Vzorce pro zkrácené násobení jsou hotové algebraické identity, které umožňují roznásobit závorky a rozložit výrazy na součin bez zdlouhavého násobení. Na této stránce najdeš tabulku všech sedmi vzorců: čtverec součtu a rozdílu, krychle součtu a rozdílu, součet a rozdíl krychlí. Každý vzorec rozebereme s odvozením a příklady a na konci najdeš interaktivní procvičování, kde si můžeš použití vzorců hned vyzkoušet.
Co jsou vzorce pro zkrácené násobení
Vzorce pro zkrácené násobení jsou identity, které získáme, pokud jednou pečlivě vynásobíme mnohočleny a zapamatujeme si výsledek. Pak už nemusíme pokaždé roznásobovat závorky: stačí poznat „šablonu“ a dosadit svá čísla nebo písmena.
V učivu algebry 7. třídy fungují tyto vzorce ve dvou směrech:
- zleva doprava — pro rychlé roznásobení závorek a umocnění výrazu na druhou nebo třetí;
- zprava doleva — pro rozklad mnohočlenu na součin (potřebné pro krácení zlomků a řešení rovnic).
Celkem se učíme sedm vzorců. Níže je přehledná tabulka a poté rozbor každého vzorce zvlášť.
Tabulka vzorců pro zkrácené násobení
Všech sedm vzorců pro zkrácené násobení je praktické mít před očima v jedné tabulce. Písmena \(a\) a \(b\) zde představují libovolné výrazy: číslo, proměnnou nebo celý jednočlen jako např. \(2x\).
| Vzorec | Zápis |
|---|---|
| Čtverec součtu | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Čtverec rozdílu | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Rozdíl čtverců | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Krychle součtu | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Krychle rozdílu | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Součet krychlí | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Rozdíl krychlí | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Čtverec součtu a čtverec rozdílu
Čtverec součtu získáme, pokud vynásobíme \((a+b)\) samo sebou:
Slovy: čtverec součtu se rovná čtverci prvního výrazu plus dvojnásobek součinu prvního a druhého výrazu plus čtverec druhého výrazu. Stejně se odvodí čtverec rozdílu — znaménko u prostředního členu se změní na mínus:
Hlavní je nezapomenout na prostřední člen \(2ab\): právě kvůli němu \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). U čtverce součtu a čtverce rozdílu se liší pouze znaménko před \(2ab\), zatímco krajní členy \(a^2\) a \(b^2\) jsou vždy kladné.
Příklad. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Čtverec součtu má názorný geometrický význam: je to obsah velkého čtverce se stranou \((a+b)\).
Rozdíl čtverců
Pokud vynásobíme součet a rozdíl stejných výrazů, prostřední členy se vzájemně vyruší:
Výsledkem je vzorec pro rozdíl čtverců: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Toto je nejužitečnější vzorec pro rozklad na součin: jakmile uvidíš rozdíl dvou čtverců, ihned ho rozlož na součin.
Příklad (roznásobení závorek). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Příklad (rozklad na součin). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Pozor: součet čtverců \(a^2 + b^2\) se podle tohoto vzorce na součin rozložit nedá — funguje pouze rozdíl.
Krychle součtu, krychle rozdílu, součet a rozdíl krychlí
Krychle součtu a krychle rozdílu obsahují již čtyři členy:
U krychle rozdílu se znaménka střídají: \(+\,-\,+\,-\). A opět častá past: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — nelze jen „rozdělit“ mocninu, prostřední členy \(3a^2b\) a \(3ab^2\) nesmíme vynechat.
Příklad. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Samostatnou skupinu tvoří součet a rozdíl krychlí — ty naopak rozkládají výraz na součin:
Druhý činitel se nazývá neúplný čtverec součtu nebo rozdílu. Znaménko v jeho prostředním členu je vždy opačné než znaménko v první závorce: u součtu krychlí je to \(-ab\), u rozdílu krychlí \(+ab\).
Příklad. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Příklady použití vzorců pro zkrácené násobení
Příklad 1. Roznásobení závorek: čtverec součtu
Zadání. Umocni na druhou \((2x+5)^2\).
