Aritmetická posloupnost je posloupnost, ve které každý následující člen je větší než předchozí o stejné číslo \(d\) (diferenci posloupnosti). Každý její člen lze nalézt podle vzorce \(a_n = a_1 + (n-1)d\) a součet prvních \(n\) členů podle vzorce \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Na této stránce jsou rozebrány definice a diference, oba vzorce pro součet, charakteristická vlastnost, ověření příslušnosti čísla do posloupnosti, rozdíl oproti geometrické posloupnosti, typické úlohy OGE a interaktivní trenažér pro samokontrolování.
Co je aritmetická posloupnost
Aritmetická posloupnost je číselná posloupnost, ve které každý následující člen vznikne z předchozího přičtením jednoho a téhož čísla. Toto číslo nazýváme diference posloupnosti a značíme ho písmenem \(d\).
Definice jedním vzorcem: posloupnost \(a_1, a_2, a_3, \dots\) se nazývá aritmetická posloupnost, jestliže pro libovolné číslo \(n\) platí rovnost
Vezměme posloupnost 3, 7, 11, 15, 19, … První člen je zde \(a_1 = 3\) a diference \(d = 4\): každé další číslo je o 4 větší než předchozí. Proto další člen je 23 a před trojkou (pokud bychom pokračovali zpět) by byla jednička se znaménkem minus.
Celá posloupnost je určena pouze dvěma čísly — prvním členem \(a_1\) a diferencí \(d\). Znalostí této dvojice můžeme určit libovolný člen, spočítat součet libovolného počtu prvních členů a ověřit, zda se v posloupnosti vyskytuje zadané číslo. Posloupnost značíme symbolem \((a_n)\) a její členy \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) a tak dále, kde dolní index vždy znamená pořadí, nikoli hodnotu.
Diference aritmetické posloupnosti: jak najít d
Diference je vždy následující člen mínus předchozí:
Pořadí odečítání je důležité: pokud odečteme naopak, znaménko diference bude opačné. Pro posloupnost 20, 17, 14, 11, 8 je diference \(17 - 20 = -3\), nikoli \(+3\).
Znaménko \(d\) plně určuje chování posloupnosti:
- \(d > 0\) — posloupnost je rostoucí, členy se zvětšují;
- \(d < 0\) — posloupnost je klesající, členy se zmenšují;
- \(d = 0\) — všechny členy jsou stejné, například 6, 6, 6, 6, … Toto je také aritmetická posloupnost, jen konstantní.
Pokud jsou známy dva členy s různými čísly, diference se najde podle vzorce
Příklad. Nechť \(a_4 = 30\) a \(a_{10} = 6\). Pak \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), a první člen je \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Ověřme začátek posloupnosti: 42, 38, 34, 30 — čtvrtý člen je skutečně 30.
Diference nemusí být celé číslo: u posloupnosti 1; 1,5; 2; 2,5 je diference 0,5, a to je plnohodnotná aritmetická posloupnost.
Vzorec n-tého členu aritmetické posloupnosti
Hlavní vzorec tématu umožňuje najít libovolný člen, aniž bychom vypisovali všechny předchozí:
Odkud se bere \(n - 1\)? Abychom se dostali od prvního členu k \(n\)-tému, přičítáme diferenci ne \(n\)-krát, ale o jedenkrát méně: k druhému členu — jeden krok, ke třetímu — dva, k dvacátému — devatenáct.
Příklad. Pro posloupnost 3, 7, 11, 15, 19, … máme \(a_1 = 3\) a \(d = 4\), takže
Takové zjednodušené zapsání je velmi pohodlné: hned je vidět, že \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), a \(a_{100} = 399\). Zároveň napovídá diferenci: u libovolné aritmetické posloupnosti je vzorec \(n\)-tého členu lineární, tvaru \(a_n = dn + c\), a koeficient před \(n\) je právě diference.
Někdy není první člen znám, ale je dán jiný. Pak funguje stejná myšlenka v obecném tvaru: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Charakteristická vlastnost aritmetické posloupnosti
Každý člen posloupnosti, kromě prvního, je roven aritmetickému průměru svých sousedů:
Právě proto se posloupnost nazývá aritmetická. Tato rovnost platí i v opačném směru: pokud v posloupnosti je každý střední člen roven polovině součtu sousedů, pak je posloupnost aritmetická. Takové tvrzení se nazývá znak aritmetické posloupnosti a v úlohách se používá k důkazu, že tři čísla tvoří posloupnost.
Příklad. Čísla 7, \(x\), 23 jsou tři po sobě jdoucí členy posloupnosti. Pak \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Kontrola: 7, 15, 23 — diference 8 a 8, vše sedí.
