Aritmetická odmocnina z čísla \(a\) je číslo, jehož druhá mocnina je rovna \(a\), a aritmetickou odmocninou nazýváme pouze jeho nezápornou hodnotu: \(\sqrt{25} = 5\). Odmocnit lze pouze nezáporná čísla, zato vlastnosti odmocniny proměňují objemné výrazy v krátké. Na této stránce — definice a definiční obor, všechny vlastnosti odmocniny se vzorci, tabulka odmocnin od 1 do 20, postupy odmocnění a vyjmutí činitele, rozepsané příklady, časté chyby a interaktivní trenažér.
Co je odmocnina z čísla
Odmocnina z čísla \(a\) je takové číslo, jehož druhá mocnina je rovna \(a\). Odmocnění a umocnění na druhou jsou vzájemně opačné operace: ze \(7^2 = 49\) ihned plyne, že odmocnina z 49 je 7.
Ale kladné číslo má odmocniny přesně dvě, a liší se pouze znaménkem: \(5^2 = 25\) a \((-5)^2 = 25\), tedy odmocninami z 25 jsou jak \(5\), tak \(-5\). Aby zápis \(\sqrt{25}\) označoval jediné číslo, dohodli jsme se: znaménkem \(\sqrt{\phantom{a}}\) zapisujeme pouze nezáporný kořen. Ten nazýváme aritmetický.
Zápis má svá jména: znaménko \(\sqrt{\phantom{a}}\) je radikál, a číslo nebo výraz pod ním — výraz pod odmocninou.
Aritmetická odmocnina: definice a definiční obor
Aritmetickou odmocninou z nezáporného čísla \(a\) nazýváme nezáporné číslo, jehož druhá mocnina je rovna \(a\). Značíme ji \(\sqrt{a}\) a čteme „odmocnina z a“.
V definici jsou skryta dvě pravidla, a obě jsou stejně důležitá:
- výraz pod odmocninou je nezáporný: \(a \ge 0\);
- hodnota odmocniny je nezáporná: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Odtud ihned dostáváme: \(\sqrt{25} = 5\), a ne \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); a zápis \(\sqrt{-9}\) v reálných číslech nemá smysl — neexistuje číslo, jehož druhá mocnina by byla záporná.
První pravidlo určuje definiční obor výrazu s odmocninou. Například \(\sqrt{x-7}\) má smysl při \(x - 7 \ge 0\), tedy při \(x \ge 7\): jakákoli menší hodnota \(x\) „strčí“ pod odmocninu záporné číslo.
Z definice plyne i rovnost \((\sqrt{a})^2 = a\) při \(a \ge 0\): umocnění odmocniny na druhou vrátí číslo pod odmocninou. Funguje to i tehdy, když samotnou odmocninu neumíme přesně spočítat: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabulka odmocnin: druhé mocniny čísel od 1 do 20
Odmocnina se celočíselně vypočítá právě tehdy, když číslo pod odmocninou je dokonalý čtverec. Proto tabulka druhých mocnin funguje i jako tabulka odmocnin: čte se oběma směry — \(14^2 = 196\), tudíž \(\sqrt{196} = 14\).
Tabulka pomůže nejen s celými čísly:
- desetinná čísla: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), protože \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- zlomky: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — odmocnina se počítá zvlášť z čitatele a zvlášť ze jmenovatele;
- kulatá čísla: \(\sqrt{2500} = 50\), protože \(2500 = 25 \cdot 100\), a odmocnina z každého činitele je známa.
Vlastnosti odmocniny
Vlastnosti odmocniny umožňují počítat výrazy bez odmocňování každé odmocniny zvlášť a zjednodušit výsledek.
Odmocnina z součinu je rovna součinu odmocnin: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) při \(a \ge 0\) a \(b \ge 0\). Například \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — stejný výsledek jako \(\sqrt{144}\).
