Racionální nerovnice je nerovnice tvaru \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) jsou polynomy a místo znaku \(>\) může být \(<\), \(\ge\) nebo \(\le\). Tyto nerovnice se řeší metodou intervalů: vše se převede na levou stranu, rozloží na součin, na číselné ose se vyznačí nuly čitatele a nuly jmenovatele a určí se znaménka. Níže je definice, úplný algoritmus, pravidlo vyznačených bodů, násobnost kořenů, rozebírané příklady a trenažér s kontrolou.
Co je to racionální nerovnice
Racionální nerovnice je nerovnice, jejíž obě strany jsou zapsány racionálními výrazy, tedy polynomy a zlomky z polynomů. Po převedení všeho na jednu stranu se vždy zjednoduší na tvar
kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) jsou polynomy a na místě \(\vee\) stojí jeden ze znaků \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Vpravo musí být nula – to je podmínka, bez které metoda intervalů nefunguje.
Racionální nerovnice se dělí na dva typy. Pokud se proměnná vyskytuje pouze v čitateli, nerovnice se nazývá celočíselná racionální: není čím dělit a hodí se jakékoli hodnoty \(x\). Pokud je proměnná ve jmenovateli, nerovnice je zlomkově racionální (nazývá se také zlomková nerovnice nebo nerovnice se zlomkem) – a pak okamžitě vzniká omezení \(Q(x) \neq 0\).
Proč nelze obě části násobit jmenovatelem
Největší pokušení při řešení nerovnice se zlomkem je „zbavit se jmenovatele“ vynásobením obou částí. U rovnic to lze, u nerovnic ne. Důvod je prostý: při násobení záporným číslem se znaménko nerovnosti obrací, a znaménko výrazu \(Q(x)\) předem neznáme – závisí na \(x\).
Podívejme se na nerovnici \(\frac{5}{x-3} < 1\). Vynásobíme obě části \(x - 3\), jako by to bylo kladné číslo: dostaneme \(5 < x - 3\), tedy \(x > 8\). Zkontrolujeme odpověď dosazením \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – nerovnice platí, takže nula je také řešením, ale do odpovědi \(x > 8\) se nedostala. Odpověď je ztracena.
Správný postup je převést vše na levou stranu a převést na jeden zlomek:
V posledním kroku jsme obě části vynásobili číslem \(-1\) a obrátili znaménko – to je legální, protože \(-1\) je vždy záporné. Dále funguje metoda intervalů a odpověď je \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – obsahuje i ztracenou nulu.
Nejjednodušší je zapamatovat si: násobit obě části výrazem s proměnnou nelze, přenášet členy lze vždy. Přenos nemění znaménko nerovnosti.
Metoda intervalů: algoritmus řešení krok za krokem
Metoda intervalů vychází z jedné vlastnosti: mezi sousedními nulovými body racionálního výrazu je jeho znaménko konstantní. Stačí tedy najít všechny body, kde se čitatel nebo jmenovatel rovná nule, rozdělit jimi číselnou osu a určit znaménko na každém intervalu – pomocí zkušebního bodu nebo násobnosti kořenů.
Vyznačené a nevýznamné body: D.O.F. a znaménko nerovnosti
Chyba v jedné závorce promění správné řešení v nesprávnou odpověď, proto je třeba pravidlo o bodech naučit zvlášť. Fungují přesně dva principy.
První – obor přípustných hodnot. Nula jmenovatele se vyznačí vždy, při jakémkoli znaménku nerovnosti. V tomto bodě zlomek prostě neexistuje: dělit nulou nelze, proto číslo nemůže být řešením, i kdyby znaménko nebylo ostré.
Druhý – ostré znaménko nebo neostré. Nuly čitatele způsobí, že zlomek je roven nule. Při neostrém znaménku (\(\le\) nebo \(\ge\)) nám rovnost nule vyhovuje, takže bod se vyznačí a zahrne do odpovědi hranatou závorkou. Při ostrém znaménku (\(<\) nebo \(>\)) nula nevyhovuje a bod se vyznačí jako nevýznamný.
Například u nerovnice \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) se bod \(x = 6\) vyznačí (nula čitatele, neostré znaménko) a bod \(x = -1\) se vyznačí jako nevýznamný (nula jmenovatele). Odpověď: \(x \in (-1; 6]\).
| Jaký bod | Jak ho vyznačit |
|---|---|
| Nula jmenovatele, Q(x) = 0 | vyznačený (nevýznamný) vždy, při jakémkoli znaménku – bod není v D.O.F. |
| Nula čitatele, znaménko ostré < nebo > | vyznačený (nevýznamný) zlomek je roven nule, ale požaduje se striktně jiné znaménko |
| Nula čitatele, znaménko neostré ≤ nebo ≥ | vyznačení (významný) rovnost nule vyhovuje, bod vstupuje do odpovědi |
Násobnost kořenů: kde se znaménko mění a kde ne
Znaménka na intervalech se nemusí nutně střídat – to je nejčastější omyl v tomto tématu. Střídání funguje pouze tehdy, když všechny závorky vstupují v první mocnině. Pravidlo je přesnější, pokud se formuluje pomocí násobnosti kořene – exponentu odpovídající závorky.