Pohodlná forma zápisu téže vlastnosti: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), tedy dvojnásobek středního členu je roven součtu krajních. V této podobě se vlastnost snadněji používá, když jsou členy zadány algebraickými výrazy.
Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti
Součet \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) se počítá podle jednoho ze dvou vzorců:
Myšlenka prvního vzorce je ta samá, kterou podle legendy vymyslel žák Gauss, když sčítal čísla od 1 do 100. Pokud se sečte první člen s posledním, druhý s předposledním a tak dále, všechny páry dají stejný součet. Odtud \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Druhý vzorec vznikne z prvního dosazením \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — je potřeba, když poslední člen není dán a nechce se nám ho zvlášť počítat.
Příklad. Najděme součet prvních dvaceti členů posloupnosti 3, 7, 11, 15, 19, …
Podle prvního vzorce: \(a_{20} = 79\), proto \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Podle druhého: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Odpovědi se shodují — to je nejlepší kontrola výpočtů.
Jak zjistit, zda číslo patří do aritmetické posloupnosti
Otázka „je číslo členem posloupnosti“ se řeší rovnicí. Číslo patří do posloupnosti tehdy a jen tehdy, když jeho číslo \(n\) vyjde přirozené: 1, 2, 3 a tak dále. Zlomkové nebo nekladné \(n\) znamená, že takový člen neexistuje.
Příklad 1. Patří číslo 99 do posloupnosti 3, 7, 11, 15, 19, …? Vzorec \(n\)-tého členu je zde \(a_n = 4n - 1\), proto řešíme \(4n - 1 = 99\), odkud \(4n = 100\) a \(n = 25\). Číslo je přirozené — znamená to, že 99 v posloupnosti je, je to její dvacátý pátý člen.
Příklad 2. A číslo 2026? Z \(4n - 1 = 2026\) dostaneme \(4n = 2027\) a \(n = 506{,}75\). Číslo je zlomkové, proto 2026 členem této posloupnosti není.
Užitečná nápověda pro ústní odhad: u posloupnosti se vzorcem \(a_n = 4n - 1\) dávají všechny členy při dělení 4 zbytek 3. Číslo 2026 dává zbytek 2, proto „minuje“ posloupnost.
Typické úlohy OGE z aritmetické posloupnosti
V OGE z matematiky se posloupnosti vyskytují každý rok a téměř všechny úlohy se dají zařadit do čtyř typů.
Najít člen podle čísla. Je dáno \(a_1\) a \(d\) (nebo několik prvních členů) — dosadíme do \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Najít číslo členu podle hodnoty. Je dáno číslo — přirovnáme k němu vzorec \(n\)-tého členu a řešíme rovnici pro \(n\).
Najít součet. Počítáme \(S_n\) podle libovolného ze dvou vzorců; pokud chybí \(a_n\) — nejprve ho najdeme.
Najít počet členů. Ze vzorce \(n\)-tého členu plyne pohodlné odvození: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Zvlášť stojí za zmínku textová úloha, kde je posloupnost skryta v příběhu. Například: první den pracovník vyrobil 12 dílů, a každý další den — o 3 díly více než předchozí; kolik dílů vyrobí za 15 dní? Zde \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Počítáme poslední člen: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Pak \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) dílů.
Hlavní rada pro takové úlohy: nejprve si vypište zvlášť, co je dáno (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) a co je třeba najít. Polovina chyb na zkoušce se stává ne kvůli vzorcům, ale kvůli tomu, že se zamění číslo členu za jeho hodnotu.
Aritmetická a geometrická posloupnost: jaký je rozdíl
Obě posloupnosti jsou pravidla, podle kterých se z jednoho členu získá následující. Rozdíl je v akci: v aritmetické k členu přičítáme stejné číslo \(d\), v geometrické — násobíme stejným číslem \(q\), které nazýváme kvocient posloupnosti.
Odtud plyne i odlišné chování. Aritmetická posloupnost roste rovnoměrně, „po schůdcích“: 3, 7, 11, 15 — každý krok přidá 4. Geometrická roste lavinovitě: 3, 6, 12, 24 — každý krok zdvojnásobí číslo, a už po deseti krocích bude člen větší než tisíc pět set.
Ověřit typ posloupnosti je jednoduché: spočítejte diference sousedních členů a jejich podíly. Stejné diference — aritmetická posloupnost, stejné podíly — geometrická posloupnost. Pokud se neshoduje ani jedno, máte před sebou prostě posloupnost: například 1, 4, 9, 16 — to jsou druhé mocniny přirozených čísel a není to posloupnost (diference 3, 5, 7 jsou různé, podíly také).
