Vietova věta spojuje kořeny kvadratické rovnice s jejími koeficienty: pro normovanou rovnici \(x^2 + px + q = 0\) je součet kořenů roven \(-p\) a součin je roven \(q\). To umožňuje najít kořeny zpaměti – hledáním, bez diskriminantu. Na této stránce najdete přesné vzorce pro normovanou rovnici i pro obecný tvar, inverzní Vietovu větu, algoritmus hledání kořenů, rozbor příkladů a interaktivní trenažér.
Co je Vietova věta
Vietova věta je pravidlo, které spojuje kořeny kvadratické rovnice s jejími koeficienty. Zní takto: pokud \(x_1\) a \(x_2\) jsou kořeny normované kvadratické rovnice \(x^2 + px + q = 0\), pak
Slovy: součet kořenů je roven druhému koeficientu s opačným znaménkem a součin kořenů je roven absolutnímu členu. Znaménko mínus u součtu je nejdůležitější místo celé látky: píše se právě \(-p\), nikoli \(p\).
Pro rovnici obecného tvaru \(ax^2 + bx + c = 0\) (kde \(a \neq 0\)) se vzorce získají dělením číslem \(a\):
Věta platí pouze tehdy, když existují reálné kořeny, tedy při \(D \ge 0\). Pokud je diskriminant záporný, není co hledat: neexistují reálná čísla s takovým součtem a takovým součinem.
Normovaná rovnice a obecný tvar: kde je třeba dělit číslem a
Normovanou nazýváme kvadratickou rovnici, u které je koeficient u \(x^2\) roven jedné: \(x^2 + px + q = 0\). Právě pro ni zní Vietova věta nejkratší, proto se hledání kořenů vždy začíná jejím převedením.
Pokud \(a \neq 1\), rovnice se nejprve vydělí číslem \(a\) po členech. Například \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) se po vydělení číslem \(3\) změní na \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), tedy \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Odtud \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) a \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Stejnou myšlenku lze zapsat rovnou pro obecný tvar, aniž bychom rovnici normovali: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Chyba, kterou dělají nejčastěji, je použití „krátkých“ vzorců \(-p\) a \(q\) na normovanou rovnici a získání součtu \(10\) místo \(\frac{10}{3}\).
Inverzní Vietova věta
Vietova věta má inverzní formu, a právě ta umožňuje řešit rovnice hledáním. Zní takto: pokud čísla \(m\) a \(n\) jsou taková, že
pak \(m\) a \(n\) jsou kořeny rovnice \(x^2 + px + q = 0\).
Rozdíl je zásadní. Přímá věta jde od kořenů ke koeficientům: kořeny jsou již známy, získáváme vztahy mezi nimi. Inverzní jde od koeficientů ke kořenům: uhodli jsme dvojici čísel s požadovaným součtem a požadovaným součinem – a máme plné právo je nazvat kořeny, nic dalšího dokazovat není třeba.
Odtud také plyne užitečné pravidlo: pokud \(x_1\) a \(x_2\) jsou kořeny, pak polynom lze rozložit na činitele \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Například \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Hledání kořenů podle Vietovy věty: algoritmus
Hledání kořenů je hlavní praktické využití věty. Funguje rychleji než diskriminant, když jsou kořeny celočíselné, a zabere pět kroků.
Znaménka kořenů podle koeficientů p a q
Ještě před hledáním lze pochopit, jaká znaménka budou mít kořeny, stačí se podívat na znaménka \(p\) a \(q\). To výrazně zkracuje hledání: hned je jasné, zda hledat dvojici dvou kladných čísel, dvou záporných, nebo čísel s různými znaménky.
| p a q | Kořeny | Příklad |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | oba > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | oba < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | různých znamének | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 a −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vietova věta nebo diskriminant: co zvolit
Vzorec pro kořeny přes diskriminant \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) funguje vždy, ale vyžaduje výpočty. Vietova věta funguje okamžitě, ale pouze pokud lze kořeny uhodnout – obvykle jde o malá celá čísla.
Praktické pravidlo zní:
- rovnice je normovaná a \(q\) lze rozložit na dvojici malých činitelů → zkus hledání podle Vietovy věty, odpověď získáš zpaměti;
- koeficienty jsou velké nebo zlomky, kořeny nelze uhodnout za 10–15 sekund → počítej diskriminant;
- potřebuješ pouze počet kořenů nebo znaménka kořenů, samotné kořeny nepotřebuješ → stačí \(D\) a tabulka znamének výše.
