Desetinné číslo je číslo, u kterého je celá a desetinná část oddělena desetinnou čárkou: 3,25 nebo 0,7. Všechny operace s desetinnými čísly — sčítání, odčítání, násobení a dělení — se provádějí téměř stejně jako u přirozených čísel; hlavní je hlídat si desetinnou čárku. Na této stránce najdete všechna pravidla s příklady pod sebou, návod na posun čárky, rozbor častých chyb a interaktivní procvičování pro vlastní kontrolu.
Řády desetinného čísla
Každá číslice za desetinnou čárkou má svůj název a hodnotu:
- první řád — desetiny (0,1);
- druhý — setiny (0,01);
- třetí — tisíciny (0,001) a tak dále.
Důležitá vlastnost: pokud napravo k desetinné části připíšeme nuly, hodnota čísla se nezmění: 5,7 = 5,70 = 5,700. Tuto vlastnost budeme využívat neustále — umožňuje nám srovnat počet míst za desetinnou čárkou při sčítání, odčítání a porovnávání.
Všechny operace s desetinnými čísly: stručný přehled
Každá operace má své hlavní pravidlo pro desetinnou čárku. Čtyři karty níže shrnují podstatu tématu, dále je každá operace rozebrána podrobně s příklady.
Sčítání a odčítání desetinných čísel pod sebou
Sčítání a odčítání se provádí podle jednoho pravidla:
- Čísla zapíšeme pod sebe tak, aby desetinná čárka byla přesně pod čárkou — tím se stejné řády dostanou pod sebe: desetiny pod desetiny, setiny pod setiny.
- Pokud je počet míst za čárkou různý, srovnáme je doplněním nul.
- Sčítáme nebo odčítáme jako přirozená čísla, aniž bychom brali ohled na čárky.
- Ve výsledku napíšeme čárku přesně pod čárky původních čísel.
Celé číslo lze také zapsat jako desetinné: 6 = 6,00 — to pomáhá u příkladů typu 6 − 2,35.
Pravidlo násobení desetinných čísel
Násobení je jediná operace, kde čárky nemusíme zarovnávat. Pravidlo násobení desetinných čísel má dva kroky:
- Čísla vynásobíme, jako by čárky neexistovaly — jako běžná přirozená čísla.
- Ve výsledku oddělíme čárkou zprava tolik číslic, kolik je jich za čárkou v obou činitelích dohromady.
Pokud je v součinu méně číslic, než je potřeba oddělit, doplníme zleva nuly: 12 × 3 = 36, ale pro 0,12 × 0,3 musíme oddělit tři místa, proto je výsledek 0,036.
Rychlá kontrola: při násobení číslem menším než jedna musí být výsledek menší než první činitel. Vyšlo-li číslo větší, čárka je na špatném místě.
Dělení desetinných čísel
Zde jsou dva případy.
Dělení přirozeným číslem. Dělíme pod sebou jako obvykle, čárku ve výsledku napíšeme v momentě, kdy skončí celá část děleného čísla: 8,46 : 2 = 4,23.
Dělení desetinným číslem. Nejprve se zbavíme čárky v děliteli: posuneme čárku v dělenenci i děliteli doprava o stejný počet míst — tedy vynásobíme obě čísla 10, 100 nebo 1000. Podíl se tím nezmění a dělení se převede na první případ.
Násobení a dělení 10, 100, 1000
Nejrychlejší operace s desetinnými čísly jsou násobení a dělení mocninami desítky. Počítání pod sebou není potřeba: stačí posunout čárku o tolik míst, kolik je nul v čísle 10, 100 nebo 1000. Pokud chybí číslice, připíšeme nuly.
Porovnávání desetinných čísel
Desetinná čísla porovnáváme po řádech:
- Nejprve celé části: které číslo má větší celou část, to je větší.
- Pokud jsou celé části stejné, porovnáváme desetiny, pak setiny, pak tisíciny, dokud nenajdeme rozdíl.
- Abychom se nespletli, srovnejte počet míst doplněním nul: porovnat 5,7 a 5,68 je snazší jako 5,70 a 5,68 — sedmdesát setin je více než šedesát osm, tedy 5,7 > 5,68.
Délka zápisu o velikosti nic neříká: 0,5 je více než 0,4999, i když má méně číslic.
Operace s desetinnými čísly: příklady s řešením
Příklad 1. Sčítání: 5,3 + 2,47
Krok 1. Srovnáme počet míst za čárkou: 5,3 = 5,30.
Krok 2. Zapíšeme pod sebe, čárka pod čárkou.
Krok 3. Sčítáme jako přirozená čísla: 530 + 247 = 777.
Krok 4. Napíšeme čárku pod čárky sčítanců: 7,77.
Příklad 2. Odčítání od celého čísla: 6 − 2,35
Krok 1. Představíme 6 jako desetinné číslo: 6 = 6,00.
Krok 2. Zapíšeme pod sebe: 6,00 − 2,35.
Krok 3. Odečítáme s půjčováním z vyšších řádů: 3,65.
