Poměr je rovnost dvou podílů, například \(2:3 = 8:12\). K řešení poměrů potřebujete jen jeden nástroj — základní vlastnost poměru: součin krajních členů se rovná součinu prostředních. Ve škole se tomu říká pravidlo „křížku“. Níže — co je podíl a poměr, jak najít neznámý člen, čím se přímá úměra liší od nepřímé, rozbor úloh o receptech, měřítku a ceně, přechod k procentům a trenažér z 10 úloh.
Co je podíl a poměr
Podíl dvou čísel je jejich podíl. Podíl \(2:3\) (čte se „dva ku třem“) ukazuje, kolikrát je jedno číslo větší než druhé, nebo jakou část jedno tvoří z druhého. Zapsat ho lze dvěma způsoby: \(2:3\) nebo zlomkem \(\frac{2}{3}\) — je to jedno a to samé.
Poměr je rovnost dvou podílů:
V poměru jsou celkem čtyři čísla a mají svá jména. Čísla na krajích zápisu — krajní členy, čísla uprostřed — prostřední členy. Poměr je správný, když se oba podíly rovnají jednomu a témuž číslu.
Základní vlastnost poměru: pravidlo „křížku“
Základní vlastnost poměru: součin krajních členů se rovná součinu prostředních.
Proč to tak funguje? Vynásobíme obě strany rovnosti \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) číslem \(b \cdot d\). Vlevo se nám zkrátí \(b\), vpravo \(d\), a zůstane přesně \(a \cdot d = c \cdot b\). Žádné kouzlo — obyčejná vlastnost rovností.
Právě to žáci nazývají „řešit poměry křížem“: čísla se násobí po úhlopříčce, křížem. Vlastnost funguje i naopak: pokud pro čtyři čísla (žádné z nich není nula) platí \(a \cdot d = b \cdot c\), lze z nich sestavit správný poměr.
Odtud hned dvě dovednosti: zkontrolovat, zda je poměr správný, a najít v něm neznámé číslo.
Jak najít neznámý člen poměru
Ze základní vlastnosti plynou dvě krátká pravidla:
- neznámý krajní člen = součin prostředních : známý krajní;
- neznámý prostřední člen = součin krajních : známý prostřední.
Není nutné si je pamatovat nazpaměť. Stačí jeden univerzální postup: vynásobit křížem, získat rovnost typu „číslo \(\cdot\, x\) = číslo“ a vydělit. Ukážeme si to krok za krokem na poměru \(x : 7 = 12 : 21\).
Poslední krok — kontrola — zabere pět sekund a odhalí téměř jakoukoli aritmetickou chybu, proto by se neměl vynechávat.
Přímá a nepřímá úměra
Dvě veličiny nazýváme přímo úměrné, pokud se při zvětšení jedné několikrát druhá zvětší tolikrát. Koupili jsme dvakrát více sešitů — zaplatili jsme dvakrát více. U takových veličin je konstantní jejich podíl.
Veličiny jsou nepřímo úměrné, pokud se při zvětšení jedné několikrát druhá zmenší tolikrát. Dvakrát více pracovníků — dvakrát méně dní na stejnou práci. U takových veličin je konstantní jejich součin.
Hlavní rozdíl je patrný v okamžiku, kdy zapisujeme poměr. Pro přímou závislost se sestavuje „jak je“: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Pro nepřímou se druhý podíl převrací: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Proč? U nepřímé závislosti je konstantní součin: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Vydělíme obě strany \(a_2 \cdot b_1\) — a dostaneme právě \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Takže „převrácení“ není zaklínadlo, které si musíme pamatovat, ale důsledek toho, že konstantní zůstává součin, nikoli podíl.
| Příznak | Přímá | Nepřímá |
|---|---|---|
| Vztah | více → více | více → méně |
| Konstanta | podíl a : b | součin a × b |
| Zápis | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Příklad | 3 tužky — 90 Kč, 5 tužek — 150 Kč | 4 malíři — 9 dní, 6 malířů — 6 dní |
Jak sestavit poměr k úloze: recept, měřítko, cena
Textové úlohy „na poměr“ se řeší podle jednoho scénáře:
- Zapište zadání do dvou sloupců tak, aby stejné veličiny stály pod sebou (porce pod porcemi, gramy pod gramy).
- Označte hledanou veličinu za \(x\).
- Určete typ závislosti: myšlenkově zvětšete první veličinu a sledujte, zda se druhá zvětšuje nebo zmenšuje.
- Sestavte poměr — u nepřímé závislosti převraťte druhý podíl.
- Vyřešte křížem a zkontrolujte, zda je výsledek rozumný.
Ukážeme na receptu. Na 4 porce palačinek potřebujete 300 g mouky — kolik mouky na 6 porcí? Porcí je více, takže i mouky bude více: závislost je přímá, poměr se sestavuje „jak je“:
Na 6 porcí je potřeba 450 g mouky. Výsledek je rozumný: porcí je o polovinu více, a mouky je potřeba o polovinu více.
