ویٹا کا نظریہ

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

ماسکوٹ ریاضی دان ایک دو درجی مساوات اور جڑوں کے مجموعہ اور حاصل ضرب کے فارمولوں کے ساتھ تختی کے سامنے

ویٹا کا نظریہ دو درجی مساوات کی جڑوں کو اس کے کوائفینٹ سے جوڑتا ہے: مرکزی مساوات $x^2 + px + q = 0$ کے لیے جڑوں کا مجموعہ $-p$ کے برابر ہوتا ہے، اور حاصل ضرب $q$ کے برابر ہوتا ہے۔ یہ ڈسکریمیننٹ کے بغیر زبانی طور پر جڑوں کا انتخاب کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اس صفحے پر - مرکزی مساوات اور عام شکل کے لیے درست فارمولے، ویٹا کا الٹا نظریہ، جڑوں کے انتخاب کا طریقہ کار، حل شدہ مثالیں اور ایک انٹرایکٹو ٹرینر شامل ہیں۔

ویٹا کا نظریہ کیا ہے؟

ویٹا کا نظریہ ایک قاعدہ ہے جو دو درجی مساوات کی جڑوں کو اس کے کوائفینٹ سے جوڑتا ہے۔ یہ اس طرح بیان کیا جاتا ہے: اگر $x_1$ اور $x_2$ مرکزی دو درجی مساوات $x^2 + px + q = 0$ کی جڑیں ہیں، تو

\[x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.\]

الفاظ میں: جڑوں کا مجموعہ دوسرے کوائفینٹ کے برابر ہوتا ہے جس کا نشان مخالف ہوتا ہے، اور جڑوں کا حاصل ضرب آزاد رکن کے برابر ہوتا ہے۔ مجموعہ میں منفی کا نشان پورے موضوع کا سب سے اہم حصہ ہے: یہاں صرف $-p$ لکھا جاتا ہے، $p$ نہیں۔

عام شکل $ax^2 + bx + c = 0$ (جہاں $a \neq 0$) کے لیے فارمولے $a$ پر تقسیم کرنے سے حاصل ہوتے ہیں:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.\]

یہ نظریہ صرف اس صورت میں کام کرتا ہے جب حقیقی جڑیں موجود ہوں، یعنی جب $D \ge 0$ ہو۔ اگر ڈسکریمیننٹ منفی ہے، تو کچھ بھی منتخب کرنے کے لیے نہیں ہے: اس طرح کے مجموعہ اور حاصل ضرب کے ساتھ کوئی حقیقی اعداد موجود نہیں ہیں۔

مرکزی

x² + px + q = 0

x₁ + x₂ = −p

x₁ · x₂ = q

عام شکل

ax² + bx + c = 0

x₁ + x₂ = −b / a

x₁ · x₂ = c / a

شرط: D ≥ 0 (مرکزی کے لیے D = p² − 4q، عام شکل کے لیے D = b² − 4ac)۔ حقیقی جڑوں کے بغیر ویٹا کے فارمولے استعمال نہیں کیے جاتے۔

مرکزی مساوات اور عام شکل: کہاں پر a سے تقسیم کرنا ہے

مرکزی دو درجی مساوات کو کہا جاتا ہے جس میں $x^2$ کا کوائفینٹ ایک کے برابر ہوتا ہے: $x^2 + px + q = 0$۔ خاص طور پر اس کے لیے ویٹا کا نظریہ سب سے مختصر طور پر بیان کیا جاتا ہے، اسی لیے جڑوں کا انتخاب ہمیشہ مرکزیت سے شروع ہوتا ہے۔

اگر $a \neq 1$ ہو، تو مساوات کو پہلے ہر رکن کو $a$ سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $3x^2 - 10x + 3 = 0$ کو $3$ سے تقسیم کرنے کے بعد $x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$ بن جاتا ہے، یعنی $p = -\frac{10}{3}$، $q = 1$۔ اس سے $x_1 + x_2 = \frac{10}{3}$ اور $x_1 \cdot x_2 = 1$ حاصل ہوتا ہے۔

اسی خیال کو عام شکل کے لیے براہ راست لکھا جا سکتا ہے، مساوات کو مرکزی بنائے بغیر: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$، $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$۔ سب سے عام غلطی یہ ہے کہ غیر مرکزی مساوات پر «مختصر» فارمولے $-p$ اور $q$ لاگو کیے جاتے ہیں اور $\frac{10}{3}$ کے بجائے مجموعہ 10 حاصل ہوتا ہے۔

ویٹا کا الٹا نظریہ

ویٹا کے نظریہ کا ایک الٹا نظریہ ہے، اور یہی وہ ہے جو ہمیں زبانی طور پر مساوات حل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ اس طرح بیان کیا جاتا ہے: اگر اعداد $m$ اور $n$ ایسے ہوں کہ

\[m + n = -p \quad \text{اور} \quad m \cdot n = q,\]