Užitečné je i kombinace: spočítal jsi diskriminant a našel kořeny – ověř si odpověď podle Vietovy věty. Součet by měl dát \(-p\), součin \(q\). Taková kontrola zabere pár sekund a zachytí téměř jakoukoli aritmetickou chybu.
Příklady řešení podle Vietovy věty
Příklad 1. Hledání kořenů: oba kořeny jsou kladné
Vyřešte \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Krok 1. Rovnice je normovaná: \(p = -9\), \(q = 20\).
Krok 2. Zkontrolujeme diskriminant: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) – dva kořeny existují.
Krok 3. Zapíšeme podmínky: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Krok 4. Projdeme rozklady čísla 20: \(1\cdot 20\) (součet 21), \(2\cdot 10\) (součet 12), \(4\cdot 5\) (součet 9) – poslední dvojice vyhovuje. Oba činitelé jsou kladní, protože \(q > 0\) a \(p < 0\).
Krok 5. Ověření dosazením. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Odpověď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Příklad 2. Kořeny různých znamének
Vyřešte \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Krok 1. Rovnice je normovaná: \(p = 3\), \(q = -28\).
Krok 2. \(q < 0\), což znamená, že kořeny mají různá znaménka a diskriminant je zaručeně kladný: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Krok 3. Podmínky: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Krok 4. Rozklady čísla 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Potřebujeme rozdíl 3 – vyhovuje dvojice 4 a 7. Protože součet je záporný, větší kořen v absolutní hodnotě vezmeme se záporným znaménkem: 4 a \(-7\).
Krok 5. Ověření. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Odpověď: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Příklad 3. Rovnice obecného tvaru (a ≠ 1)
Vyřešte \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Krok 1. Koeficient \(a = 3\), proto nelze použít „krátké“ vzorce \(-p\) a \(q\). Použijeme obecný tvar: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Krok 2. Součin je roven 1 – to znamená, že kořeny jsou vzájemně převrácené: pokud jeden je \(t\), druhý je \(\tfrac{1}{t}\). Součet \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) napovídá \(t = 3\), protože \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Krok 3. Ověření dosazením. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Odpověď: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Příklad 4. Sestavení rovnice podle jejích kořenů
Úkol. Sestavte normovanou kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou \(-4\) a \(6\).
Krok 1. Spočítáme součet a součin: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Krok 2. Podle inverzní Vietovy věty jsou koeficienty \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) a \(q = x_1 x_2 = -24\). Zde se skrývá hlavní záludnost: \(p\) je součet s opačným znaménkem.
Krok 3. Zapíšeme rovnici: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Krok 4. Ověření dosazením. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Odpověď: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Stejný výsledek dává rozklad \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Příklad 5. Ověření cizího řešení podle Vietovy věty
Úkol. Žák vyřešil rovnici \(x^2 + 5x + 6 = 0\) a zapsal odpověď: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Zkontrolujte, zda se nespletl.
Krok 1. Podle Vietovy věty má platit \(x_1 + x_2 = -p = -5\) a \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Krok 2. U navrhované odpovědi součin sedí (\(2\cdot 3 = 6\)), ale součet ne: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Odpověď je tedy nesprávná: ztratilo se znaménko.
Krok 3. Hledáme správnou dvojici: potřebujeme čísla se součinem 6 a součtem \(-5\) – to jsou \(-2\) a \(-3\) (oba záporné, protože \(q > 0\) a \(p > 0\)).
Krok 4. Ověření dosazením. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Odpověď: správné kořeny jsou \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Časté chyby při práci s Vietovou větou
-
Ztrácejí mínus u součtu: píší $x_1 + x_2 = p$ místo $x_1 + x_2 = -p$.
Mínus je pouze u součtu, součin se bere se stejným znaménkem: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Zkontrolujte na jednoduché rovnici \(x^2 - 5x + 6 = 0\): zde \(p = -5\), součet kořenů je roven 5 a kořeny jsou skutečně 2 a 3.
-
Používají vzorce $-p$ a $q$ na normovanou rovnici: pro $2x^2 - 9x + 4 = 0$ říkají „součet 9, součin 4“.
Dokud \(a \neq 1\), platí vzorce obecného tvaru: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Kořeny zde nejsou 4 a 1, ale 4 a \(\tfrac{1}{2}\). Nebo nejprve vydělte celou rovnici číslem \(a\).