Stejně tak se řeší úlohy na měřítko (vzdálenost na mapě se má k vzdálenosti v terénu stejně jako 1 k číslu měřítka) a na cenu (množství zboží se má k množství stejně jako cena k ceně). Kompletní rozbory — v příkladech níže.
Procenta pomocí poměru
Procento je setina čísla, proto se každá jednoduchá úloha na procenta promění v poměr:
Někde je jedno ze čtyř čísel neznámé — to hledáme křížem.
Najít část. Kolik bude 15 % z 240? Sestavíme \(x : 240 = 15 : 100\), tedy \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) a \(x = 36\).
Najít celek. Číslo 21 tvoří 35 % z nějakého čísla. Sestavíme \(21 : x = 35 : 100\), tedy \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) a \(x = 60\).
Najít procento. Kolik procent tvoří 18 z 45? Sestavíme \(18 : 45 = p : 100\), tedy \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) a \(p = 40\), tedy 40 %.
Jeden postup — tři různé typy úloh, nic dalšího si pamatovat nemusíte. Zvlášť je jen otázka „o kolik procent se veličina zvětšila nebo zmenšila“: tam nejprve najdeme změnu a pak ji vydělíme původní hodnotou — to už je vzorec procentní změny, nikoli jednoduchý poměr.
Příklady řešení poměrů s rozborem krok za krokem
Příklad 1. Neznámý prostřední člen
Úloha. Najděte neznámý člen poměru \(15 : x = 45 : 24\).
Krok 1. Určíme, kde je který člen. Krajní jsou 15 a 24, prostřední \(x\) a 45.
Krok 2. Použijeme základní vlastnost: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), tedy \(360 = 45x\).
Krok 3. Dělíme: \(x = 360 : 45 = 8\).
Kontrola. \(15 : 8 = 1{,}875\) a \(45 : 24 = 1{,}875\) — podíly jsou stejné.
Odpověď: \(x = 8\).
Příklad 2. Přímá úměrnost: cena a množství
Úloha. Šest sešitů stojí 210 Kč. Kolik stojí 10 stejných sešitů?
Krok 1. Sešitů je více — cena je vyšší, tedy závislost je přímá.
Krok 2. Zapíšeme zadání tak, aby stejné veličiny byly vedle sebe, a sestavíme poměr „jak je“:
Krok 3. Křížem: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), tedy \(x = 2100 : 6 = 350\).
Kontrola. Jeden sešit stojí \(210 : 6 = 35\) Kč, a deset stojí \(35 \cdot 10 = 350\) Kč. Sedí.
Odpověď: 350 Kč.
Příklad 3. Nepřímá úměrnost: pracovníci a dny
Úloha. Osm pracovníků dokončí zakázku za 15 dní. Za kolik dní dokončí stejnou zakázku 12 pracovníků, pokud pracují stejnou rychlostí?
Krok 1. Pracovníků je více — dní bude potřeba méně. Závislost je nepřímá.
Krok 2. Sestavíme poměr, přičemž druhý podíl převrátíme:
Zde \(x\) jsou dny pro 12 pracovníků a 15 jsou dny pro 8 pracovníků: prohodily se, protože závislost je nepřímá.
Krok 3. Křížem: \(8 \cdot 15 = 12x\), tedy \(120 = 12x\) a \(x = 10\).
Kontrola. Konstantní součin: \(8 \cdot 15 = 120\) a \(12 \cdot 10 = 120\). Sedí, a výsledek je rozumný — dní je méně.
Odpověď: 10 dní.
Příklad 4. Měřítko mapy
Úloha. Měřítko mapy je \(1 : 200\,000\). Vzdálenost mezi vesnicemi na mapě je 7 cm. Jaká je vzdálenost mezi nimi v terénu?
Krok 1. Měřítko \(1 : 200\,000\) znamená: 1 cm na mapě odpovídá 200 000 cm v terénu. To je hotový podíl.
Krok 2. Sestavíme poměr:
Krok 3. Křížem: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), tedy \(x = 1\,400\,000\) cm.
Krok 4. Převedeme na vhodné jednotky: v jednom kilometru je 100 000 cm, proto \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Odpověď: 14 km.
Příklad 5. Procenta pomocí poměru
Úloha. Ve třídě je 25 žáků, na výlet šlo 60 % z nich. Kolik lidí šlo na výlet?
Krok 1. Celek je všech 25 žáků, těm odpovídá 100 %. Hledaná část je \(x\) lidí, těm odpovídá 60 %.
Krok 2. Sestavíme poměr „část : celek = procento : 100“:
Krok 3. Křížem: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), tedy \(x = 15\).
Kontrola. 15 lidí z 25 je \(15 : 25 = 0{,}6\), tedy přesně 60 %.
