Kvadratický vzorec řeší jakoukoli kvadratickou rovnici ve tvaru \(ax^2 + bx + c = 0\) (kde \(a \neq 0\)). Její kořeny jsou dány vzorcem \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Na této stránce uvidíte, co jednotlivé části znamenají, jak vzorec krok za krokem použít, jak vám diskriminant řekne, kolik řešení očekávat, a plně řešené příklady — plus interaktivní trenažér, abyste si mohli hned procvičit.
Co je kvadratický vzorec
Kvadratická rovnice je jakákoli rovnice, kterou lze zapsat ve standardním tvaru \(ax^2 + bx + c = 0\), kde \(a\), \(b\) a \(c\) jsou čísla a \(a \neq 0\). Čísla \(a\), \(b\) a \(c\) se nazývají koeficienty: \(a\) je koeficient u \(x^2\), \(b\) je koeficient u \(x\) a \(c\) je absolutní člen.
Kvadratický vzorec poskytuje řešení ( kořeny ) přímo z těchto tří koeficientů — není potřeba žádné rozkládání. Funguje pro každou kvadratickou rovnici, dokonce i pro ty, které nelze snadno rozložit.
Odkud pochází (odvození): vzorec je to, co získáte doplněním na čtverec obecné rovnice. Vydělte \(ax^2 + bx + c = 0\) číslem \(a\), přesuňte konstantu na druhou stranu, přičtěte \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) k oběma stranám, abyste získali dokonalý čtverec, a odmocněte. Výsledkem je jediný vzorec níže, platný pro jakékoli \(a\), \(b\), \(c\).
Diskriminant: kolik kořenů
Výraz pod odmocninou, \(b^2 - 4ac\), se nazývá diskriminant (často značený \(D\)). Nemusíte dokončit celý vzorec, abyste věděli, kolik řešení rovnice má — znaménko diskriminantu vám to okamžitě řekne.
Protože nemůžete odmocnit záporné číslo reálnou odmocninou, znaménko \(D\) rozdělí každou kvadratickou rovnici přesně do tří případů: dva kořeny, jeden opakovaný kořen nebo žádné reálné kořeny. Na grafu to odpovídá tomu, kde se parabola \(y = ax^2 + bx + c\) setkává s osou x — dvakrát, jednou (v vrcholu) nebo vůbec.
| Diskriminant D = b² − 4ac | Reálné kořeny | Co získáte |
|---|---|---|
| D > 0 | Dva různé reálné kořeny | Parabola protíná osu x dvakrát. Použijte obě znaménka: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Jeden reálný kořen (opakovaný) | Parabola se dotýká osy x ve svém vrcholu. Znaménko ± zmizí: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Žádné reálné kořeny | Parabola se nikdy nedotkne osy x. Neexistuje reálná odmocnina záporného čísla. |
Jak použít kvadratický vzorec: kroky
Kvadratický vzorec funguje vždy stejně. Postupujte podle těchto pěti kroků v pořadí a nikdy vás nezklame — nejtěžší část je správně přečíst koeficienty (včetně jejich znamének).
Příklady kvadratického vzorce (krok za krokem)
Příklad 1. Dva reálné kořeny (D > 0)
Vyřešte \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Krok 1–2. Rovnice je již ve standardním tvaru, takže odečtěte koeficienty: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Krok 3. Diskriminant: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Krok 4. \(D = 25 > 0\), takže existují dva různé reálné kořeny.
Krok 5. Dosazení: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Použitím znaménka plus: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Použitím znaménka minus: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Kořeny: \(x = 3\) a \(x = \tfrac{1}{2}\).
Příklad 2. Jeden opakovaný kořen (D = 0)
Vyřešte \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Krok 1–2. Již ve standardním tvaru: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Krok 3. Diskriminant: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Krok 4. \(D = 0\), takže existuje přesně jeden reálný kořen (opakovaný kořen). Člen \(\pm\) zmizí, protože \(\sqrt{0} = 0\).
Krok 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Kořen: \(x = 3\) (tato kvadratická rovnice je dokonalý čtverec \((x-3)^2 = 0\)).
