حسابی تسلسل: n-واں رکن اور مجموعے کے فارمولے

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

ریاضی کا ماسکٹ ستونوں کی قطار کے ساتھ، جہاں ہر اگلا ستون پچھلے سے ایک قدم اونچا ہے

حسابی تسلسل ایک ایسی ترتیب ہے جس میں ہر اگلا رکن پچھلے رکن سے ایک ہی عدد $d$ (تسلسل کا فرق) کے اضافے سے حاصل ہوتا ہے۔ اس کا کوئی بھی رکن فارمولا $a_n = a_1 + (n-1)d$ سے معلوم کیا جاتا ہے، اور پہلے $n$ ارکان کا مجموعہ فارمولا $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ سے حاصل ہوتا ہے۔ اس صفحے پر تعریف، فرق، مجموعے کے دونوں فارمولے، خصوصیت، تسلسل میں عدد کی موجودگی کی جانچ، ہندسی تسلسل سے فرق، OGE کے عام سوالات اور خود کو جانچنے کے لیے ایک انٹرایکٹو ٹرینر موجود ہے۔

حسابی تسلسل کیا ہے

حسابی تسلسل ایک عددی ترتیب ہے جس میں ہر اگلا رکن پچھلے رکن میں ایک ہی عدد جمع کرنے سے حاصل ہوتا ہے۔ اس عدد کو تسلسل کا فرق کہتے ہیں اور اسے حرف $d$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

ایک فارمولے کے ذریعے تعریف: ترتیب $a_1, a_2, a_3, \dots$ حسابی تسلسل کہلاتی ہے اگر کسی بھی نمبر $n$ کے لیے یہ مساوات درست ہو

\[a_{n+1} = a_n + d.\]

آئیں ترتیب 3, 7, 11, 15, 19, … کو دیکھیں۔ یہاں پہلا رکن $a_1 = 3$ ہے، اور فرق $d = 4$ ہے: ہر اگلا عدد پچھلے سے بالکل 4 زیادہ ہے۔ اس لیے اگلا رکن 23 ہوگا، اور تین سے پہلے (اگر پیچھے کی طرف جائیں) منفی علامت کے ساتھ ایک ہوتا۔

پورا تسلسل صرف دو اعداد سے طے ہوتا ہے — پہلا رکن $a_1$ اور فرق $d$۔ اس جوڑی کو جان کر، آپ کوئی بھی رکن بتا سکتے ہیں، کتنے بھی پہلے ارکان کا مجموعہ گن سکتے ہیں اور یہ چیک کر سکتے ہیں کہ آیا کوئی دیا گیا عدد ترتیب میں موجود ہے یا نہیں۔ تسلسل کو $(a_n)$ علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور اس کے ارکان کو $a_1, a_2, a_3$ وغیرہ سے، جہاں نچلا انڈیکس ہمیشہ نمبر کو ظاہر کرتا ہے، نہ کہ قدر کو۔

d = 4 > 0 — تسلسل بڑھ رہا ہے

3+47+411+415+419+4?

d = −3 < 0 — تسلسل کم ہو رہا ہے

20−317−314−311−38−3?

قدم ہمیشہ ایک جیسا ہوتا ہے۔ اگر کسی بھی رکن سے پچھلا رکن تفریق کریں تو ایک ہی عدد حاصل ہوگا — یہی فرق d ہے۔ پہلی قطار میں اگلا رکن 23 ہے، دوسری میں 5۔

حسابی تسلسل کا فرق: d کیسے معلوم کریں

فرق ہمیشہ اگلا رکن مائنس پچھلا رکن ہوتا ہے:

\[d = a_n - a_{n-1}.\]

تفریق کی ترتیب اہم ہے: اگر الٹا تفریق کریں تو فرق کی علامت الٹ جائے گی۔ ترتیب 20, 17, 14, 11, 8 کے لیے فرق $17 - 20 = -3$ ہے، نہ کہ $+3$۔

$d$ کی علامت تسلسل کے رویے کو مکمل طور پر طے کرتی ہے:

$d > 0$ — تسلسل بڑھتا ہوا ہے، ارکان بڑھ رہے ہیں؛
$d < 0$ — تسلسل کم ہوتا ہوا ہے، ارکان کم ہو رہے ہیں؛
$d = 0$ — تمام ارکان ایک جیسے ہیں، مثال کے طور پر 6, 6, 6, 6, … یہ بھی ایک حسابی تسلسل ہے، بس مستقل ہے۔

اگر مختلف نمبروں والے دو ارکان معلوم ہوں تو فرق فارمولے سے معلوم کیا جاتا ہے

\[d = \frac{a_k - a_m}{k - m}.\]

مثال۔ فرض کریں $a_4 = 30$ اور $a_{10} = 6$۔ تب $d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4$، اور پہلا رکن $a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42$ ہے۔ تسلسل کی شروعات چیک کریں: 42, 38, 34, 30 — چوتھا رکن واقعی 30 ہے۔

فرق کا مکمل عدد ہونا ضروری نہیں: ترتیب 1; 1,5; 2; 2,5 کے لیے فرق 0,5 ہے، اور یہ ایک مکمل حسابی تسلسل ہے۔

حسابی تسلسل کے n-ویں رکن کا فارمولا

اس موضوع کا مرکزی فارمولا آپ کو کوئی بھی رکن معلوم کرنے کی اجازت دیتا ہے، بغیر تمام پچھلے ارکان لکھے:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d.\]

$n - 1$ کہاں سے آیا؟ پہلے رکن سے $n$-ویں رکن تک پہنچنے کے لیے، فرق کو $n$ بار نہیں، بلکہ ایک بار کم جمع کیا جاتا ہے: دوسرے رکن تک — ایک قدم، تیسرے تک — دو، بیسویں تک — انیس۔

مثال۔ تسلسل 3, 7, 11, 15, 19, … کے لیے ہمارے پاس $a_1 = 3$ اور $d = 4$ ہے، یعنی

\[a_n = 3 + (n - 1)\cdot 4 = 4n - 1.\]

ایسا مختصر اندراج بہت آسان ہے: فوراً نظر آتا ہے کہ $a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79$، اور $a_{100} = 399$۔ ساتھ ہی یہ فرق بھی بتاتا ہے: کسی بھی حسابی تسلسل میں $n$-ویں رکن کا فارمولا لکیری ہوتا ہے، $a_n = dn + c$ کی شکل میں، اور $n$ کے سامنے والا عددی سر ہی فرق ہوتا ہے۔

کبھی کبھی پہلا رکن نامعلوم ہوتا ہے، لیکن کوئی دوسرا دیا گیا ہوتا ہے۔ تب وہی آئیڈیا عام شکل میں کام کرتا ہے: $a_n = a_k + (n - k)d$۔

پہلے رکن کے ذریعے

a_n = a₁ + (n − 1)d

پہلے رکن سے n-ویں رکن تک ہم بالکل n − 1 قدم d کے چلتے ہیں۔ بریکٹ میں ایک — فارمولے کی اہم جگہ۔

کسی بھی معلوم رکن کے ذریعے

a_n = a_k + (n − k)d

تب آسان ہے جب پہلا رکن نامعلوم ہو: مثال کے طور پر، a₇ = a₃ + 4d۔

فوری خود جانچ: n = 1 درج کریں۔ a₁ + 0 · d = a₁ آنا چاہیے۔ اگر a₁ + d آیا — تو فارمولے میں ایک غائب ہے۔

حسابی تسلسل کی خصوصیت

تسلسل کا کوئی بھی رکن، پہلے کے علاوہ، اپنے پڑوسیوں کے حسابی اوسط کے برابر ہوتا ہے:

\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \qquad n \ge 2.\]

اسی لیے تسلسل کو حسابی کہا جاتا ہے۔ یہ مساوات الٹی طرف بھی کام کرتی ہے: اگر ترتیب میں ہر درمیانی رکن پڑوسیوں کے نصف مجموعے کے برابر ہو، تو ترتیب ایک حسابی تسلسل ہے۔ اس بیان کو حسابی تسلسل کی نشانی کہتے ہیں، اور سوالات میں اسے یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ تین اعداد ایک تسلسل بناتے ہیں۔