تو $m$ اور $n$ مساوات $x^2 + px + q = 0$ کی جڑیں ہیں۔

فرق بنیادی ہے۔ سیدھا نظریہ جڑوں سے کوائفینٹ کی طرف جاتا ہے: جڑیں پہلے سے معلوم ہیں، ہم ان کے درمیان تعلقات حاصل کرتے ہیں۔ الٹا نظریہ کوائفینٹ سے جڑوں کی طرف جاتا ہے: ہم نے مطلوبہ مجموعہ اور مطلوبہ حاصل ضرب کے ساتھ اعداد کا ایک جوڑا اندازہ لگایا ہے - اور انہیں جڑیں کہنے کا پورا حق رکھتے ہیں، مزید کچھ ثابت کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔

یہاں سے ایک مفید قاعدہ بھی اخذ ہوتا ہے: اگر $x_1$ اور $x_2$ جڑیں ہیں، تو کثیر رقمی کو عوامل میں تقسیم کیا جا سکتا ہے $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$۔ مثال کے طور پر، $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$۔

ویٹا کے نظریہ کے مطابق جڑوں کا انتخاب: طریقہ کار

جڑوں کا انتخاب ویٹا کے نظریہ کا اہم عملی استعمال ہے۔ یہ ڈسکریمیننٹ سے تیز کام کرتا ہے جب جڑیں صحیح عدد ہوں، اور پانچ مراحل میں مکمل ہوتا ہے۔

مرکزی شکل میں لائیں x² + px + q = 0

اگر a ≠ 1 ہو تو پورے مساوات کو a سے تقسیم کریں

جڑوں کی موجودگی کی جانچ کریں

D = p² − 4q ≥ 0

دو تعلقات لکھیں

x₁ + x₂ = −p اور x₁ · x₂ = q

اعداد کا جوڑا منتخب کریں

q کے قاسموں کو آزمائیں اور وہ جوڑا منتخب کریں جس کا مجموعہ −p کے برابر ہو

متبادل سے جانچیں

دونوں اعداد کو اصل مساوات میں ڈالیں - 0 = 0 ہونا چاہیے

p اور q کے کوائفینٹ کے مطابق جڑوں کے نشان

انتخاب سے پہلے ہی آپ جڑوں کے نشانات کا اندازہ لگا سکتے ہیں - صرف $p$ اور $q$ کے نشانات کو دیکھ کر۔ یہ انتخاب کو بہت مختصر کر دیتا ہے: آپ فوراً دیکھ سکتے ہیں کہ آیا دو مثبت اعداد، دو منفی اعداد، یا مختلف نشانات والے اعداد کا جوڑا تلاش کرنا ہے۔

p اور q	جڑیں	مثال
q > 0, p < 0	دونوں > 0	x² − 5x + 6 = 0 → 2; 3
q > 0, p > 0	دونوں < 0	x² + 5x + 6 = 0 → −2; −3
q < 0	مختلف نشانات	x² + 2x − 15 = 0 → 3; −5
q = 0	0 اور −p	x² − 5x = 0 → 0; 5

یہ قاعدہ D ≥ 0 کے لیے درست ہے۔ جب q < 0 ہو تو ماڈیولس میں بڑی جڑ وہ ہوتی ہے جس کا نشان p کے مخالف ہوتا ہے۔

ویٹا کا نظریہ یا ڈسکریمیننٹ: کیا منتخب کریں

ڈسکریمیننٹ کے ذریعے جڑوں کا فارمولا $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ ہمیشہ کام کرتا ہے، لیکن اس میں حسابات کی ضرورت ہوتی ہے۔ ویٹا کا نظریہ فوری طور پر کام کرتا ہے، لیکن صرف اس صورت میں جب جڑیں اندازہ لگائی جا سکیں - عام طور پر یہ چھوٹے صحیح اعداد ہوتے ہیں۔

عملی قاعدہ یہ ہے:

مساوات مرکزی ہے، اور $q$ چھوٹے اعداد کے جوڑے میں تقسیم ہو جاتا ہے → ویٹا کے مطابق انتخاب کی کوشش کریں، جواب زبانی طور پر مل جاتا ہے؛
کوائفینٹ بڑے یا کسری ہیں، جڑیں 10-15 سیکنڈ میں اندازہ نہیں لگائی جا سکتیں → ڈسکریمیننٹ کا حساب لگائیں؛
صرف جڑوں کی تعداد یا جڑوں کے نشانات کی ضرورت ہے، خود جڑیں نہیں → $D$ اور اوپر دی گئی نشانات کی جدول کافی ہے۔