Krok 1. Identifikujeme vzorec pro čtverec součtu: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), kde \(a = 2x\), \(b = 5\).
Krok 2. Vypočítáme každý člen:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Výsledek. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Příklad 2. Použití vzorce pro rozdíl čtverců
Zadání. Vypočítej součin \((3x-4)(3x+4)\).
Krok 1. Máme před sebou součin rozdílu a součtu stejných výrazů — to je rozdíl čtverců \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), kde \(a = 3x\), \(b = 4\).
Krok 2. Umocníme na druhou každý výraz: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Výsledek. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Příklad 3. Rozklad na součin
Zadání. Rozlož na součin \(x^2 - 36\) a \(x^3 + 27\).
Rozdíl čtverců. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Součet krychlí. Všimneme si, že \(27 = 3^3\), tedy \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Použijeme vzorec \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) pro \(a = x\), \(b = 3\):
Všimni si znaménka \(-3x\) v neúplném čtverci — u součtu krychlí je prostřední člen záporný.
Příklad 4. Krychle součtu
Zadání. Roznásob závorky \((x+2)^3\).
Krok 1. Vzorec pro krychli součtu: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), kde \(a = x\), \(b = 2\).
Krok 2. Vypočítáme členy postupně:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Výsledek. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Časté chyby při práci se vzorci
-
Zapomínání na dvojnásobný součin: píší $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Ve čtverci součtu a rozdílu je vždy prostřední člen \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Snadno si to ověříš — roznásob \((a+b)(a+b)\) pod sebou a prostřední člen se objeví sám.
-
Záměna znamének u čtverce rozdílu a rozdílu čtverců.
Ve čtverci rozdílu je mínus pouze u prostředního členu: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (krajní jsou kladné). A v rozdílu čtverců je mínus mezi samotnými čtverci: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Jsou to různé vzorce.
-
„Rozdělování“ mocniny u krychle: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Takto se to dělat nesmí. Krychle součtu obsahuje čtyři členy: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Vzorec \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) je něco úplně jiného (součet krychlí), ten slouží k rozkladu na součin.
-
V neúplném čtverci u součtu/rozdílu krychlí píší dvojnásobek součinu $2ab$.
Neúplný čtverec je \(a^2 \pm ab + b^2\), bez dvojky před \(ab\). Znaménko je opačné než znaménko v první závorce: součet krychlí \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), rozdíl krychlí \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Snaha rozložit součet čtverců $a^2 + b^2$ na součin.
Na součin lze rozložit pouze rozdíl čtverců \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Součet čtverců \(a^2 + b^2\) se ve školní matematice na součin nerozkládá.
Otázky a odpovědi
Kolik je celkem vzorců pro zkrácené násobení?
Sedm: čtverec součtu, čtverec rozdílu, rozdíl čtverců, krychle součtu, krychle rozdílu, součet krychlí a rozdíl krychlí. Všechny jsou uvedeny v tabulce výše.
Čemu se rovná čtverec součtu?
Čtverci prvního výrazu plus dvojnásobek součinu prvního a druhého výrazu plus čtverec druhého výrazu: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). U čtverce rozdílu je prostřední člen záporný: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Jak rozložit rozdíl čtverců na součin?
Podle vzorce \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Například \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Stačí vidět, že oba členy jsou úplné čtverce a mezi nimi je mínus.
Proč $(a+b)^2$ není rovno $a^2 + b^2$?
Protože při násobení \((a+b)(a+b)\) vznikají ještě dva stejné členy \(ab\), které tvoří prostřední člen \(2ab\). Ten nesmíme vynechat: správně je \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
V čem se liší krychle součtu od součtu krychlí?
Krychle součtu \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) je roznásobení závorek. Součet krychlí \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) je naopak rozklad výrazu na součin. Jsou to různé vzorce, nepleť si je.
V jaké třídě se probírají vzorce pro zkrácené násobení?
Obvykle v 7. třídě v hodinách algebry: nejdříve čtverec součtu a rozdílu, rozdíl čtverců, poté vzorce pro krychle. Aktivně se využívají dále při zjednodušování výrazů, krácení zlomků a řešení rovnic.
