratická rovnice?
Je to rovnice tvaru \(ax^2 + bx + c = 0\), kde \(a\), \(b\), \(c\) jsou čísla a \(a \neq 0\). Neznámá v ní vstupuje ve druhé mocnině, proto kořenů může být dva, jeden nebo žádný.
Jak vypadá standardní tvar kvadratické rovnice?
Standardní (obecný) tvar je \(ax^2 + bx + c = 0\): všechny členy jsou sebrány vlevo podle klesající mocniny, vpravo je nula. K němu se přivádí každá kvadratická rovnice před výpočtem diskriminantu.
Jak najít diskriminant?
Podle vzorce \(D = b^2 - 4ac\), dosazením koeficientů včetně jejich znamének. Například pro \(x^2 + 3x - 10 = 0\) dostaneme \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), a kořeny jsou \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), tedy 2 a \(-5\).
Jaký je vzorec pro kořeny kvadratické rovnice?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), nebo kratší \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Používá se při \(D \ge 0\); ve jmenovateli je právě \(2a\), nikoli \(2\).
Kolik kořenů může mít kvadratická rovnice?
Ne více než dva. Při \(D > 0\) jsou kořeny dva, při \(D = 0\) — jeden (dvojnásobný), při \(D < 0\) reálné kořeny neexistují.
Co je to neúplná kvadratická rovnice?
Je to rovnice, u které je \(b = 0\), \(c = 0\) nebo obě najednou: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Všechny tři se řeší bez diskriminantu — převedením členu nebo vytknutím \(x\) ze závorky.
Jak řešit kvadratické rovnice bez diskriminantu?
Existují tři cesty: podbírání kořenů podle Vietovy věty pro redukovanou rovnici, rozklad na součinové činitele a doplnění na úplný čtverec. Nejrychleji funguje podbírání, když jsou kořeny — malá celá čísla.
Co dělat, když je diskriminant záporný?
Napsat, že reálné kořeny neexistují, a ukončit řešení. Záporný diskriminant je normální odpověď: graf odpovídající paraboly neprotíná osu x. Kořeny v takovém případě existují pouze mezi komplexními čísly, a ty se probírají později.
Jak ověřit nalezené kořeny?
Dosadit každý kořen do původní rovnice — mělo by vyjít platné rovnost. Pro redukovanou rovnici existuje i rychlé ověření podle Vietovy věty: součet kořenů je roven \(-p\), součin je roven \(q\).
Kvadratická a kvadratická rovnice — je to totéž?
Ano, jsou to dva názvy jednoho objektu \(ax^2 + bx + c = 0\). Nezaměňujte ji s kvadratickou funkcí \(y = ax^2 + bx + c\): kořeny rovnice jsou právě x-ové souřadnice bodů, kde graf funkce protíná osu x.
V kterém ročníku se probírají kvadratické rovnice?
V 8. třídě na algebře: nejprve neúplné rovnice, pak diskriminant, vzorec pro kořeny a Vietova věta. Dále se téma objevuje u kvadratické funkce, nerovnic, úloh v rámci přijímacích zkoušek na střední školy (např. OGE a ЕГЭ v Rusku).