مثال۔ اعداد 7, $x$, 23 تسلسل کے تین مسلسل ارکان ہیں۔ تب $x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15$۔ جانچ: 7, 15, 23 — فرق 8 اور 8، سب ٹھیک ہے۔

اسی خصوصیت کو لکھنے کا آسان طریقہ: $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$، یعنی دوگنا درمیانی رکن کناروں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔ اس شکل میں خصوصیت کا استعمال آسان ہے جب ارکان حرفی اظہار میں دیے گئے ہوں۔

حسابی تسلسل کے پہلے n ارکان کا مجموعہ

مجموعہ $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ دو فارمولوں میں سے ایک سے گنا جاتا ہے:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n \qquad \text{یا} \qquad S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n.\]

پہلے فارمولے کا آئیڈیا وہی ہے جو، روایت کے مطابق، طالب علم گاس نے 1 سے 100 تک کے اعداد کو جمع کرتے ہوئے پایا تھا۔ اگر پہلے رکن کو آخری کے ساتھ، دوسرے کو دوسرے آخری کے ساتھ جمع کریں، تو تمام جوڑے ایک ہی مجموعہ دیں گے۔ یہاں سے $1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050$۔

دوسرا فارمولا پہلے سے $a_n = a_1 + (n-1)d$ درج کرنے سے حاصل ہوتا ہے — اس کی ضرورت تب پڑتی ہے جب آخری رکن نہ دیا گیا ہو اور اسے الگ سے گننا نہ چاہیں۔

مثال۔ تسلسل 3, 7, 11, 15, 19, … کے پہلے بیس ارکان کا مجموعہ معلوم کریں۔

پہلے فارمولے کے مطابق: $a_{20} = 79$، اس لیے $S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$۔

دوسرے کے مطابق: $S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$۔

جوابات مل گئے — یہی حساب کتاب کی بہترین جانچ ہے۔

آخری رکن معلوم ہے

S_n =a₁ + a_n2· n

کنارے کے ارکان کے مجموعے کا نصف، ارکان کی تعداد سے ضرب۔ تب لیں جب a_n پہلے سے گنا ہوا ہو یا شرط میں دیا گیا ہو۔

پہلا رکن اور فرق معلوم ہیں

S_n =2a₁ + (n − 1)d2· n

پہلے سے کچھ گننے کی ضرورت نہیں۔ تب لیں جب a_n نامعلوم ہو۔

یہ ایک ہی فارمولا ہے۔ دوسرا پہلے سے a_n = a₁ + (n − 1)d درج کرنے سے حاصل ہوتا ہے، اس لیے جوابات کا ملنا ضروری ہے — خود کو جانچنے کا آسان طریقہ۔

کیسے جانیں کہ آیا کوئی عدد حسابی تسلسل میں شامل ہے

سوال «کیا عدد تسلسل کا رکن ہے» مساوات سے حل ہوتا ہے۔ عدد تسلسل میں تبھی شامل ہوتا ہے جب اس کا نمبر $n$ قدرتی ہو: 1, 2, 3 وغیرہ۔ کسر یا غیر مثبت $n$ کا مطلب ہے کہ ایسا کوئی رکن نہیں ہے۔

مثال 1۔ کیا عدد 99 تسلسل 3, 7, 11, 15, 19, … میں شامل ہے؟ $n$-ویں رکن کا فارمولا یہاں $a_n = 4n - 1$ ہے، اس لیے ہم $4n - 1 = 99$ حل کرتے ہیں، جہاں سے $4n = 100$ اور $n = 25$۔ نمبر قدرتی ہے — مطلب 99 تسلسل میں ہے، یہ اس کا پچیسواں رکن ہے۔

مثال 2۔ اور عدد 2026؟ $4n - 1 = 2026$ سے ہمیں $4n = 2027$ اور $n = 506{,}75$ ملتا ہے۔ نمبر کسر ہے، اس لیے 2026 اس تسلسل کا رکن نہیں ہے۔