Příklad 3. Žádné reálné kořeny (D < 0)
Vyřešte \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Krok 1–2. Standardní tvar: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Krok 3. Diskriminant: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Krok 4. \(D = -16 < 0\). Protože nemůžete vzít reálnou odmocninu záporného čísla, tato rovnice nemá žádné reálné kořeny — její parabola se nikdy nedotkne osy x.
Krok 5. Pro reálná řešení již není potřeba další práce. (Pokud jste se setkali s komplexními čísly, kořeny jsou \(x = -1 \pm 2i\), ale pro reálné řešení zde končíme.)
Běžné chyby u kvadratického vzorce
-
Nesprávné znaménko u b, zejména když je b záporné.
Vzorec začíná −b. Pokud je b = −7, pak −b = +7 — dvě záporná znaménka se zruší. Napište dosazení celé, např. −(−7), před zjednodušením.
-
Zapomenutí na ± a uvedení pouze jednoho kořene.
Když D > 0, znaménko ± dává dva výsledky: jeden s + a jeden s −. Vždy vypočítejte oba (−b + √D)/(2a) i (−b − √D)/(2a), pokud D = 0.
-
Dělení pouze části čitatele číslem 2a.
Celý čitatel, −b ± √D, je dělen číslem 2a — ne pouze část √D. Ponechte to jako jeden zlomek: (−b ± √D) / (2a).
-
Nesprávný výpočet diskriminantu, když je a nebo c záporné.
V D = b² − 4ac, odečtení 4ac, když je a·c záporné, ve skutečnosti přičítá. Pro 3x² − 2x − 1 je −4·3·(−1) = +12, takže D = 4 + 12 = 16, nikoli 4 − 12.
-
Použití vzorce před napsáním rovnice ve standardním tvaru.
Nejprve přesuňte všechny členy na jednu stranu, aby rovnice zněla ax² + bx + c = 0. Například x² = 5x − 6 se musí přepsat na x² − 5x + 6 = 0, než odečtete a, b, c.
Často kladené otázky
Co je kvadratický vzorec?
Kvadratický vzorec je x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Poskytuje řešení jakékoli kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0 (kde a ≠ 0) přímo z koeficientů a, b a c.
Jak použít kvadratický vzorec krok za krokem?
Napište rovnici ve standardním tvaru ax² + bx + c = 0, identifikujte a, b a c s jejich znaménky, vypočítejte diskriminant D = b² − 4ac, zkontrolujte jeho znaménko, abyste zjistili, kolik kořenů existuje, a poté dosaďte do x = (−b ± √D) / (2a) a zjednodušte obě verze s plus a mínus.
Co je diskriminant a proč je důležitý?
Diskriminant je D = b² − 4ac, výraz pod odmocninou. Jeho znaménko určuje počet reálných kořenů bez dokončení výpočtu: D > 0 dává dva reálné kořeny, D = 0 dává jeden opakovaný kořen a D < 0 nedává žádné reálné kořeny.
Kdy bych měl použít kvadratický vzorec místo rozkladu?
Rozklad je rychlý, když se kvadratická rovnice rozkládá na malé celé čísla. Kvadratický vzorec funguje pro každou kvadratickou rovnici, včetně těch, které se nerozkládají snadno nebo které mají iracionální nebo neceločíselné kořeny, takže je to spolehlivá záloha, kdykoli rozklad není zřejmý.
Odkud pochází kvadratický vzorec?
Je odvozen doplněním na čtverec obecné rovnice ax² + bx + c = 0: vydělte a, doplňte na čtverec přičtením (b/2a)², přepište levou stranu jako dokonalý čtverec a odmocněte obě strany. Výsledkem je kvadratický vzorec.
Může kvadratický vzorec dát žádnou odpověď?
Pokud je diskriminant záporný (D < 0), neexistuje žádné reálné řešení, protože nemůžete vzít reálnou odmocninu záporného čísla. Rovnice má stále dva komplexní kořeny, ale žádné reálné kořeny — na grafu se parabola jednoduše nikdy nedotkne osy x.
