مربعی مساوات ایک ایسی مساوات ہے جو \(ax^2 + bx + c = 0\) کی شکل میں ہوتی ہے، جہاں \(a \neq 0\)۔ اس کے جڑوں کی تعداد فرق کنندہ \(D = b^2 - 4ac\) سے متعین ہوتی ہے، اور جڑیں فارمولا \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) سے معلوم کی جاتی ہیں۔ اس صفحہ پر موضوع سے متعلق سب کچھ جمع کیا گیا ہے: معیاری فارم اور کوائفینٹ، نامکمل مساواتوں کی تین اقسام، فرق کنندہ اور تین صورتیں، جڑوں کا فارمولا اور اس کا "جفت" ورژن، مربوط مساوات اور ویٹا کا نظریہ، عوامل میں تجزیہ اور دو مربعی مساواتیں — مرحلہ وار مثالوں، عام غلطیوں کے تجزیے اور انٹرایکٹو ٹرینر کے ساتھ۔
مربعی مساوات کیا ہے؟
مربعی مساوات ایک ایسی مساوات ہے جو
کی شکل میں ہوتی ہے، جہاں \(x\) نامعلوم ہے، اور \(a\)، \(b\)، \(c\) اعداد (کوائفینٹ) ہیں، اور \(a \neq 0\)۔ اس طرح کی تحریر کو مربعی مساوات کی معیاری فارم کہا جاتا ہے: بائیں جانب درجات کے لحاظ سے اترتے ہوئے، دائیں جانب صفر۔
شرط \(a \neq 0\) محض رسمی نہیں ہے۔ یہی \(ax^2\) والا حصہ مساوات کو مربعی بناتا ہے: اگر \(a = 0\) ہو تو \(bx + c = 0\) باقی رہتا ہے، جو کہ ایک عام لکیری مساوات ہے جس کا ایک ہی حل ہوتا ہے۔ اسی لیے پیرامیٹر والے مسائل میں سب سے پہلے یہ جانچا جاتا ہے کہ سب سے بڑا کوائفینٹ صفر تو نہیں ہو رہا۔
مساوات کو معیاری شکل میں لانا تقریباً ہمیشہ ممکن ہوتا ہے: قوسیں کھولیں، تمام اصطلاحات کو بائیں جانب منتقل کریں اور مشابہ اصطلاحات کو یکجا کریں۔ مثال کے طور پر، \(5x^2 = 3x - 2\) کو منتقل کرنے کے بعد \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) بن جاتا ہے، جس سے \(a = 5\)، \(b = -3\)، \(c = 2\) حاصل ہوتا ہے۔ "مربعی مساوات" کا مطلب بالکل وہی ہے — یہ صرف نام کا دوسرا متبادل ہے۔
مکمل اور نامکمل مربعی مساواتیں
اگر تینوں کوائفینٹ غیر صفر ہوں تو مساوات کو مکمل کہا جاتا ہے۔ اگر \(b\) یا \(c\) (یا دونوں) صفر ہوں — تو نامکمل۔ نامکمل کی تین اقسام ہیں، اور ان میں سے کسی کو بھی فرق کنندہ کی ضرورت نہیں: ہر ایک ایک یا دو سطروں میں حل ہو جاتی ہے، اور یہ امتحان میں وقت بچانے کا سب سے تیز طریقہ ہے۔
\(ax^2 + bx = 0\) کے لیے کلیدی خیال مشترک عامل کو باہر نکالنا ہے۔ حاصل ضرب \(x(ax + b)\) تب اور صرف تب ہی صفر ہوتا ہے جب کم از کم ایک عامل صفر ہو، اس سے فوراً دو جڑیں نکلتی ہیں۔ \(ax^2 + c = 0\) کے لیے خیال مختلف ہے: \(x^2\) کو ظاہر کریں اور نتیجے میں آنے والے عدد کے نشان کو دیکھیں — کسی حقیقی عدد کا مربع منفی نہیں ہو سکتا۔
| مساوات کی قسم | حل کرنے کا طریقہ |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | c کو دائیں طرف منتقل کریں اور a سے تقسیم کریں: x2 = −c/a۔ جزر نکالیں، دوسرا نشان نہ کھویں۔x = 5 اور x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | x کو مشترک نکالیں: x(ax + b) = 0۔ حاصل ضرب صفر ہوتا ہے جب اس کے عوامل میں سے ایک صفر ہو۔x = 0 اور x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | a سے تقسیم کریں اور صفر کا جزر نکالیں۔ جزر ہمیشہ صرف ایک ہوتا ہے۔x = 0 |