Při přechodu přes kořen liché násobnosti (exponent 1, 3, 5) se znaménko výrazu mění. Při přechodu přes kořen sudé násobnosti (exponent 2, 4) se znaménko nemění: závorka v sudé mocnině je nezáporná a znaménko výrazu nekazí. Násobnost se počítá stejně pro čitatel i jmenovatel.
Uvažujme \((x-9)^2(x+3) > 0\). Kořeny: \(x = 9\) s násobností 2 a \(x = -3\) s násobností 1. Napravo od devítky je výraz kladný. Přejdeme přes 9 – násobnost je sudá, znaménko se zachová, na intervalu \((-3; 9)\) je také plus. Přejdeme přes -3 – násobnost je lichá, znaménko se změní na mínus. Odpověď ostré nerovnice: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), bod 9 je nevýznamný, protože tam je výraz roven nule. A u neostré \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) je odpověď jiná: \(x \in [-3; +\infty)\) – devítka se vyznačí a „slepuje“ dva intervaly do jednoho.
| Násobnost kořene | Znaménko při přechodu |
|---|---|
| Lichá: (x − a), (x − a)3 | mění se |
| Sudá: (x − a)2, (x − a)4 | nemění se |
Číselná osa na příkladu: určujeme znaménka
Dejme to dohromady na nerovnici \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Nuly čitatele: \(x = -7\). Nuly jmenovatele: \(x = 2\) a \(x = 5\), ty také určují D.O.F. Všechny tři závorky jsou v první mocnině, proto se znaménka střídají. Zkušební bod \(x = 10\) v nejvíce pravém intervalu dává \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – začínáme plusem a jdeme doleva, měníme znaménko na každém bodě.
Příklady řešení racionálních nerovnic
Příklad 1. Jednoduchá zlomková nerovnice
Vyřešte \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Krok 1. Vpravo je již nula, zlomek je již jeden – není co přenášet ani sjednocovat.
Krok 2. D.O.F. \(x + 5 \neq 0\), tedy \(x \neq -5\).
Krok 3. Nuly. Čitatel je roven nule pro \(x = 3\), jmenovatel pro \(x = -5\).
Krok 4. Body na ose. \(x = 3\) vyznačíme jako významný (nula čitatele, neostré znaménko), \(x = -5\) jako nevýznamný (nula jmenovatele).
Krok 5. Znaménka. Zkušební bod \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – vpravo je plus. Obě závorky jsou v první mocnině, proto se znaménka střídají: na \((-5; 3)\) je mínus, na \((-\infty; -5)\) je plus. Zkontrolujeme: pro \(x = -6\) dostaneme \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – sedí.
Krok 6. Odpověď. Potřebujeme znaménko „plus nebo nula“: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Příklad 2. Vpravo není nula – přenášíme
Vyřešte \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Krok 1. Převedeme jedničku doleva. Násobit \(x - 4\) nelze, znaménko tohoto výrazu není známo:
Krok 2. Převedeme na jeden zlomek.
Krok 3. D.O.F. \(x \neq 4\).
Krok 4. Body. \(x = -5\) – nula čitatele, neostré znaménko, vyznačíme významný. \(x = 4\) – nula jmenovatele, nevýznamný.
Krok 5. Znaménka. Pro \(x = 5\) je zlomek roven \(\frac{10}{1} > 0\). Tedy na \((4; +\infty)\) je plus, na \((-5; 4)\) je mínus, na \((-\infty; -5)\) je plus.
Krok 6. Odpověď. \(x \in [-5; 4)\). Kontrola hraničních bodů: pro \(x = -5\) je zlomek roven nule – vyhovuje pro \(\le\); pro \(x = 4\) zlomek neexistuje – nevyhovuje.
Příklad 3. Kořen sudé násobnosti a izolovaný bod
Vyřešte \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Krok 1. D.O.F. \(x \neq 9\).
Krok 2. Nuly a násobnosti. \(x = 2\) – násobnost 2 (sudá), \(x = -6\) – násobnost 1, \(x = 9\) – násobnost 1 ve jmenovateli.
Krok 3. Body. \(x = 2\) a \(x = -6\) vyznačíme jako významné (nuly čitatele při neostrém znaménku), \(x = 9\) jako nevýznamný.