Odmocnina z podílu je rovna podílu odmocnin: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) při \(a \ge 0\) a \(b > 0\). Například \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Podmínka \(b > 0\) je přísná: nulou dělit nelze.
Odmocnina z druhé mocniny je rovna absolutní hodnotě: \(\sqrt{a^2} = |a|\), a to platí pro jakékoli číslo \(a\). Zde je hlavní záludnost celé tématiky. Pokud \(a \ge 0\), nic se nemění: \(\sqrt{7^2} = 7\). Ale při záporném \(a\) se znaménko „narovná“: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), a ne \(-6\) — protože aritmetická odmocnina nemůže být záporná.
Druhá mocnina odmocniny vrátí číslo pod odmocninou: \((\sqrt{a})^2 = a\) při \(a \ge 0\).
A pro součet a rozdíl podobné vlastnosti neexistují: odmocnina ze součtu není rovna součtu odmocnin. To je nejčastější chyba tématu, rozbor — níže.
| Vlastnost a podmínka | Příklad |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpři a ≥ 0 a b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpři a ≥ 0 a b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|při libovolném a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apři a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpři b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Jak odmocnit číslo
Kalkulačka není vždy po ruce, a školní úkoly jsou téměř vždy sestaveny tak, že odmocnina se vypočítá. Postup je následující.
- Zkontrolujte podle tabulky druhých mocnin. Pokud číslo v tabulce je, odpověď je hotová: \(\sqrt{289} = 17\).
- Oddělte kulatý činitel. U čísel s nulami je vhodné oddělit \(100\), \(10\,000\) a tak dále: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Rozložte na prvočinitele. To je univerzální metoda: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), exponenty dělíme dvěma a dostaneme \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Desetinné číslo převeďte na obyčejný zlomek. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Zároveň to zabrání ztrátě řádu.
- Pokud neexistuje přesný čtverec — odmocnina je iracionální. Pak ji buď necháme v odpovědi jako symbol (píšeme: \(\sqrt{30}\)), nebo ji odhadneme mezi sousedními čtverci.
Kontrola zabere sekundu: získané číslo umocníme na druhou a podíváme se, zda se vrátilo číslo pod odmocninou. \(24^2 = 576\) — správně.
Vyjmutí činitele ze znaménka odmocniny
Odmocnina se málokdy nechává „syrová“ — zpod ní se vyjímá vše, co lze odmocnit. Funguje vlastnost \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) při \(b \ge 0\): hledáme největšího čtvercového dělitele čísla pod odmocninou.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Opačná operace — vnesení činitele pod odmocninu: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) při \(a \ge 0\). Například \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Se záporným činitelem je třeba opatrnost: mínus pod odmocninu nevstupuje a zůstává vně. Správný zápis je — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), a ne \(\sqrt{12}\).
K čemu je to dobré: po vyjmutí činitele se odmocniny se stejným výrazem pod odmocninou stávají podobnými členy a lze je sčítat. A vnesení činitele pod odmocninu — nejrychlejší způsob porovnání dvou výrazů s odmocninami.
Kolik je odmocnina, která se nedá odmocnit
Pokud číslo pod odmocninou není dokonalý čtverec, odmocnina je iracionální číslo: jeho desetinný zápis je nekonečný a neperiodický. Například \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), a přesná hodnota se zapisuje pouze symbolem \(\sqrt{2}\). Zaokrouhlený výsledek se píše pouze tehdy, když o to žádá zadání.
Odhadnout takovou odmocninu lze bez kalkulačky: najít dva sousední dokonalé čtverce, mezi kterými leží číslo pod odmocninou. Funguje pravidlo porovnání: pro \(a \ge 0\) a \(b \ge 0\) z \(a < b\) plyne \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — většímu číslu pod odmocninou odpovídá větší odmocnina.
Příklady výpočtů s odmocninami
Příklad 1. Hodnota výrazu s odmocninami
Vypočítejte \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Krok 1. \(\sqrt{121} = 11\), protože \(11^2 = 121\).