زبانی اندازے کے لیے مفید اشارہ: $a_n = 4n - 1$ فارمولے والے تسلسل کے تمام ارکان 4 سے تقسیم ہونے پر 3 باقی دیتے ہیں۔ عدد 2026 باقی 2 دیتا ہے، اس لیے یہ تسلسل سے «باہر» ہے۔

n-ویں رکن کا فارمولا بنائیں

a_n = a₁ + (n − 1)d اور بریکٹ کھولیں

اسے چیک کیے جانے والے عدد کے برابر رکھیں

نامعلوم n کے ساتھ ایک عام لکیری مساوات حاصل ہوگی

n کے لیے مساوات حل کریں

n — نمبر ہے، رکن کی قدر نہیں

ملے ہوئے n کو دیکھیں

قدرتی (1, 2, 3, …) — عدد شامل ہے اور یہ اس کا نمبر ہے؛ کسر یا n ≤ 0 — شامل نہیں ہے

حسابی تسلسل پر OGE کے عام سوالات

ریاضی کے OGE میں تسلسل ہر سال آتے ہیں، اور تقریباً تمام سوالات چار موضوعات پر مبنی ہوتے ہیں۔

نمبر کے ذریعے رکن تلاش کریں۔ $a_1$ اور $d$ دیے گئے ہیں (یا کچھ ابتدائی ارکان) — $a_n = a_1 + (n-1)d$ میں درج کریں۔

قدر کے ذریعے نمبر تلاش کریں۔ عدد دیا گیا ہے — $n$-ویں رکن کے فارمولے کو اس کے برابر رکھیں اور $n$ کے لیے مساوات حل کریں۔

مجموعہ تلاش کریں۔ $S_n$ کو دو فارمولوں میں سے کسی ایک سے گنیں؛ اگر $a_n$ کم ہے — تو پہلے اسے معلوم کریں۔

ارکان کی تعداد تلاش کریں۔ $n$-ویں رکن کے فارمولے سے ایک مفید نتیجہ نکلتا ہے: $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$۔

الگ سے تحریری سوال ہے، جہاں تسلسل کہانی میں چھپا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر: پہلے دن ایک ورکر نے 12 پرزے بنائے، اور ہر اگلے دن — پچھلے دن سے 3 پرزے زیادہ؛ وہ 15 دنوں میں کتنے پرزے بنائے گا؟ یہاں $a_1 = 12$, $d = 3$, $n = 15$۔ آخری رکن گنتے ہیں: $a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54$۔ تب $S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495$ پرزے۔

ایسے سوالات کے لیے اہم مشورہ: پہلے الگ لائن میں لکھیں کہ کیا دیا گیا ہے ($a_1$, $d$, $n$, $a_n$, $S_n$) اور کیا معلوم کرنا ہے۔ امتحان میں آدھی غلطیاں فارمولوں کی وجہ سے نہیں، بلکہ اس وجہ سے ہوتی ہیں کہ نمبر کو رکن کی قدر سمجھ لیا جاتا ہے۔

حسابی اور ہندسی تسلسل: فرق کیا ہے

دونوں تسلسل — وہ اصول ہیں جن کے ذریعے ایک رکن سے اگلا حاصل کیا جاتا ہے۔ فرق عمل میں ہے: حسابی میں رکن میں ایک ہی عدد $d$ جمع کرتے ہیں، ہندسی میں — ایک ہی عدد $q$ سے ضرب دیتے ہیں، جسے تسلسل کا تناسب کہتے ہیں۔

یہیں سے مختلف رویہ پیدا ہوتا ہے۔ حسابی تسلسل یکساں طور پر بڑھتا ہے، «سیڑھیوں کی طرح»: 3, 7, 11, 15 — ہر قدم 4 کا اضافہ کرتا ہے۔ ہندسی تسلسل طوفان کی طرح بڑھتا ہے: 3, 6, 12, 24 — ہر قدم عدد کو دوگنا کرتا ہے، اور دس قدموں کے بعد رکن ڈیڑھ ہزار سے زیادہ ہوگا۔