Krok 4. Znaménka. Zkušební bod \(x = 10\): čitatel je kladný, jmenovatel je 1 – plus. Jdeme doleva. Přes 9 (lichá násobnost) se znaménko mění: na \((2; 9)\) je mínus. Přes 2 (násobnost sudá) se znaménko nemění: na \((-6; 2)\) je také mínus. Přes -6 (lichá násobnost) se znaménko mění: na \((-\infty; -6)\) je plus.
Krok 5. Odpověď. Vezmeme intervaly se znaménkem „plus“ a všechny body, kde je výraz roven nule. Bod \(x = 2\) leží uvnitř intervalu s mínusem, ale samotný výraz je tam roven nule, takže vstupuje do odpovědi zvlášť:
Takto „osamocený“ bod v odpovědi je spolehlivým znakem kořene sudé násobnosti při neostrém znaménku.
Příklad 4. Krácení zlomku: past s D.O.F.
Vyřešte \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Krok 1. Rozložíme na součin. Čitatel je úplný čtverec: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Pro jmenovatel spočítáme diskriminant: \(D = 81 + 40 = 121\), kořeny \(x_1 = \frac{1}{5}\) a \(x_2 = -2\), tedy \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Krok 2. D.O.F. – před jakýmkoli krácením. \(5x - 1 \neq 0\) a \(x + 2 \neq 0\), tedy \(x \neq \frac{1}{5}\) a \(x \neq -2\).
Krok 3. Krátíme. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), ale pouze pro \(x \neq \frac{1}{5}\) – krácení nevrací nevýznamný bod zpět.
Krok 4. Řešíme \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nuly: \(\frac{1}{5}\) a \(-2\). Pro \(x = 1\) je zlomek roven \(\frac{4}{3} > 0\). Tedy na \((\frac{1}{5}; +\infty)\) je plus, na \((-2; \frac{1}{5})\) je mínus, na \((-\infty; -2)\) je plus.
Krok 5. Vrátíme D.O.F. Interval \((-2; \frac{1}{5}]\) by vyhovoval znaménku, ale bod \(\frac{1}{5}\) je nevýznamný: v původní nerovnici se jmenovatel \(5x^2+9x-2\) pro \(x = \frac{1}{5}\) rovná nule, zlomek tam neexistuje.
Odpověď: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – obě závorky jsou kulaté.
Příklad 5. Kvadratický trojčlen v čitateli
Vyřešte \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Krok 1. Rozložíme čitatel. Podle Viètovy věty je součet kořenů 7, součin 10, tedy \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Nerovnice má tvar \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Krok 2. D.O.F. \(x \neq -4\).
Krok 3. Body. Všechny tři body jsou nevýznamné: -4 – nula jmenovatele, 2 a 5 – nuly čitatele při ostrém znaménku.
Krok 4. Znaménka. Zkušební bod \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Všechny závorky jsou v první mocnině, proto se znaménka střídají: na \((5; +\infty)\) je plus, na \((2; 5)\) je mínus, na \((-4; 2)\) je plus, na \((-\infty; -4)\) je mínus.
Krok 5. Odpověď. Potřebujeme ostré mínus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrola dosazením: pro \(x = -5\) dostaneme \(\frac{70}{-1} < 0\), pro \(x = 3\) dostaneme \(\frac{-2}{7} < 0\) – oba intervaly vyhovují.
Časté chyby při řešení racionálních nerovnic
-
Násobí obě části jmenovatelem: z $\frac{3}{x-8} > 1$ udělají $3 > x - 8$ a napíší $x < 11$.
Znaménko výrazu \(x - 8\) není předem známo, a při násobení záporným číslem se nerovnost obrací. Kontrola: \(x = 0\) dává \(\frac{3}{-8} < 1\) – nula není řešením, ačkoli se dostala do odpovědi \(x < 11\). Správně: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), tedy \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), z čehož plyne \(x \in (8; 11)\).
-
Vyznačují nulu jmenovatele, protože znaménko je neostré: u $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ píší odpověď s hranatou závorkou u sedmičky.
Nula jmenovatele se vyznačí jako nevýznamná vždy, při jakémkoli znaménku: v tomto bodě zlomek prostě neexistuje. Správná odpověď: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – u jedničky je hranatá závorka, u sedmičky kulatá.
-
Krátí zlomek a ztratí D.O.F.: z $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ dostanou $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ a zahrnou do odpovědi bod $x = -3$.
D.O.F. se vypisuje před krácením, podle původního jmenovatele: \(x \neq -3\) a \(x \neq 5\). Zkrácený zlomek \(\frac{x+3}{x-5}\) je nekladný na \([-3; 5)\) – pro \(x = 0\) je roven \(-0{,}6\), což je požadováno pro znaménko \(\le\). Ale bod \(-3\) je nevýznamný kvůli D.O.F., proto je odpověď \((-3; 5)\), nikoli \([-3; 5)\).