ترکیب بھی مفید ہے: ڈسکریمیننٹ کا حساب لگائیں اور جڑیں معلوم کریں - جواب کو ویٹا کے مطابق چیک کریں. مجموعہ $-p$ اور حاصل ضرب $q$ دینا چاہیے. اس طرح کی جانچ میں چند سیکنڈ لگتے ہیں اور یہ تقریباً کسی بھی حسابی غلطی کو پکڑ لیتی ہے۔

ویٹا کے نظریہ کے مطابق حل کی مثالیں

مثال 1. جڑوں کا انتخاب: دونوں جڑیں مثبت ہیں

حل کریں $x^2 - 9x + 20 = 0$۔

مرحلہ 1۔ مساوات مرکزی ہے: $p = -9$, $q = 20$۔

مرحلہ 2۔ ڈسکریمیننٹ کی جانچ کریں: $D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0$ — دو جڑیں موجود ہیں۔

مرحلہ 3۔ تعلقات لکھیں: $x_1 + x_2 = -p = 9$, $x_1 \cdot x_2 = q = 20$۔

مرحلہ 4۔ 20 کے تجزیات کو آزمائیں: $1\cdot 20$ (مجموعہ 21)، $2\cdot 10$ (مجموعہ 12)، $4\cdot 5$ (مجموعہ 9) — آخری جوڑا موزوں ہے۔ دونوں عامل مثبت ہیں کیونکہ $q > 0$ اور $p < 0$۔

مرحلہ 5۔ متبادل سے جانچ۔ $4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0$; $5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0$۔

جواب: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$۔

مثال 2. مختلف نشانات کی جڑیں

حل کریں $x^2 + 3x - 28 = 0$۔

مرحلہ 1۔ مساوات مرکزی ہے: $p = 3$, $q = -28$۔

مرحلہ 2۔ $q < 0$ کا مطلب ہے کہ جڑیں مختلف نشانات کی ہیں اور ڈسکریمیننٹ یقینی طور پر مثبت ہے: $D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0$۔

مرحلہ 3۔ تعلقات: $x_1 + x_2 = -3$, $x_1 \cdot x_2 = -28$۔

مرحلہ 4۔ 28 کے تجزیات: $1\cdot 28$, $2\cdot 14$, $4\cdot 7$۔ فرق 3 درکار ہے — جوڑا 4 اور 7 موزوں ہے۔ چونکہ مجموعہ منفی ہے، ماڈیولس میں بڑی جڑ کو منفی نشان کے ساتھ لیں: 4 اور −7۔

مرحلہ 5۔ جانچ۔ $4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0$; $(-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0$۔

جواب: $x_1 = 4$, $x_2 = -7$۔

مثال 3. عام شکل کی مساوات (a ≠ 1)

حل کریں $3x^2 - 10x + 3 = 0$۔

مرحلہ 1۔ کوائفینٹ $a = 3$ ہے، اس لیے «مختصر» فارمولے $-p$ اور $q$ لاگو نہیں کیے جا سکتے۔ عام شکل استعمال کریں: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}$, $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1$۔

مرحلہ 2۔ حاصل ضرب 1 ہے — اس کا مطلب ہے کہ جڑیں باہمی الٹ ہیں: اگر ایک $t$ ہے، تو دوسری $\tfrac{1}{t}$ ہے۔ مجموعہ $t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}$ سے $t = 3$ کا اشارہ ملتا ہے، کیونکہ $3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}$۔

مرحلہ 3۔ متبادل سے جانچ۔ $3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0$; $3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0$۔

جواب: $x_1 = 3$, $x_2 = \tfrac{1}{3}$۔

مثال 4. اس کی جڑوں کے مطابق مساوات بنائیں

کام: ایک مرکزی دو درجی مساوات بنائیں جس کی جڑیں −4 اور 6 ہوں۔

مرحلہ 1۔ مجموعہ اور حاصل ضرب کا حساب لگائیں: $x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24$۔

مرحلہ 2۔ ویٹا کے الٹے نظریہ کے مطابق کوائفینٹ $p = -(x_1 + x_2) = -2$ اور $q = x_1 x_2 = -24$ ہیں۔ یہاں اہم پھندا چھپا ہے: $p$ مخالف نشان کے ساتھ مجموعہ کے برابر ہے۔

مرحلہ 3۔ مساوات لکھیں: $x^2 - 2x - 24 = 0$۔

مرحلہ 4۔ متبادل سے جانچ۔ $(-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0$; $6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0$۔

جواب: $x^2 - 2x - 24 = 0$۔ یہی نتیجہ $(x + 4)(x - 6) = 0$ کے تجزیہ سے بھی حاصل ہوتا ہے۔