فرق کنندہ: کیسے معلوم کریں اور کتنی جڑیں ہوں گی
فرق کنندہ ایک عدد ہے جو مکمل مساوات کے کوائفینٹ سے شمار کیا جاتا ہے:
خود لفظ کا مطلب ہے "فرق کرنے والا": فرق کنندہ کچھ حل نہیں کرتا، یہ صرف تین صورتوں میں فرق کرتا ہے — دو جڑیں ہیں، ایک جڑ ہے، یا کوئی جڑ نہیں ہے۔ اس لیے "مساوات کے کتنے جڑیں ہیں" کا سوال خود جڑیں معلوم کیے بغیر حل ہو جاتا ہے۔
\(D\) کا حساب احتیاط سے کرنا چاہیے: \(b^2\) ہمیشہ مثبت ہوتا ہے، یہاں تک کہ اگر خود \(b\) منفی ہو، اور \(a\) اور \(c\) کے نشانات \(4ac\) کے حاصل ضرب میں جیسے ہیں ویسے ہی شامل ہوتے ہیں۔ \(x^2 + 4x - 5 = 0\) لیں: یہاں \(a = 1\)، \(b = 4\)، \(c = -5\)، اس لیے \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)۔ فرق کنندہ مثبت ہے، اور دو جڑیں ہوں گی۔
مربعی مساوات کی جڑوں کا فارمولا
جب \(D \ge 0\) ہو، تو جڑیں موضوع کے اہم فارمولا سے معلوم کی جاتی ہیں:
علامت \(\pm\) دو حسابات کا مطلب ہے: ایک بار جمع کے ساتھ، دوسری بار تفریق کے ساتھ۔ جب \(D = 0\) ہو تو دونوں حسابات ایک ہی عدد \(x = -\dfrac{b}{2a}\) دیتے ہیں — اس جڑ کو دوہرا کہا جاتا ہے۔
دو جگہیں جہاں سب سے زیادہ غلطیاں ہوتی ہیں: شمار کنندہ میں \(b\) کا منفی ہوتا ہے (اگر \(b = -7\) ہو تو یہ \(+7\) ہوگا)، اور تقسیم کنندہ میں \(2a\) ہوتا ہے، نہ کہ صرف \(2\)۔ جب \(a = 1\) ہو تو فرق نظر نہیں آتا، اس لیے غلطی وہیں ظاہر ہوتی ہے جہاں سب سے بڑا کوائفینٹ ایک سے مختلف ہو۔
\(2x^2 - 9x - 5 = 0\) حل کریں: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\)، \(\sqrt{D} = 11\)، اس لیے \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) اور \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\)۔
جفت دوسرا کوائفینٹ: D₁ والا فارمولا
اگر \(b\) ایک جفت عدد ہو، تو اسے \(b = 2k\) کے طور پر لکھنا اور "کم" فرق کنندہ کا حساب لگانا آسان ہوتا ہے:
حسابات میں اعداد چار گنا کم ہو جاتے ہیں (\(D = 4D_1\))، اور \(D_1\) کا نشان وہی ہوتا ہے جو \(D\) کا ہوتا ہے — اس کا مطلب ہے کہ جڑوں کی تعداد کے بارے میں نتیجہ نہیں بدلتا۔
مثال: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\)۔ یہاں \(b = 8\)، یعنی \(k = 4\)، اور \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\)، \(\sqrt{D_1} = 5\)۔ تب \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) اور \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\)۔ عام فارمولا سے \(D = 100\) کے ساتھ کام کرنا پڑتا — نتیجہ وہی ہے، لیکن حساب زیادہ ہوتا۔
مربوط مساوات اور ویٹا کا نظریہ
جب \(a = 1\) ہو تو مساوات کو مربوط کہا جاتا ہے اور اسے \(x^2 + px + q = 0\) کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ کسی بھی مربعی مساوات کو \(a\) سے تقسیم کر کے اس شکل میں لایا جا سکتا ہے: مثال کے طور پر، \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) کو 4 سے تقسیم کرنے کے بعد \(x^2 - 3x + 2 = 0\) بن جاتا ہے۔