Kontrola. 3,65 + 2,35 = 6 — sedí.
Příklad 3. Násobení: 2,5 × 0,04
Krok 1. Násobíme, aniž bychom brali ohled na čárky: 25 × 4 = 100.
Krok 2. Spočítáme místa za čárkou: jedno v 2,5 a dvě v 0,04 — celkem tři.
Krok 3. Oddělíme tři místa zprava: 0,100.
Krok 4. Vynecháme nuly na konci desetinné části: 0,1.
Kontrola řádu. 0,04 je méně než jedna, takže výsledek musí být menší než 2,5 — správně.
Příklad 4. Dělení desetinným číslem: 1,44 : 1,2
Krok 1. Uděláme dělitele celým číslem: posuneme čárku o jedno místo doprava u obou čísel — dostaneme 14,4 : 12.
Krok 2. Dělíme pod sebou celou část: 14 : 12 = 1, zbytek 2.
Krok 3. Celá část skončila — napíšeme ve výsledku čárku a přeneseme 4: 24 : 12 = 2.
Výsledek: 1,2. Kontrola: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Časté chyby při operacích s desetinnými čísly
-
Při sčítání a odčítání zarovnávají čísla k pravému okraji jako celá čísla: 3,25 + 4,8 zapíší pod sebe bez ohledu na čárku a dostanou 3,73.
Zarovnávejte podle čárky, ne podle poslední číslice: 4,8 = 4,80, a pak 3,25 + 4,80 = 8,05. Desetiny musí být pod desetinami, setiny pod setinami.
-
Při násobení se snaží zarovnávat čárky nebo píší čárku ve výsledku „pod čárky“ činitelů.
Při násobení se čárky vůbec nezarovnávají. Vynásobte jako celá čísla a oddělte zprava tolik míst, kolik jich je za čárkou v obou činitelích dohromady.
-
Pokud je v součinu méně číslic, než je potřeba oddělit, ztrácejí nuly: 0,12 × 0,3 = 0,36 místo 0,036.
12 × 3 = 36 — to jsou jen dvě číslice, ale oddělit musíme tři. Připište chybějící nuly zleva: 0,036.
-
Při dělení desetinným číslem posunou čárku jen u dělitele: 4,2 : 0,7 změní na 4,2 : 7 a dostanou 0,6.
Čárka se posouvá u obou čísel o stejný počet míst: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Jinak se podíl zmenší 10krát.
-
Porovnávají čísla podle počtu číslic: myslí si, že 5,68 je větší než 5,7, protože zápis je delší.
Srovnejte počet míst nulami a porovnávejte po řádech: 5,70 a 5,68 — v desetinách je 7 > 6, tedy 5,7 > 5,68.
-
Při násobení a dělení 10, 100, 1000 posouvají čárku na špatnou stranu.
Násobení číslo zvětšuje — čárka jde doprava: 3,74 × 10 = 37,4. Dělení zmenšuje — doleva: 3,74 : 10 = 0,374. Počet míst odpovídá počtu nul.
Otázky a odpovědi
Jaké operace s desetinnými čísly se učí v 5. třídě?
V 5. třídě se probírají všechny čtyři operace — sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel, a také jejich porovnávání a zaokrouhlování. Obvykle se nejprve učí sčítání a odčítání pod sebou, pak násobení a dělení přirozeným číslem a nakonec dělení desetinným číslem.
Změní se desetinné číslo, pokud napravo připíšeme nuly?
Ne: 5,7 = 5,70 = 5,700 — je to stále stejné číslo. Připisování nul se používá ke srovnání počtu míst za čárkou při sčítání, odčítání a porovnávání. Ale vložit nulu mezi číslice nebo ubrat nulu zprostředka čísla nelze — hodnota by se změnila.
Jak zaokrouhlit desetinné číslo?
Najděte řád, na který chcete zaokrouhlit, a podívejte se na číslici za ním: pokud je menší než 5 — zaokrouhlovaná číslice se nemění (3,748 ≈ 3,7), pokud je 5 a více — zvětší se o jedničku (2,85 ≈ 2,9). Všechny číslice napravo se vynechají.
Jak převést zlomek na desetinné číslo?
Vydělte čitatele jmenovatelem: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Ne každý zlomek dává konečný desetinný zápis: například 1/3 = 0,333… — nekonečný periodický rozvoj. Konečné desetinné číslo vznikne, pokud je jmenovatel dělitelný pouze dvojkami a pětkami.
V jakém pořadí provádět operace ve výrazech s desetinnými čísly?
Pořadí je stejné jako u přirozených čísel: nejprve operace v závorkách, pak násobení a dělení zleva doprava, poté sčítání a odčítání zleva doprava. Desetinný zápis čísel pořadí operací neovlivňuje.
Lze vydělit menší desetinné číslo větším?
Ano. Pokud je dělenec menší než dělitel, podíl bude prostě menší než jedna: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. V celé části podílu se v tomto případě píše 0 a pokračuje se v dělení za čárkou.