-
Myslí si, že se znaménka na intervalech vždy střídají, a pro $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ dávají mínus napravo od jedničky.
Střídání je správné pouze u závorek v první mocnině. Kořen \(x = 1\) má násobnost 2, proto se znaménko přes něj nemění. Výraz je kladný na celém \((-4; +\infty)\), kromě samotné jedničky, kde je roven nule. Odpověď: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Mění znaménko nerovnosti při přenosu členu: z $\frac{x}{x-2} \le 3$ udělají $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Přenos členu z jedné strany na druhou nemění znaménko nerovnosti – mění se pouze znaménko samotného členu. Znaménko se obrací pouze při násobení nebo dělení obou částí záporným číslem. Správně: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), dále \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), tedy \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Vyznačují na ose pouze nuly čitatele, a jmenovatel kontrolují „potom“: pro $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ dávají jeden bod -11.
Na ose se vyznačují všechny nuly najednou – jak čitatele, tak jmenovatele, jinak intervaly vyjdou nesprávně. Zde \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), proto jsou tři body: -11, -4 a 4, nikoli jeden. Všechny jsou nevýznamné (ostré znaménko), odpověď: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Otázky a odpovědi
Co je to racionální nerovnice?
Je to nerovnice, jejíž obě strany jsou racionální výrazy (polynomy a zlomky z polynomů). Po převedení všeho na levou stranu se zjednoduší na tvar \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) jsou polynomy a místo \(>\) může být \(<\), \(\le\) nebo \(\ge\).
Jak řešit racionální nerovnice?
Metodou intervalů v šesti krocích: převeďte vše na levou stranu, aby vpravo zůstala nula; sjednoťte na jeden zlomek a rozložte čitatel i jmenovatel na součin; vypište D.O.F. (\(Q(x) \neq 0\)); vyznačte na číselné ose nuly čitatele a jmenovatele; určete znaménka na intervalech pomocí zkušebního bodu a násobnosti kořenů; vypište do odpovědi intervaly s požadovaným znaménkem.
Čím se liší zlomkově racionální nerovnice od celočíselné racionální?
U celočíselné racionální se proměnná nachází pouze v čitateli, např. \((x-1)(x+4) > 0\), a D.O.F. jsou všechna reálná čísla. U zlomkově racionální se proměnná nachází ve jmenovateli, např. \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), a vzniká omezení \(x \neq -4\). Algoritmus je přitom stejný – mění se pouze nevýznamné body.
Jak řešit nerovnice se zlomkem?
Stejně jako jakoukoli racionální nerovnici: nejprve převeďte vše na levou stranu a sjednoťte na jeden zlomek, nikoli se zbavovat jmenovatele. Například \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) se změní na \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), tedy \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Čitatel je konstantní a záporný, proto je zlomek nezáporný pouze při záporném jmenovateli: \(x + 2 < 0\). Odpověď: \(x \in (-\infty; -2)\).
Proč nelze obě části nerovnice násobit jmenovatelem?
Protože znaménko jmenovatele závisí na \(x\): při násobení kladným výrazem se znaménko nerovnosti zachová, při násobení záporným – obrací. Předem nelze vědět, který případ nastává, proto se část řešení ztrácí a část se přidává zbytečně. Přenášet členy lze vždy – přenos znaménko nerovnosti nemění.
Jak najít D.O.F. v nerovnici?
Pro racionální nerovnici je D.O.F. množina všech hodnot \(x\), pro které se jmenovatel nerovná nule. Připravte jmenovatel k nule, vyřešte rovnici a vylučte nalezená čísla. D.O.F. je třeba vypisovat podle původního jmenovatele, před krácením zlomku – jinak se ztratí nevýznamné body.
Které body jsou nevýznamné a které významné?
Nuly jmenovatele jsou nevýznamné vždy, při jakémkoli znaménku nerovnosti. Nuly čitatele se vyznačují jako významné při neostrém znaménku (\(\le\) nebo \(\ge\)) a jako nevýznamné při ostrém (\(<\) nebo \(>\)). V zápisu odpovědi nevýznamnému bodu odpovídá kulatá závorka, významnému – hranatá.
Co je to násobnost kořene a k čemu je v metodě intervalů?
Násobnost je exponent, ve kterém závorka vstupuje do rozkladu. Při přechodu přes kořen liché násobnosti se znaménko výrazu mění, při přechodu přes kořen sudé násobnosti – zachovává. Právě proto se znaménka nemění vždy jen jednoduše: u \((x-9)^2(x+3)\) se v bodě 9 znaménko zachová.
V kterém ročníku se probírají racionální nerovnice?
V 9. ročníku na hodinách algebry, po kvadratických nerovnicích a rozkladu polynomů na součin. Metoda intervalů se dále používá pro exponenciální, logaritmické a iracionální nerovnice, a také v úlohách OGE a profilové části ЕГЭ.