مربوط شکل اس لیے قیمتی ہے کہ اس کے لیے ویٹا کا نظریہ کام کرتا ہے: جڑوں کا مجموعہ \(-p\) کے برابر ہوتا ہے، اور حاصل ضرب \(q\) کے برابر ہوتا ہے۔ \(x^2 - 7x + 10 = 0\) کے لیے دو ایسے اعداد درکار ہیں جن کا مجموعہ 7 اور حاصل ضرب 10 ہو — وہ 2 اور 5 ہیں، اور فرق کنندہ کا حساب لگانے کی ضرورت نہیں پڑی۔
ویٹا کے ذریعے تلاش اس وقت کارآمد ہوتی ہے جب جڑیں صحیح اور چھوٹی ہوں، اور یہ فرق کنندہ کے ذریعے معلوم کیے گئے جواب کو مفت میں جانچتا بھی ہے: مجموعہ \(-p\) اور حاصل ضرب \(q\) کے برابر ہونا چاہیے۔ عام شکل کے لیے فارمولے، الٹا نظریہ اور تلاش کا طریقہ کار ایک الگ مواد میں — ویٹا کا نظریہ — بیان کیا گیا ہے۔
مربعی سہ رخی کو عوامل میں تجزیہ کرنا
اگر جڑیں \(x_1\) اور \(x_2\) معلوم ہو جائیں، تو مربعی سہ رخی کو عوامل میں اس طرح تجزیہ کیا جا سکتا ہے:
عامل \(a\) کو بھولنا نہیں چاہیے — اس کے بغیر مساوات درست نہیں رہتی۔ تجزیہ کو جانچنا ہمیشہ آسان ہوتا ہے: قوسیں کھولیں اور اصل سہ رخی سے موازنہ کریں۔ مثال کے طور پر، \(x^2 + 2x - 8\) کی جڑیں 2 اور \(-4\) ہیں، اس لیے \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\)۔
الٹا عمل بھی کام کرتا ہے: اگر سہ رخی کو زبانی طور پر تجزیہ کیا جا سکے، تو جڑیں فوراً نظر آتی ہیں اور فرق کنندہ کی ضرورت نہیں پڑتی۔ یہاں مختصر ضرب کے فارمولے مدد کرتے ہیں — مثال کے طور پر، \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) جڑیں 4 اور \(-4\) فوراً دیتا ہے۔
فارمولا جڑوں کے بغیر کام کرنے کا تیسرا طریقہ مکمل مربع نکالنا ہے۔ \(x^2 + 6x + 5 = 0\) میں پہلی دو اصطلاحات کو مربع مکمل کرنے کے لیے شامل کیا جاتا ہے: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\)، یعنی \((x + 3)^2 = 4\)، جس سے \(x + 3 = \pm 2\) اور \(x = -1\) یا \(x = -5\)۔ یہی طریقہ عام شکل میں جڑوں کے فارمولا کو اخذ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔
مساواتیں جو مربعی مساواتوں میں تبدیل ہو سکتی ہیں: دو مربعی مساواتیں
دو مربعی مساوات \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) کی شکل میں ہوتی ہے: صرف جفت درجات۔ اسے \(t = x^2\) کے تبادلے سے حل کیا جاتا ہے، جس میں شرط \(t \ge 0\) ضروری ہے — کسی حقیقی عدد کا مربع منفی نہیں ہو سکتا۔
تبادلے کے بعد ایک عام مربعی مساوات \(at^2 + bt + c = 0\) حاصل ہوتی ہے۔ اسے فرق کنندہ سے حل کیا جاتا ہے، اور پھر ہر غیر منفی جڑ \(t\) کے لیے \(x = \pm\sqrt{t}\) پر واپس جاتے ہیں۔ اس سے جڑوں کی تعداد نکلتی ہے: چار تک۔
مثال کے طور پر، \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) تبادلے کے بعد \(t^2 - 5t + 4 = 0\) بن جاتی ہے جس کی جڑیں \(t = 1\) اور \(t = 4\) ہیں۔ دونوں مثبت ہیں، اس لیے \(x = \pm 1\) اور \(x = \pm 2\) — کل چار جڑیں۔ اگر ان میں سے کوئی \(t\) منفی ہوتا تو اسے چھوڑ دیا جاتا۔
اسی طریقے سے کسری-منطقی مساواتیں (مشترک تقسیم کنندہ پر لانے اور ممنوعہ اقدار کو چھوڑنے کے بعد) اور \(t = x^2 + 3x\) جیسی شکل والی مساواتوں کو حل کیا جاتا ہے۔