Odpověď: 15 lidí.
Časté chyby při řešení poměrů
-
Násobí čísla „po řadě“, nikoli křížem: v poměru 5 : 2 = 20 : 8 počítají 5 · 2 a 20 · 8.
Základní vlastnost spojuje krajní členy s prostředními, tedy čísla po úhlopříčce: 5 · 8 = 40 a 2 · 20 = 40. Součiny se shodují — poměr je správný. A 5 · 2 a 20 · 8 se nerovnají a nic neříkají.
-
V úloze na nepřímou závislost sestavují „přímý“ poměr. Šest čerpadel naplní bazén za 10 hodin; zápis 6 : 15 = 10 : x dá 25 hodin pro 15 čerpadel.
Čerpadel je více — času by mělo být méně, ale vyšlo více: znamená to, že poměr byl sestaven špatně. Druhý podíl je třeba převrátit: 6 : 15 = x : 10, pak 15x = 60 a x = 4 hodiny. Vždy kontrolujte výsledek podle zdravého rozumu.
-
Po „křížovém“ násobení dělí naopak: z rovnosti 8x = 96 dostanou x = 8 : 96.
Abychom našli x, dělíme součin číslem, které stojí u x: x = 96 : 8 = 12. Užitečný zvyk — dosadit nalezené číslo zpět: 8 · 12 = 96, vše je správně.
-
Nesoulad jednotek měření. V úloze s měřítkem 1 : 50 000 u 3 cm na mapě napíší odpověď „1,5“ bez jednotek nebo ji nazvou metry.
Nejprve počítáme ve stejných jednotkách, v jakých je měřítko: 3 · 50 000 = 150 000 cm. A teprve potom převádíme: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Jednotky v odpovědi jsou stejně důležité jako samotné číslo.
-
Pletou si podíl a poměr: na žádost sestavit poměr napíší jeden podíl „12 : 4“.
Podíl je jedno číslo, například 12 : 4 = 3. Poměr je rovnost dvou podílů, obsahuje nutně čtyři čísla a znaménko rovnosti: 12 : 4 = 30 : 10 (kontrolujeme: 12 · 10 = 120 a 4 · 30 = 120).
Otázky a odpovědi
Čím se podíl liší od poměru?
Podíl je výsledek dělení dvou čísel, například 12 : 4. Poměr je rovnost dvou podílů, obsahuje čtyři čísla: 12 : 4 = 30 : 10. Podíl odpovídá na otázku „kolikrát“, zatímco poměr tvrdí, že dvě taková srovnání dávají stejný výsledek.
Co jsou krajní a prostřední členy poměru?
V zápisu a : b = c : d jsou krajní členy ty, které stojí na krajích, tedy a a d. Prostřední jsou ty, které stojí uprostřed, tedy b a c. Pokud je poměr zapsán zlomky, krajní členy jsou čitatel prvního zlomku a jmenovatel druhého, zatímco prostřední jsou jmenovatel prvního a čitatel druhého.
Jak zkontrolovat, zda je poměr správný?
Vynásobit křížem a porovnat součiny. Například pro 9 : 12 = 15 : 20 počítáme 9 · 20 = 180 a 12 · 15 = 180 — čísla se shodují, takže poměr je správný. Pokud jsou součiny různé, poměr je nesprávný.
Lze členy poměru prohazovat?
Ano, pokud se to dělá podle pravidel. V platném poměru lze prohodit krajní členy, lze prohodit prostřední členy, nebo lze obě části převrátit najednou — poměr zůstane platný. Z 4 : 6 = 10 : 15 dostaneme 4 : 10 = 6 : 15 nebo 6 : 4 = 15 : 10 — součin po úhlopříčce je všude 60. Ale prohodit jen jedno číslo nelze.
Co znamená „řešit poměr křížem“?
Je to hovorový název pro základní vlastnost poměru. Čísla se násobí po úhlopříčce, křížem: krajní s krajním a prostřední s prostředním. Vznikne rovnice s jedním neznámým, která se řeší jedním dělením. Žádná samostatná „metoda kříže“ kromě základní vlastnosti neexistuje.
Jak pochopit, zda je v úloze přímá nebo nepřímá závislost?
Myšlenkově zvětšete první veličinu dvakrát a podívejte se na druhou. Pokud se také zvětšila dvakrát — závislost je přímá, poměr se sestavuje „jak je“. Pokud se zmenšila dvakrát — závislost je nepřímá, druhý podíl je třeba převrátit. Další znak: u přímé závislosti je konstantní podíl veličin, u nepřímé — jejich součin.
Jak řešit úlohy na procenta pomocí poměru?
Sestavte poměr „část : celek = procento : 100“ a najděte neznámé křížem. Například 12 % z 350: dostaneme x : 350 = 12 : 100, tedy 100x = 4200 a x = 42. Stejným způsobem se hledá i celek podle známé části i samotné procento.
