Znaky dělitelnosti čísel: tabulka a příklady

Znak dělitelnosti je pravidlo, podle kterého lze zjistit, zda je číslo beze zbytku dělitelné jiným číslem, aniž bychom provedli samotné dělení. Stačí se podívat na poslední cifry nebo sečíst všechny cifry čísla.

Znaky dělitelnosti pomáhají všude tam, kde je potřeba rychle pochopit „strukturu“ čísla:

• při zkracování zlomků – hned je vidět, čím lze krátit čitatele i jmenovatele;
• při rozkladu čísla na prvočinitele;
• při hledání největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku;
• při rychlé kontrole odpovědí v příkladech a úlohách.

Je důležité nezaměňovat dvě různé otázky. „Je 3726 dělitelné 9?“ – na to odpovídá znak dělitelnosti: součet cifer 3 + 7 + 2 + 6 = 18 je dělitelný 9, takže ano. A „kolik to bude?“ – to už je samotné dělení: 3726 : 9 = 414. Znak dává pouze odpověď „ano“ nebo „ne“, ale zato okamžitě a v hlavě.

Všechny školní znaky dělitelnosti je vhodné mít před očima v jedné tabulce. Barva napovídá, kam se podívat: na poslední cifru, na součet cifer, na „ocas“ ze dvou-tří posledních cifer nebo rovnou na dva znaky.

Nejjednodušší skupina: díváme se jen na poslední cifru, ostatní nejsou důležité.

• na 2 jsou dělitelná všechna sudá čísla – ta, která končí na 0, 2, 4, 6 nebo 8;
• na 5 – čísla končící na 0 nebo 5;
• na 10 – čísla končící na 0.

Délka čísla nehraje roli: 987 654 320 je dělitelné 2, 5 i 10, protože končí nulou. A 1435 je dělitelné 5 (poslední cifra 5), ale není dělitelné ani 2, ani 10 – číslo je liché.

Z toho plyne užitečný závěr: na 10 jsou dělitelná přesně ta čísla, která jsou dělitelná současně 2 i 5.

Zde poslední cifra nic neřeší – funguje součet všech cifer čísla:

• číslo je dělitelné 3, pokud je součet jeho cifer dělitelný 3;
• číslo je dělitelné 9, pokud je součet jeho cifer dělitelný 9.

Pokud součet vyšel velký, lze znak použít znovu: u čísla 899 991 je součet cifer 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, a u 45 je součet 4 + 5 = 9 – znamená to, že původní číslo je dělitelné 9 i 3.

Znaky jsou podobné, ale nenahrazují se. Každé číslo, které je dělitelné 9, je dělitelné i 3 – protože samotná devítka je dělitelná trojkou. Opačně to neplatí: součet cifer může být dělitelný 3 a přitom ne dělitelný 9, a pak číslo projde jen jedním z těchto znaků. Oba případy jsou rozebrány níže.

Jedné poslední cifry zde nestačí – je potřeba „ocas“ z několika posledních cifer:

• na 4 je dělitelné číslo, u kterého poslední dvě cifry tvoří číslo dělitelné 4;
• na 8 – pokud poslední tři cifry tvoří číslo dělitelné 8;
• na 25 – pokud poslední dvě cifry tvoří 00, 25, 50 nebo 75.

Proč stačí ocas: 100 je dělitelné 4 i 25, a 1000 je dělitelné 8. Proto vše, co je nalevo, je již samo dělitelné potřebným číslem a neovlivňuje výsledek.

Z toho plyne důležité důsledek: sudost pro čtyřku a osmičku nestačí. Číslo může být sudé, ale pokud jeho ocas ze dvou nebo tří cifer není beze zbytku dělitelný, pak není dělitelné ani celé číslo. Rozbor ocasů – ve vložce níže.

Samostatné pravidlo pro šestku neexistuje: 6 = 2 · 3, a činitelé jsou nesoudělní. Proto je znak složený – číslo je dělitelné 6, pokud je dělitelné současně 2 i 3.

Ověříme 5124: poslední cifra 4 – číslo je sudé, tedy dělitelné 2; součet cifer 5 + 1 + 2 + 4 = 12 je dělitelný 3. Obě podmínky jsou splněny → 5124 : 6 = 854.

Samotná sudost nestačí: 1000 je sudé, ale součet jeho cifer je 1 a není dělitelný 3, proto číslo není dělitelné 6. Neplatí ani opačná polovina: u 4521 je součet cifer 12 dělitelný 3, ale samotné číslo je liché – na 6 také není dělitelné.

Stejně tak se skládají další složené znaky: na 12 – dělitelné 3 a 4, na 15 – na 3 a 5, na 18 – na 2 a 9, na 45 – na 5 a 9.

Znak dělitelnosti na 11 používá střídavý součet cifer. Cifry se sčítají od poslední, střídavě se mění znaménko: plus, mínus, plus, mínus. Pokud je výsledek dělitelný 11 (včetně nuly), pak je dělitelné i celé číslo.

Stejné pravidlo se často formuluje jinak: rozdíl mezi součtem cifer na lichých místech a součtem cifer na sudých místech musí být dělitelný 11. Je to jedno a to samé pravidlo.