مربعی مساواتیں حل کرنے کی مثالیں
مثال 1. مکمل مساوات، D > 0
حل کریں \(3x^2 - 7x + 2 = 0\)۔
قدم 1۔ مساوات پہلے سے ہی معیاری شکل میں ہے: \(a = 3\)، \(b = -7\)، \(c = 2\)۔
قدم 2۔ \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — دو جڑیں ہیں۔
قدم 3۔ \(\sqrt{D} = 5\)، اس لیے \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\)، \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)۔
قدم 4۔ متبادل سے جانچ۔ \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\)؛ \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\)۔
جواب: \(x_1 = 2\)، \(x_2 = \dfrac{1}{3}\)۔
مثال 2. فرق کنندہ صفر ہے
حل کریں \(4x^2 - 12x + 9 = 0\)۔
قدم 1۔ \(a = 4\)، \(b = -12\)، \(c = 9\)۔
قدم 2۔ \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — ایک جڑ ہے۔
قدم 3۔ \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\)۔
قدم 4۔ جانچ۔ \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\)۔
جواب: \(x = 1{,}5\)۔ نوٹ کریں: بائیں جانب مکمل مربع \((2x - 3)^2\) ہے، اس لیے جڑ ایک ہی نکلی۔
مثال 3. فرق کنندہ منفی ہے
حل کریں \(2x^2 + 3x + 5 = 0\)۔
قدم 1۔ \(a = 2\)، \(b = 3\)، \(c = 5\)۔
قدم 2۔ \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\)۔
قدم 3۔ فرق کنندہ منفی ہے، اس لیے \(\sqrt{D}\) کو حقیقی اعداد میں سے نکالنا ممکن نہیں۔ جڑوں کے فارمولا کو استعمال کرنے کی ضرورت نہیں — حل یہیں ختم ہوتا ہے۔
جواب: کوئی حقیقی جڑ نہیں۔ یہ ایک مکمل جواب ہے، غلطی کی علامت نہیں: فنکشن \(y = 2x^2 + 3x + 5\) کا گراف \(x\)-axis کو نہیں کاٹتا۔
مثال 4. نامکمل مساوات کی قسم ax² + c = 0
حل کریں \(3x^2 - 27 = 0\)۔
قدم 1۔ مستقل اصطلاح کو منتقل کریں: \(3x^2 = 27\)۔
قدم 2۔ 3 سے تقسیم کریں: \(x^2 = 9\)۔
قدم 3۔ مربع 9 ہے دو اعداد کا: \(x = 3\) اور \(x = -3\)۔ دوسرا نشان اکثر ضائع ہو جاتا ہے۔
قدم 4۔ جانچ۔ \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\)؛ \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\)۔
جواب: \(x_1 = 3\)، \(x_2 = -3\)۔ \(2x^2 + 8 = 0\) مساوات سے موازنہ کریں: وہاں \(x^2 = -4\) تھا، اور کوئی حقیقی جڑ نہیں تھی۔
مثال 5. نامکمل مساوات کی قسم ax² + bx = 0
حل کریں \(5x^2 - 15x = 0\)۔
قدم 1۔ مشترک عامل کو باہر نکالیں: \(5x(x - 3) = 0\)۔
قدم 2۔ حاصل ضرب صفر ہوتا ہے جب کوئی ایک عامل صفر ہو: \(5x = 0\) یا \(x - 3 = 0\)۔
قدم 3۔ اس سے \(x_1 = 0\)، \(x_2 = 3\) حاصل ہوتا ہے۔
قدم 4۔ جانچ۔ \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\)؛ \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\)۔
جواب: \(x_1 = 0\)، \(x_2 = 3\)۔ اگر اصل مساوات کو \(x\) سے تقسیم کیا جائے تو صرف \(x = 3\) باقی رہتا ہے — جڑ \(x = 0\) ضائع ہو جاتی ہے۔ نامعلوم والے اظہار سے تقسیم نہیں کرنا چاہیے۔
مثال 6. جفت دوسرا کوائفینٹ