ترتیب کی قسم چیک کرنا آسان ہے: پڑوسی ارکان کے فرق اور ان کے تناسب گنیں۔ ایک جیسے فرق — حسابی تسلسل، ایک جیسے تناسب — ہندسی۔ اگر کچھ بھی نہ ملا، تو آپ کے سامنے صرف ایک ترتیب ہے: مثال کے طور پر، 1, 4, 9, 16 — یہ قدرتی اعداد کے مربع ہیں، اور یہ تسلسل نہیں ہے (فرق 3, 5, 7 مختلف ہیں، تناسب بھی)۔

اسکول کے نصاب میں دونوں موضوعات 9ویں جماعت میں ایک ساتھ آتے ہیں، اس لیے فارمولے آسانی سے مکس ہو سکتے ہیں۔ ذہن میں رکھیں: حسابی میں فرق $d$ جمع ہوتا ہے، ہندسی میں تناسب $q$ ضرب ہوتا ہے۔ باقی سب — نتائج ہیں۔

حسابی

قدمجمع d

n-واں رکنa_n = a₁ + (n − 1)d

مجموعہS_n = a₁ + a_n2 · n

مثال3, 7, 11, 15 (+4)

ہندسی

قدمضرب q

n-واں رکنb_n = b₁ · qⁿ⁻¹

مجموعہ (q ≠ 1)S_n = b₁(qⁿ − 1)q − 1

مثال3, 6, 12, 24 (×2)

10 سیکنڈ میں فرق کیسے جانیں: پڑوسی ارکان کا فرق گنیں۔ ایک جیسے — حسابی تسلسل۔ اگر فرق نہیں، بلکہ تناسب ایک جیسے ہوں (ہر اگلا پچھلے سے تقسیم ہو کر ایک ہی نتیجہ دے) — تو ہندسی۔

حسابی تسلسل کے سوالات حل کرنے کی مثالیں

مثال 1۔ دو ارکان سے پہلا رکن اور فرق معلوم کریں

دیا گیا ہے۔ $a_3 = 14$, $a_7 = 30$۔ $a_1$, $d$ اور $a_{20}$ معلوم کریں۔

مرحلہ 1۔ تیسرے رکن سے ساتویں تک بالکل $7 - 3 = 4$ قدم ہیں، ہر قدم پر $d$ جمع ہوتا ہے۔ مطلب $a_7 = a_3 + 4d$، یعنی $30 = 14 + 4d$، جہاں سے $4d = 16$ اور $d = 4$۔

مرحلہ 2۔ پہلے رکن کی طرف واپس جاتے ہیں: $a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6$۔

مرحلہ 3۔ $n$-ویں رکن کا فارمولا لکھتے ہیں: $a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2$۔

مرحلہ 4۔ مطلوبہ رکن گنتے ہیں: $a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82$۔

جانچ۔ تسلسل کی شروعات لکھتے ہیں: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30۔ تیسرا رکن 14، ساتواں 30 — مل گیا۔

جواب: $a_1 = 6$, $d = 4$, $a_{20} = 82$۔

مثال 2۔ پہلے 30 ارکان کا مجموعہ (دونوں فارمولے)

دیا گیا ہے۔ تسلسل $-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots$۔ $S_{30}$ معلوم کریں۔

مرحلہ 1۔ پیرامیٹرز طے کرتے ہیں: $a_1 = -5$, $d = -2 - (-5) = 3$۔

مرحلہ 2۔ تیسواں رکن معلوم کرتے ہیں: $a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82$۔

مرحلہ 3۔ پہلے فارمولے سے گنتے ہیں: $S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155$۔

مرحلہ 4۔ دوسرے فارمولے سے جانچ۔ پہلے شمار کنندہ: $2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77$۔

تیسرے مرحلے کی طرح: $S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155$۔

دونوں راستوں نے 1155 دیا — مطلب حساب درست ہے۔

جواب: $S_{30} = 1155$۔

مثال 3۔ 7 سے تقسیم ہونے والے تمام دو ہندسی اعداد کا مجموعہ

سوال۔ 7 سے تقسیم ہونے والے تمام دو ہندسی اعداد کا مجموعہ معلوم کریں۔

مرحلہ 1۔ ایسے اعداد خود ایک حسابی تسلسل بناتے ہیں جس کا فرق 7 ہے۔ سات سے تقسیم ہونے والا سب سے چھوٹا دو ہندسی عدد 14 ہے، سب سے بڑا — 98 (اگلا، 105، تین ہندسی ہے)۔ ہمیں $a_1 = 14$, $d = 7$, $a_n = 98$ ملتا ہے۔