-
Hledají kořeny, aniž by zkontrolovali diskriminant: u $x^2 + x + 1 = 0$ se snaží najít dvojici čísel se součtem $-1$ a součinem $1$.
Nejprve se ujistěte, že kořeny existují: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), reálné kořeny neexistují, hledání není možné. Vietova věta platí pouze při \(D \ge 0\).
-
Hledají dvojici pouze podle součinu, aniž by zkontrolovali součet: pro $x^2 - 8x + 12 = 0$ vezmou 3 a 4, protože jejich součin je 12.
Je třeba zkontrolovat obě podmínky najednou. Pro \(x^2 - 8x + 12 = 0\) součin 12 dávají dvojice (1; 12), (2; 6), (3; 4), ale součet 8 pouze dvojice 2 a 6. Ověření: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) a \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Při sestavování rovnice podle kořenů berou $p$ rovno součtu: pro kořeny 2 a 5 napíší $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koeficient \(p\) je roven součtu s opačným znaménkem: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), tedy \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Dosazení potvrzuje: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Myslí si, že Vietova věta platí pouze pro celočíselné kořeny, a nepoužívají ji k ověření odpovědi.
Podmínky \(x_1 + x_2 = -p\) a \(x_1 x_2 = q\) platí pro jakékoli reálné kořeny – celočíselné, zlomky i iracionální. Pouze ústní hledání je pohodlné pro celá čísla, pro ostatní zůstává věta rychlým způsobem ověření odpovědi nalezené diskriminantem.
Otázky a odpovědi
Jak zní Vietova věta jednoduchými slovy?
Pokud má normovaná kvadratická rovnice \(x^2 + px + q = 0\) kořeny, pak jejich součet je roven druhému koeficientu s opačným znaménkem a součin je roven absolutnímu členu: \(x_1 + x_2 = -p\) a \(x_1 x_2 = q\).
Jaké jsou součet a součin kořenů rovnice $ax^2 + bx + c = 0$?
Pro rovnici obecného tvaru je součet kořenů roven \(-\dfrac{b}{a}\) a součin \(\dfrac{c}{a}\). Tyto vzorce se získávají z normovaného případu dělením celé rovnice číslem \(a\).
Čím se inverzní Vietova věta liší od přímé?
Přímá věta jde od kořenů ke koeficientům: známe-li kořeny, získáme součet \(-p\) a součin \(q\). Inverzní jde naopak: pokud dvojice čísel dává požadovaný součet a požadovaný součin, pak tato čísla jsou kořeny rovnice. Právě inverzní věta umožňuje řešit rovnice hledáním.
Jak najít kořeny podle Vietovy věty?
Převeďte rovnici na tvar \(x^2 + px + q = 0\), ujistěte se, že \(D \ge 0\), zapište \(x_1 + x_2 = -p\) a \(x_1 x_2 = q\), projděte rozklady čísla \(q\) na dvojice činitelů a vyberte tu dvojici, jejíž součet je roven \(-p\). Například pro \(x^2 + 6x + 8 = 0\) potřebujeme čísla se součinem 8 a součtem \(-6\) – to jsou \(-2\) a \(-4\).
Funguje Vietova věta, pokud koeficient u $x^2$ není roven jedné?
Ano, ale ve formě obecného tvaru: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Krátké vzorce \(-p\) a \(q\) platí pouze pro normovanou rovnici, proto při \(a \neq 1\) se rovnice nejprve dělí číslem \(a\).
Co dělat, když kořeny podle Vietovy věty nelze najít?
Znamená to, že kořeny nejsou celočíselné nebo neexistují vůbec. Spočtěte diskriminant: při \(D < 0\) reálné kořeny neexistují, a při \(D \ge 0\) najděte kořeny podle vzorce \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) a teprve poté ověřte odpověď podle Vietovy věty.
Jak určit znaménka kořenů, aniž bychom řešili rovnici?
Podle znamének \(p\) a \(q\) při \(D \ge 0\): pokud \(q > 0\) a \(p < 0\) – oba kořeny jsou kladné; pokud \(q > 0\) a \(p > 0\) – oba kořeny jsou záporné; pokud \(q < 0\) – kořeny jsou různých znamének; pokud \(q = 0\) – jeden z kořenů je roven nule.
V jakém ročníku se probírá Vietova věta?
V 8. ročníku na hodinách algebry, hned po kvadratických rovnicích a diskriminantu. Dále se používá při rozkladu kvadratického trojčlenu na činitele \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), při zkoumání kořenů s parametrem a v úlohách OGE a USE.