حل کریں \(5x^2 - 22x + 8 = 0\)۔
قدم 1۔ \(b = -22\) — جفت ہے، اس لیے \(k = -11\)، اور \(a = 5\)، \(c = 8\)۔
قدم 2۔ \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\)، \(\sqrt{D_1} = 9\)۔
قدم 3۔ \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\)، \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)۔
قدم 4۔ جانچ۔ \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\)؛ \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\)۔
جواب: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = 0{,}4\)۔ عام فرق کنندہ \(D = 324\) دیتا — نتیجہ وہی ہے، لیکن حساب زیادہ لمبا ہوتا۔
مثال 7. پہلے معیاری شکل میں لائیں
حل کریں \((x - 3)(x + 5) = 9\)۔
قدم 1۔ قوسیں کھولیں: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\)، یعنی \(x^2 + 2x - 15 = 9\)۔
قدم 2۔ نو کو بائیں طرف منتقل کریں: \(x^2 + 2x - 24 = 0\)۔ اب کوائفینٹ لکھے جا سکتے ہیں: \(a = 1\)، \(b = 2\)، \(c = -24\)۔
قدم 3۔ \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)، \(\sqrt{D} = 10\)، \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\)، \(x_2 = -6\)۔
قدم 4۔ اصل مساوات میں جانچ۔ \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\)؛ \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\)۔
جواب: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = -6\)۔ یہاں عام غلطی ہر قوس کو 9 کے برابر کرنا ہے: "حاصل ضرب صفر کے برابر" کا قاعدہ صرف صفر کے لیے کام کرتا ہے۔
مثال 8. سہ رخی کو عوامل میں تجزیہ کرنا
تجزیہ کریں \(2x^2 - 5x - 3\) کو عوامل میں۔
قدم 1۔ سہ رخی کو صفر کے برابر رکھیں اور جڑیں معلوم کریں: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)، \(\sqrt{D} = 7\)، \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\)، \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\)۔
قدم 2۔ فارمولا \(a(x - x_1)(x - x_2)\) میں ڈالیں: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\)۔
قدم 3۔ دو کو دوسری قوس میں ڈالنا آسان ہے: \((x - 3)(2x + 1)\)۔
قدم 4۔ قوسیں کھول کر جانچ۔ \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\)۔
جواب: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\)۔
مثال 9. دو مربعی مساوات
حل کریں \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)۔
قدم 1۔ تبادلہ \(t = x^2\)، جہاں \(t \ge 0\)۔ مساوات \(t^2 - 13t + 36 = 0\) بن جاتی ہے۔
قدم 2۔ \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\)، \(\sqrt{D} = 5\)، \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\)، \(t_2 = 4\)۔
قدم 3۔ دونوں اقدار غیر منفی ہیں، اس لیے \(x\) پر واپس جاتے ہیں: \(x^2 = 9\) سے \(x = \pm 3\) حاصل ہوتا ہے، \(x^2 = 4\) سے — \(x = \pm 2\)۔
قدم 4۔ جانچ۔ \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\)؛ \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\)۔ جفت درجات کی وجہ سے منفی اقدار بھی وہی نتائج دیتی ہیں۔