مرحلہ 2۔ ارکان کی تعداد گنتے ہیں: $n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13$۔

مرحلہ 3۔ مجموعہ گنتے ہیں: $S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$۔

مرحلہ 4۔ دوسرے فارمولے سے جانچ۔ $S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$۔

جواب: 728۔

مثال 4۔ چیک کریں کہ کیا عدد تسلسل میں شامل ہے

سوال۔ کیا عدد 145 تسلسل $7,\ 12,\ 17,\ \dots$ کا رکن ہے؟ اور عدد 142؟

مرحلہ 1۔ تسلسل کے پیرامیٹرز: $a_1 = 7$, $d = 5$, مطلب $a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2$۔

مرحلہ 2۔ 145 کو چیک کرتے ہیں: مساوات $5n + 2 = 145$ سے $5n = 143$ اور $n = 28{,}6$ ملتا ہے۔ نمبر کسر ہے، اس لیے 145 تسلسل کا رکن نہیں ہے۔

مرحلہ 3۔ 142 کو چیک کرتے ہیں: $5n + 2 = 142$، جہاں سے $5n = 140$ اور $n = 28$۔ نمبر قدرتی ہے — عدد شامل ہے۔

مرحلہ 4۔ درج کر کے جانچ۔ $a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142$۔ درست۔

جواب: 145 تسلسل میں شامل نہیں؛ 142 شامل ہے اور اس کا 28واں رکن ہے۔

مثال 5۔ حرفی ارکان کے ساتھ خصوصیت

سوال۔ $x$ کی کس قدر کے لیے اعداد $x - 3$, $2x + 1$, $4x - 1$ حسابی تسلسل کے تین مسلسل ارکان ہیں؟

مرحلہ 1۔ خصوصیت کے مطابق دوگنا درمیانی رکن کناروں کے مجموعے کے برابر ہے:

\[2(2x + 1) = (x - 3) + (4x - 1).\]

مرحلہ 2۔ بریکٹ کھولتے ہیں: $4x + 2 = 5x - 4$۔

مرحلہ 3۔ حل کرتے ہیں: $2 + 4 = 5x - 4x$، یعنی $x = 6$۔

مرحلہ 4۔ جانچ۔ $x = 6$ درج کرتے ہیں: پہلا رکن $6 - 3 = 3$, دوسرا $2\cdot 6 + 1 = 13$, تیسرا $4\cdot 6 - 1 = 23$۔ فرق: $13 - 3 = 10$ اور $23 - 13 = 10$ — ایک جیسے ہیں۔

جواب: $x = 6$, تسلسل 3, 13, 23 فرق 10 کے ساتھ۔

مثال 6۔ تسلسل میں کتنے منفی ارکان ہیں

سوال۔ تسلسل $-21,\ -18,\ -15,\ \dots$ میں کتنے منفی ارکان ہیں؟

مرحلہ 1۔ پیرامیٹرز: $a_1 = -21$, $d = 3$۔ $n$-ویں رکن کا فارمولا: $a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24$۔

مرحلہ 2۔ شرط «رکن منفی ہے» لکھتے ہیں: $3n - 24 < 0$، جہاں سے $3n < 24$ اور $n < 8$۔

مرحلہ 3۔ نمبر قدرتی ہیں، اس لیے $n = 1, 2, \dots, 7$ موزوں ہیں — کل سات ارکان۔

مرحلہ 4۔ حد کی جانچ۔ $a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3$ — منفی۔ $a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0$ — صفر منفی عدد نہیں ہے، اس لیے آٹھواں رکن نہیں گنتے۔ $a_9 = 3$ — مثبت۔