V učebním plánu obě témata jdou hned po sobě v 9. třídě, proto se vzorce snadno pletou. Mějte na paměti opěrný bod: v aritmetické se diference \(d\) odečítá (vlastně přičítá záporná), v geometrické se kvocient \(q\) dělí (vlastně násobí převrácenou hodnotou). Vše ostatní jsou důsledky.
Příklady řešení úloh na aritmetickou posloupnost
Příklad 1. Najít první člen a diferenci podle dvou členů
Zadáno. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Najít \(a_1\), \(d\) a \(a_{20}\).
Krok 1. Od třetího členu k sedmému je přesně \(7 - 3 = 4\) kroků, na každém se přičítá \(d\). Tedy \(a_7 = a_3 + 4d\), odkud \(30 = 14 + 4d\), a \(4d = 16\) a \(d = 4\).
Krok 2. Vrátíme se zpět k prvnímu členu: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Krok 3. Zapíšeme vzorec n-tého členu: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Krok 4. Spočítáme požadovaný člen: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Kontrola. Vypišme začátek posloupnosti: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Třetí člen 14, sedmý 30 — shoduje se.
Odpověď: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Příklad 2. Součet prvních 30 členů (oba vzorce)
Zadáno. Posloupnost \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Najít \(S_{30}\).
Krok 1. Určíme parametry: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Krok 2. Najdeme třicátý člen: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Krok 3. Počítáme podle prvního vzorce: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Krok 4. Kontrola podle druhého vzorce. Nejprve čitatel: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Dále jako v kroku třetím: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Obě cesty daly 1155 — znamená to, že aritmetika je správná.
Odpověď: \(S_{30} = 1155\).
Příklad 3. Součet všech dvojciferných čísel dělitelných 7
Úloha. Najít součet všech dvojciferných čísel, která jsou dělitelná 7.
Krok 1. Taková čísla sama tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí 7. Nejmenší dvojciferné číslo dělitelné sedmi je 14, největší je 98 (další, 105, je už trojciferné). Dostáváme \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Krok 2. Počítáme počet členů: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Krok 3. Počítáme součet: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Krok 4. Kontrola druhým vzorcem. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Odpověď: 728.
Příklad 4. Ověřit, zda číslo patří do posloupnosti
Úloha. Je číslo 145 členem posloupnosti \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? A číslo 142?
Krok 1. Parametry posloupnosti: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), tedy \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Krok 2. Ověřujeme 145: rovnice \(5n + 2 = 145\) dává \(5n = 143\) a \(n = 28{,}6\). Číslo je zlomkové, proto 145 členem posloupnosti není.
Krok 3. Ověřujeme 142: \(5n + 2 = 142\), odkud \(5n = 140\) a \(n = 28\). Číslo je přirozené — číslo patří.
Krok 4. Kontrola dosazením. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Správně.
Odpověď: 145 do posloupnosti nepatří; 142 patří a je jejím 28. členem.
Příklad 5. Charakteristická vlastnost s algebraickými členy
Úloha. Při jaké hodnotě \(x\) jsou čísla \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) třemi po sobě jdoucími členy aritmetické posloupnosti?
Krok 1. Podle charakteristické vlastnosti je dvojnásobek středního členu roven součtu krajních:
Krok 2. Roznásobíme závorky: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Krok 3. Řešíme: \(2 + 4 = 5x - 4x\), tedy \(x = 6\).
Krok 4. Kontrola. Dosadíme \(x = 6\): první člen \(6 - 3 = 3\), druhý \(2\cdot 6 + 1 = 13\), třetí \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Diference: \(13 - 3 = 10\) a \(23 - 13 = 10\) — stejné.
Odpověď: \(x = 6\), posloupnost 3, 13, 23 s diferencí 10.
Příklad 6. Kolik záporných členů má posloupnost
Úloha. Kolik záporných členů má posloupnost \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Krok 1. Parametry: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Vzorec n-tého členu: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Krok 2. Zapíšeme podmínku „člen je záporný“: \(3n - 24 < 0\), odkud \(3n < 24\) a \(n < 8\).
Krok 3. Čísla jsou přirozená, takže vyhovují \(n = 1, 2, \dots, 7\) — celkem sedm členů.
Krok 4. Kontrola hranice. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — záporný. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — nula není záporné číslo, takže osmý člen už nepočítáme. \(a_9 = 3\) — kladný.
Odpověď: sedm záporných členů.