Krok 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), protože \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Krok 3. Odmocninu ze zlomku počítáme podle čitatele a jmenovatele: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Krok 4. Sčítáme: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Odpověď: 11.
Příklad 2. Odmocnina ze součinu
Vypočítejte \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Krok 1. Zvlášť tyto odmocniny nelze odmocnit, proto je spojíme do jedné: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Krok 2. Spočítáme součin pod odmocninou: \(8 \cdot 18 = 144\).
Krok 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Jiná cesta — vyjmout činitele předem: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) a \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), pak \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Odpovědi se shodovaly.
Odpověď: 12.
Příklad 3. Odmocnění rozkladem na činitele
Vypočítejte \(\sqrt{576}\) a \(\sqrt{6400}\).
Krok 1. Číslo 576 v tabulce druhých mocnin není, proto ho rozložíme na prvočinitele: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Krok 2. Exponenty dělíme dvěma: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Krok 3. Kontrola. \(24^2 = 576\) — správně.
Krok 4. U čísla 6400 je vhodnější oddělit kulatý činitel: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Kontrola: \(80^2 = 6400\).
Odpověď: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Příklad 4. Vyjmutí činitele a sčítání podobných členů
Zjednodušte \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Krok 1. Vyjmeme činitele zpod každé odmocniny: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), tudíž \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Krok 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Krok 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Krok 4. Sčítat lze pouze odmocniny se stejným výrazem pod odmocninou: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), a člen s \(\sqrt{3}\) zůstává zvlášť.
Odpověď: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Příklad 5. Odmocnina z druhé mocniny s proměnnou
Zjednodušte \(\sqrt{(x-4)^2}\) při \(x < 4\).
Krok 1. Podle vlastnosti odmocniny z druhé mocniny \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — ihned píšeme absolutní hodnotu, ne \(x - 4\).
Krok 2. Otevřeme absolutní hodnotu podle podmínky. Pokud \(x < 4\), pak rozdíl \(x - 4\) je záporný, a absolutní hodnota záporného čísla je číslo opačné: \(|x-4| = 4 - x\).
Krok 3. Kontrola. Vezměme \(x = 1\): zleva \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), zprava \(4 - 1 = 3\) — sedí.
Odpověď: \(4 - x\). Pro srovnání, při \(x \ge 4\) by odpovědí bylo \(x - 4\).
Příklad 6. Porovnání výrazů s odmocninami
Porovnejte \(3\sqrt{5}\) a \(5\sqrt{2}\).
Krok 1. Obě čísla jsou kladná, proto vneseme činitele pod odmocninu: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Krok 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Krok 3. Porovnáme čísla pod odmocninou: \(45 < 50\), a většímu číslu pod odmocninou odpovídá větší odmocnina.
Odpověď: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Časté chyby při práci s odmocninou
-
Píší $\sqrt{a^2} = a$, zapomínají na absolutní hodnotu.
Správná rovnost — \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pro záporné číslo je to zásadní: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), a ne \(-13\). Aritmetická odmocnina nemůže být záporná, proto se znaménko pod odmocninou „narovná“.
-
Počítají, že odmocnina ze součtu je rovna součtu odmocnin: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Taková vlastnost neexistuje. Nejprve provedeme operaci pod odmocninou: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), a ne 7. Vlastnosti má pouze součin a podíl: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) a \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Odpovídají, že $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — aritmetická odmocnina je vždy jedna a je nezáporná. Dvě hodnoty se objeví v jiném zadání: rovnice \(x^2 = 49\) má kořeny \(x = 7\) a \(x = -7\). Zaměňovat zápis odmocniny s řešením rovnice nelze.
-
Píší $\sqrt{-16} = -4$, uvažují „mínus krát mínus“.
Pod odmocninou nemůže být záporné číslo: \((-4)^2 = 16\), a ne \(-16\), takže \(\sqrt{-16}\) v reálných číslech neexistuje. Ale výraz \(-\sqrt{16} = -4\) je zcela korektní — mínus je před odmocninou, ne pod ní.