جواب: سات منفی ارکان۔

حسابی تسلسل کے سوالات میں عام غلطیاں

$n$-ویں رکن کے فارمولے میں $a_n = a_1 + (n-1)d$ کی جگہ $a_n = a_1 + nd$ لکھنا۔

پہلے رکن سے $n$-ویں تک نمبر سے ایک قدم کم چلتے ہیں۔ تسلسل $5,\ 9,\ 13,\ \dots$ کے لیے دسواں رکن $a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41$ ہے، نہ کہ 45۔ فارمولے کی فوری جانچ: $n = 1$ درج کریں — بالکل $a_1$ آنا چاہیے۔
فرق الٹا گننا: $d = a_1 - a_2$، اور علامت الٹ جاتی ہے۔

فرق — اگلا رکن مائنس پچھلا رکن ہے: $d = a_2 - a_1$۔ تسلسل $40,\ 34,\ 28,\ \dots$ کے لیے $d = 34 - 40 = -6$ درست ہے۔ یہاں مائنس کی علامت غلطی نہیں، بلکہ کم ہوتے ہوئے تسلسل کی نشانی ہے۔
مجموعے کے فارمولے میں 2 سے تقسیم کرنا یا $n$ سے ضرب دینا بھول جانا: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$ لکھنا۔

«پہلے اور آخری» کے جوڑے جمع ہوتے ہیں، ان کی تعداد $\dfrac{n}{2}$ ہے، اس لیے 2 سے تقسیم کرنا ضروری ہے۔ تسلسل $2,\ 9,\ 16,\ \dots$ کے لیے $a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65$ اور $S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335$ ہے، نہ کہ 670۔
عدد کی موجودگی چیک کرتے وقت $n = 0$ یا منفی $n$ ملنا اور پھر بھی «شامل ہے» جواب دینا۔

رکن کا نمبر — قدرتی عدد ہے، گنتی ایک سے شروع ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، تسلسل $10,\ 14,\ 18,\ \dots$ کے لیے مساوات $10 + 4(n-1) = 6$ سے $n = 0$ ملتا ہے، مطلب 6 تسلسل میں شامل نہیں ہے: یہ عدد پہلے رکن سے پہلے ہوتا۔
یہ مکس کرنا کہ کیا معلوم ہوا ہے: رکن کی قدر وہاں درج کرنا جہاں اس کا نمبر چاہیے، اور اس کے برعکس۔

$a_n$ — قدر ہے، $n$ — ترتیب نمبر ہے۔ اگر سوال میں پوچھا جائے «کون سا رکن 142 ہے»، جواب 28 ہوگا، نہ کہ 142۔ مفید عادت: حل سے پہلے لائن لکھنا «دیا گیا: $a_1 = \dots$, $d = \dots$, معلوم کریں: $n$»۔
یہ سوچنا کہ تسلسل کا بڑھنا اور مکمل اعداد پر مشتمل ہونا ضروری ہے۔

فرق منفی ($20,\ 17,\ 14,\ \dots$)، کسر (1; 1,5; 2; 2,5) اور صفر (8, 8, 8, …) بھی ہو سکتا ہے۔ تینوں صورتیں — جائز حسابی تسلسل ہیں، اور ان کے لیے تمام فارمولے بغیر تبدیلی کے کام کرتے ہیں۔

سوالات اور جوابات

حسابی تسلسل سادہ الفاظ میں کیا ہے؟

یہ اعداد کی ترتیب ہے، جس میں ہر اگلا عدد پچھلے عدد میں ایک ہی عدد $d$ — تسلسل کا فرق — جمع کرنے سے حاصل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، 3, 7, 11, 15, 19, … — پہلا رکن 3 اور فرق 4 والا تسلسل ہے۔

حسابی تسلسل کے n-ویں رکن کا فارمولا کیا ہے؟

$a_n = a_1 + (n-1)d$، جہاں $a_1$ — پہلا رکن، $d$ — فرق، $n$ — نمبر۔ اگر پہلا نہیں، بلکہ کوئی اور رکن معلوم ہو، تو عام شکل $a_n = a_k + (n-k)d$ کام کرتی ہے۔