Časté chyby v úlohách na aritmetickou posloupnost
-
Ve vzorci n-tého členu píší $a_n = a_1 + nd$ místo $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Od prvního členu k n-tému je o jeden krok méně než číslo členu. Pro posloupnost \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) je desátý člen \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), a ne 45. Rychlá kontrola vzorce: dosaďte \(n = 1\) — mělo by vyjít přesně \(a_1\).
-
Diferenci počítají naopak: $d = a_1 - a_2$, a znaménko je pak opačné.
Diference je následující člen mínus předchozí: \(d = a_2 - a_1\). Pro posloupnost \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) je správně \(d = 34 - 40 = -6\). Znaménko mínus zde není chyba, ale znak klesající posloupnosti.
-
Ve vzorci pro součet zapomenou vydělit dvěma nebo vynásobit $n$: píší $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Sčítají se páry „první s posledním“, jich je přesně \(\dfrac{n}{2}\), proto je dělení dvěma nezbytné. Pro posloupnost \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) máme \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) a \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), a ne 670.
-
Při ověřování příslušnosti čísla dostanou $n = 0$ nebo záporné $n$ a přesto odpoví „patří“.
Číslo členu je přirozené číslo, počítání začíná jedničkou. Například pro posloupnost \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) rovnice \(10 + 4(n-1) = 6\) dává \(n = 0\), a tedy 6 do posloupnosti nepatří: toto číslo by stálo před prvním členem.
-
Zaměňují, co bylo nalezeno: dosazují hodnotu členu tam, kde je potřeba jeho číslo, a naopak.
\(a_n\) je hodnota, \(n\) je pořadové číslo. Pokud se v úloze ptají „který v pořadí člen je roven 142“, odpovědí bude 28, nikoli 142. Užitečný zvyk: před řešením si vypište řádek „zadáno: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), najít: \(n\)“.
-
Myslí si, že posloupnost musí nutně růst a skládat se z celých čísel.
Diference může být záporná (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), zlomková (1; 1,5; 2; 2,5) a dokonce nulová (8, 8, 8, …). Všechny tři případy jsou platné aritmetické posloupnosti a všechny vzorce pro ně platí beze změn.
Otázky a odpovědi
Co je aritmetická posloupnost jednoduchými slovy?
Je to posloupnost čísel, ve které každé následující číslo vznikne z předchozího přičtením jednoho a téhož čísla \(d\) — diference posloupnosti. Například 3, 7, 11, 15, 19, … — posloupnost s prvním členem 3 a diferencí 4.
Jaký je vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), kde \(a_1\) je první člen, \(d\) je diference, \(n\) je číslo členu. Pokud není znám první, ale jiný člen, platí obecný tvar \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Jak najít diferenci aritmetické posloupnosti?
Odečíst od libovolného členu předchozí: \(d = a_n - a_{n-1}\). Pokud jsou dány dva členy s různými čísly, použijte \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Například při \(a_5 = 23\) a \(a_9 = 43\) dostaneme \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), a první člen je \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Jak najít první člen aritmetické posloupnosti?
Ze vzorce n-tého členu: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Například, pokud \(a_{12} = 60\) a \(d = 4\), pak \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Kontrola: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Jak najít součet prvních n členů aritmetické posloupnosti?
Podle vzorce \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), pokud je znám poslední člen, nebo podle vzorce \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), pokud jsou známy pouze první člen a diference. Oba dávají stejný výsledek, proto druhý je pohodlné použít jako kontrolu prvního.
Jak najít počet členů aritmetické posloupnosti?
Ze vzorce n-tého členu: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Například v posloupnosti \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) je diference 5, proto \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) členů.
Čím se aritmetická posloupnost liší od geometrické?
V aritmetické se ke každému členu přičítá diference \(d\), a v geometrické se každý člen násobí kvocientem \(q\). Vzorce n-tého členu: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) oproti \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). K určení typu spočítejte diference sousedních členů a jejich podíly: stejné diference — aritmetická, stejné podíly — geometrická.
Může být diference záporná nebo nulová?
Ano. Při \(d < 0\) posloupnost klesá (například 20, 17, 14, 11), při \(d = 0\) jsou všechny členy stejné (6, 6, 6, …) — to je konstantní posloupnost. Diference může být i zlomková: 1; 1,5; 2; 2,5 — také aritmetická posloupnost.
V kterém ročníku se probírá aritmetická posloupnost?
V 9. třídě na hodinách algebry, spolu s geometrickou posloupností a číselnými posloupnostmi. Úlohy na posloupnosti jsou součástí OGE: obvykle je třeba najít člen podle čísla, číslo podle hodnoty, počet členů nebo součet prvních \(n\) členů.