-
Vnášejí pod odmocninu záporný činitel: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Pravidlo \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) funguje pouze při \(a \ge 0\). Mínus zůstává vně: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Kontrola znaménkem: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), a \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — čísla jsou opačná.
-
Ztrácejí řád u desetinného čísla: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Kontrolujte zpětným umocněním na druhou: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), nesedí. Správně \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), protože \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Spolehlivý způsob — přejít k obyčejnému zlomku: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Jsou si jisti, že odmocnina je vždy menší než samotné číslo.
To platí pouze pro čísla větší než jedna. Na úseku od 0 do 1 je to naopak: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), a \(0{,}5\) je větší než \(0{,}25\). A pro 0 a 1 je odmocnina rovna samotnému číslu.
Otázky a odpovědi
Co je aritmetická odmocnina jednoduchými slovy?
Je to nezáporné číslo, které po umocnění na druhou dává číslo pod odmocninou. Zapisuje se \(\sqrt{a}\), přičemž výraz pod odmocninou musí být nezáporný: \(a \ge 0\). Například \(\sqrt{64} = 8\), protože \(8 \ge 0\) a \(8^2 = 64\).
Jaký je rozdíl mezi odmocninou a aritmetickou odmocninou?
Kladné číslo má dvě odmocniny — opačné znaménkem. Aritmetickou nazýváme pouze nezápornou z nich, a právě tu označuje znaménko \(\sqrt{\phantom{a}}\). Proto \(\sqrt{25} = 5\), ačkoli rovnice \(x^2 = 25\) má dva kořeny: 5 a \(-5\).
Jak odmocnit číslo bez kalkulačky?
Nejprve zkontrolujte číslo podle tabulky druhých mocnin. Pokud tam není — rozložte na činitele a vyčleňte dokonalé čtverce: \(784 = 16 \cdot 49\), proto \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Odpověď vždy kontrolujte zpětnou operací: \(28^2 = 784\).
Lze odmocnit záporné číslo?
V reálných číslech — ne: druhá mocnina jakéhokoli čísla je nezáporná, proto výraz \(\sqrt{-9}\) nemá smysl. Právě z tohoto pravidla se hledá definiční obor: například \(\sqrt{x-7}\) existuje pouze při \(x \ge 7\).
Kolik je odmocnina z druhé mocniny čísla?
Absolutní hodnota tohoto čísla: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Při nezáporném \(a\) dostaneme samotné číslo, při záporném — číslo k němu opačné: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Jak vyjmout činitel ze znaménka odmocniny?
Najděte největšího čtvercového dělitele čísla pod odmocninou a použijte vlastnost \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Například \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Opačná operace — vnesení činitele pod odmocninu: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Kolik je odmocnina ze 2?
Číslo \(\sqrt{2}\) je iracionální: jeho desetinný zápis je nekonečný a neperiodický, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Přesná hodnota ve tvaru zlomku neexistuje, proto se v odpovědích nechává jako symbol \(\sqrt{2}\), a zaokrouhluje se pouze tehdy, pokud to vyžaduje zadání.
Jak porovnat dvě čísla s odmocninami, aniž bychom je počítali?
Vneste činitele pod odmocninu a porovnejte čísla pod odmocninou: většímu číslu pod odmocninou odpovídá větší odmocnina. Například \(\sqrt{17}\) a 4: protože \(4 = \sqrt{16}\) a \(17 > 16\), platí \(\sqrt{17} > 4\).
V jakém ročníku se probírají odmocniny?
V 8. třídě na hodinách algebry: nejprve definice aritmetické odmocniny a její vlastnosti, poté úpravy výrazů s odmocninami a řešení rovnic typu \(x^2 = a\). Dále se odmocniny objevují ve vzorci diskriminantu a v úkolech OGE a USE.