حسابی تسلسل کا فرق کیسے معلوم کریں؟

کسی بھی رکن سے پچھلا رکن تفریق کریں: $d = a_n - a_{n-1}$۔ اگر مختلف نمبروں والے دو ارکان دیے گئے ہوں، تو $d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}$ استعمال کریں۔ مثال کے طور پر، $a_5 = 23$ اور $a_9 = 43$ پر ہمیں $d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5$ ملتا ہے، اور پہلا رکن $23 - 4\cdot 5 = 3$ ہے۔

حسابی تسلسل کا پہلا رکن کیسے معلوم کریں؟

$n$-ویں رکن کے فارمولے سے: $a_1 = a_n - (n-1)d$۔ مثال کے طور پر، اگر $a_{12} = 60$ اور $d = 4$ ہو، تو $a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16$۔ جانچ: $16 + 11\cdot 4 = 60$۔

حسابی تسلسل کے پہلے n ارکان کا مجموعہ کیسے معلوم کریں؟

فارمولا $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ سے، اگر آخری رکن معلوم ہو، یا فارمولا $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n$ سے، اگر صرف پہلا رکن اور فرق معلوم ہوں۔ دونوں ایک ہی نتیجہ دیتے ہیں، اس لیے دوسرے کو پہلے کی جانچ کے طور پر استعمال کرنا آسان ہے۔

حسابی تسلسل کے ارکان کی تعداد کیسے معلوم کریں؟

$n$-ویں رکن کے فارمولے سے: $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$۔ مثال کے طور پر، تسلسل $8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98$ میں فرق 5 ہے، اس لیے $n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19$ ارکان ہیں۔

حسابی تسلسل ہندسی سے کیسے مختلف ہے؟

حسابی میں ہر رکن میں فرق $d$ جمع کرتے ہیں، اور ہندسی میں ہر رکن کو تناسب $q$ سے ضرب دیتے ہیں۔ $n$-ویں رکن کے فارمولے: $a_n = a_1 + (n-1)d$ بمقابلہ $b_n = b_1 q^{\,n-1}$۔ قسم طے کرنے کے لیے، پڑوسی ارکان کے فرق اور ان کے تناسب گنیں: ایک جیسے فرق — حسابی، ایک جیسے تناسب — ہندسی۔

کیا فرق منفی یا صفر کے برابر ہو سکتا ہے؟

ہاں۔ $d < 0$ پر تسلسل کم ہوتا ہے (مثال کے طور پر، 20, 17, 14, 11)، $d = 0$ پر تمام ارکان ایک جیسے ہوتے ہیں (6, 6, 6, …) — یہ مستقل تسلسل ہے۔ فرق کسر بھی ہو سکتا ہے: 1; 1,5; 2; 2,5 — یہ بھی حسابی تسلسل ہے۔

حسابی تسلسل کس جماعت میں پڑھایا جاتا ہے؟

9ویں جماعت میں الجبرا کے اسباق میں، ہندسی تسلسل اور عددی ترتیب کے ساتھ۔ تسلسل کے سوالات OGE میں شامل ہیں: عام طور پر نمبر کے ذریعے رکن، قدر کے ذریعے نمبر، ارکان کی تعداد یا پہلے $n$ ارکان کا مجموعہ معلوم کرنا ہوتا ہے۔

مزید سوالات ہیں؟ چیٹ میں جاری رکھیں

تسلسل کے بارے میں سوال حل کریں میرا حل چیک کریں فرق اور فارمولا معلوم کریں مجموعے کا کون سا فارمولا لیں؟ حسابی یا ہندسی؟ پریکٹس کے لیے سوالات دیں

صارف #4365351

مجھے تصویر پر ٹیکسٹ ایڈیٹر بہت پسند آیا — نتیجہ ایک شاہکار نکلا۔

Web · مئی 2026

صارف #4383661

شکریہ، نیورل نیٹ ورک کے کام نے مجھے واقعی متاثر کیا۔ بہترین!

صارف #4279467

مجھے یہ بہت پسند ہے — اگر کچھ اور مفت ٹرائلز مل جائیں تو بہت اچھا ہوگا۔

Google Play · مئی 2026

صارف #4160129

مناسب قیمتوں کے ساتھ ایک شاندار ایپ۔

حسابی تسلسل: فارمولے، فرق اور پہلے n ارکان کا مجموعہ