جواب: \(x = \pm 2\) اور \(x = \pm 3\) — چار جڑیں۔
مربعی مساواتیں حل کرنے میں عام غلطیاں
-
مساوات کو معیاری شکل میں لائے بغیر فرق کنندہ کا حساب لگانا: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ کے لیے فوراً $a = 2$، $b = 3$، $c = 0$ لے لیتے ہیں۔
پہلے سب کچھ بائیں طرف منتقل کریں اور مشابہ اصطلاحات کو یکجا کریں: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\)، یعنی \(x^2 + 3x - 5 = 0\)۔ صرف اس سے \(a = 1\)، \(b = 3\)، \(c = -5\) حاصل ہوتا ہے۔ جڑوں کا فارمولا صرف معیاری شکل کے ساتھ کام کرتا ہے۔
-
b کو مربع کرتے وقت نشان ضائع کرنا: $x^2 - 9x + 14 = 0$ کے لیے $D = -81 - 56$ لکھتے ہیں۔
کسی بھی عدد کا مربع غیر منفی ہوتا ہے: \((-9)^2 = 81\)، نہ کہ \(-81\)۔ درست ہے \(D = 81 - 56 = 25\)، جڑیں \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\)، یعنی 7 اور 2۔ جانچ: \(49 - 63 + 14 = 0\) اور \(4 - 18 + 14 = 0\)۔
-
شمار کنندہ میں $b$ کی بجائے $-b$ چھوڑ دینا: $x^2 + 5x - 6 = 0$ کے لیے $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ شمار کرتے ہیں۔
فارمولا میں \(-b\) ہے، اس لیے جب \(b = 5\) ہو تو شمار کنندہ میں \(-5\) ہوگا: \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\)، جس سے \(x_1 = 1\)، \(x_2 = -6\) حاصل ہوتا ہے۔ متبادل سے تصدیق ہوتی ہے: \(1 + 5 - 6 = 0\) اور \(36 - 30 - 6 = 0\)۔
-
جب $D = 0$ ہو تو "کوئی جڑ نہیں" لکھ دینا: $x^2 + 14x + 49 = 0$ کا فرق کنندہ صفر ہے، اور حل وہیں روک دیا جاتا ہے۔
کوئی جڑ صرف \(D < 0\) ہونے پر نہیں ہوتی۔ جب \(D = 0\) ہو تو ایک جڑ ہوتی ہے: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\)۔ جانچ: \(49 - 98 + 49 = 0\)۔
-
مساوات $4x^2 - 9x = 0$ کو $x$ سے مختصر کر کے واحد جڑ $x = 2{,}25$ حاصل کرنا۔
نامعلوم والے اظہار سے تقسیم نہیں کرنا چاہیے: \(x\) صفر ہو سکتا ہے، اور جڑ \(x = 0\) ضائع ہو جاتی ہے۔ درست طریقہ یہ ہے کہ عامل کو باہر نکالا جائے: \(x(4x - 9) = 0\)، جس سے \(x_1 = 0\) اور \(x_2 = 2{,}25\) حاصل ہوتا ہے۔ جانچ: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\)۔
-
$x^2 = 16$ مساوات میں صرف $x = 4$ لکھنا۔
مربع 16 ہے عدد \(-4\) کا بھی۔ دونوں جڑیں لکھنی چاہئیں: \(x = \pm 4\)۔ معیاری شکل \(x^2 - 16 = 0\)، یعنی \((x - 4)(x + 4) = 0\) سے حل کرنا زیادہ قابل اعتماد ہے — تب دونوں عوامل فوراً نظر آتے ہیں۔
-
پیرامیٹر والی مساوات میں شرط $a \neq 0$ کی جانچ نہ کرنا: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ میں فوراً فرق کنندہ کا حساب لگانا۔
جب \(m = 2\) ہو تو سب سے بڑا کوائفینٹ صفر ہو جاتا ہے، اور مساوات لکیری \(3x - 1 = 0\) بن جاتی ہے جس کی واحد جڑ \(x = \dfrac{1}{3}\) ہے۔ \(m = 2\) والی صورت کو الگ سے حل کیا جاتا ہے، اور جڑوں کا فارمولا صرف \(m \neq 2\) ہونے پر استعمال ہوتا ہے۔
سوالات اور جوابات
مربعی مساوات کیا ہے؟
یہ \(ax^2 + bx + c = 0\) کی شکل کی مساوات ہے، جہاں \(a\)، \(b\)، \(c\) اعداد ہیں اور \(a \neq 0\)۔ نامعلوم اس میں دوسری طاقت تک شامل ہوتا ہے، اس لیے دو، ایک یا کوئی جڑ نہیں ہو سکتی۔
مربعی مساوات کی معیاری شکل کیسی ہوتی ہے؟
معیاری (عام) شکل \(ax^2 + bx + c = 0\) ہے: تمام اصطلاحات بائیں جانب درجات کے لحاظ سے اترتے ہوئے جمع کی جاتی ہیں، دائیں جانب صفر ہوتا ہے۔ فرق کنندہ کا حساب لگانے سے پہلے کسی بھی مربعی مساوات کو اس شکل میں لایا جاتا ہے۔
فرق کنندہ کیسے معلوم کریں؟
فارمولا \(D = b^2 - 4ac\) سے، کوائفینٹ کو ان کے نشانات کے ساتھ ڈال کر۔ مثال کے طور پر، \(x^2 + 3x - 10 = 0\) کے لیے ہمیں \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\) ملتا ہے، اور جڑیں \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\)، یعنی 2 اور \(-5\) کے برابر ہیں۔
مربعی مساوات کی جڑوں کا فارمولا کیا ہے؟
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)، یا مختصراً \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)۔ یہ \(D \ge 0\) ہونے پر استعمال ہوتا ہے؛ تقسیم کنندہ میں \(2a\) ہے، نہ کہ 2۔
مربعی مساوات کی کتنی جڑیں ہو سکتی ہیں؟
زیادہ سے زیادہ دو۔ جب \(D > 0\) ہو تو دو جڑیں، جب \(D = 0\) ہو — ایک (دوہری)، جب \(D < 0\) ہو تو کوئی حقیقی جڑ نہیں۔
نامکمل مربعی مساوات کیا ہے؟
یہ وہ مساوات ہے جس میں \(b = 0\)، \(c = 0\) یا دونوں بیک وقت ہوتے ہیں: \(ax^2 + c = 0\)، \(ax^2 + bx = 0\)، \(ax^2 = 0\)۔ یہ سب فرق کنندہ کے بغیر حل ہوتی ہیں — اصطلاح کو منتقل کر کے یا \(x\) کو باہر نکال کر۔
مربعی مساواتیں فرق کنندہ کے بغیر کیسے حل کریں؟
تین طریقے ہیں: مربوط مساوات کے لیے ویٹا کے نظریہ سے جڑوں کا اندازہ لگانا، عوامل میں تجزیہ کرنا، اور مکمل مربع نکالنا۔ اندازہ لگانا سب سے تیز کام کرتا ہے جب جڑیں چھوٹی صحیح اعداد ہوں۔
اگر فرق کنندہ منفی ہو تو کیا کریں؟
لکھیں کہ کوئی حقیقی جڑ نہیں ہے، اور حل ختم کریں۔ منفی فرق کنندہ ایک عام جواب ہے: متعلقہ پیرا بولا کا گراف \(x\)-axis کو نہیں کاٹتا۔ ایسی صورت میں جڑیں صرف مختلط اعداد میں موجود ہوتی ہیں، جن کا مطالعہ بعد میں کیا جاتا ہے۔
معلوم کی گئی جڑوں کو کیسے جانچیں؟
ہر جڑ کو اصل مساوات میں ڈالیں — ایک درست مساوات بننی چاہیے۔ مربوط مساوات کے لیے ویٹا کے نظریہ سے ایک تیز جانچ بھی ہے: جڑوں کا مجموعہ \(-p\) اور حاصل ضرب \(q\) کے برابر ہونا چاہیے۔
کیا مربعی اور مربعی مساوات ایک ہی چیز ہیں؟
ہاں، یہ ایک ہی شے \(ax^2 + bx + c = 0\) کے دو نام ہیں۔ اسے مربعی فنکشن \(y = ax^2 + bx + c\) سے گڑبڑ نہ کریں: مساوات کی جڑیں دراصل اس فنکشن کے گراف کے \(x\)-axis کو کاٹنے والے نقاط کے \(x\)-coordinate ہوتے ہیں۔
مربعی مساواتیں کس کلاس میں پڑھائی جاتی ہیں؟
کلاس 8 میں الجبرا میں: پہلے نامکمل مساواتیں، پھر فرق کنندہ، جڑوں کا فارمولا اور ویٹا کا نظریہ۔ اس کے بعد یہ موضوع مربعی فنکشن، عدم مساوات، OGE اور ЕГЭ کے مسائل میں آتا ہے۔