مثال 5. ویٹا کے نظریہ کے مطابق کسی اور کے جواب کی جانچ

کام: ایک طالب علم نے مساوات $x^2 + 5x + 6 = 0$ حل کی اور جواب لکھا: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$۔ جانچیں کہ کیا وہ غلطی کر گیا ہے۔

مرحلہ 1۔ ویٹا کے مطابق $x_1 + x_2 = -p = -5$ اور $x_1 \cdot x_2 = q = 6$ ہونا چاہیے۔

مرحلہ 2۔ تجویز کردہ جواب کا حاصل ضرب درست ہے ($2\cdot 3 = 6$)، لیکن مجموعہ نہیں: $2 + 3 = 5 \neq -5$۔ لہذا، جواب غلط ہے: نشان چھوٹ گیا۔

مرحلہ 3۔ صحیح جوڑا تلاش کریں: ہمیں 6 کے حاصل ضرب اور −5 کے مجموعہ والے اعداد درکار ہیں — یہ −2 اور −3 ہیں (دونوں منفی ہیں کیونکہ $q > 0$ اور $p > 0$)

مرحلہ 4۔ متبادل سے جانچ۔ $(-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$; $(-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$۔

جواب: صحیح جڑیں — $x_1 = -2$, $x_2 = -3$۔

ویٹا کے نظریہ کے ساتھ کام کرتے وقت عام غلطیاں

مجموعہ میں منفی نشان بھول جاتے ہیں: $x_1 + x_2 = -p$ کے بجائے $x_1 + x_2 = p$ لکھتے ہیں۔

منفی نشان صرف مجموعہ کے ساتھ ہوتا ہے، حاصل ضرب اسی نشان کے ساتھ لیا جاتا ہے: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$۔ اسے ایک سادہ مساوات $x^2 - 5x + 6 = 0$ پر جانچیں: یہاں $p = -5$ ہے، جڑوں کا مجموعہ 5 ہے، اور جڑیں واقعی 2 اور 3 ہیں۔
غیر مرکزی مساوات پر فارمولے $-p$ اور $q$ لاگو کرتے ہیں: $2x^2 - 9x + 4 = 0$ کے لیے «مجموعہ 9، حاصل ضرب 4» کہتے ہیں۔

جب تک $a \neq 1$ ہے، عام شکل کے فارمولے کام کرتے ہیں: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2$۔ یہاں جڑیں 4 اور $\tfrac{1}{2}$ ہیں، نہ کہ 4 اور 1۔ یا پہلے پورے مساوات کو $a$ سے تقسیم کریں۔
ڈسکریمیننٹ کی جانچ کیے بغیر جڑیں منتخب کرتے ہیں: $x^2 + x + 1 = 0$ کے لیے −1 کے مجموعہ اور 1 کے حاصل ضرب والے اعداد کا جوڑا تلاش کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔

پہلے اس بات کو یقینی بنائیں کہ جڑیں موجود ہیں: $D = 1 - 4 = -3 < 0$، کوئی حقیقی جڑیں نہیں ہیں، انتخاب ممکن نہیں ہے۔ ویٹا کا نظریہ صرف $D \ge 0$ پر کام کرتا ہے۔
صرف حاصل ضرب کے مطابق جوڑا منتخب کرتے ہیں، مجموعہ کی جانچ نہیں کرتے: $x^2 - 8x + 12 = 0$ کے لیے 3 اور 4 لیتے ہیں، کیونکہ ان کا حاصل ضرب 12 ہے۔

دونوں تعلقات کو ایک ساتھ جانچنا ضروری ہے۔ $x^2 - 8x + 12 = 0$ کے لیے حاصل ضرب 12 جوڑے (1; 12), (2; 6), (3; 4) دیتے ہیں، جبکہ مجموعہ 8 صرف جوڑے 2 اور 6 سے ملتا ہے۔ جانچ: $2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0$ اور $6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0$۔
جڑوں کے مطابق مساوات بناتے وقت، $p$ کو مجموعہ کے برابر لیتے ہیں: جڑوں 2 اور 5 کے لیے $x^2 + 7x + 10 = 0$ لکھتے ہیں۔

کوائفینٹ $p$ مخالف نشان کے ساتھ مجموعہ کے برابر ہوتا ہے: $p = -(2 + 5) = -7$, $q = 2\cdot 5 = 10$, یعنی $x^2 - 7x + 10 = 0$۔ متبادل تصدیق کرتا ہے: $2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0$, $5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0$۔
سوچتے ہیں کہ ویٹا کا نظریہ صرف صحیح جڑوں کے لیے درست ہے، اور جواب کی جانچ کے لیے اسے استعمال نہیں کرتے۔

تعلقات $x_1 + x_2 = -p$ اور $x_1 x_2 = q$ کسی بھی حقیقی جڑوں — صحیح، کسری، اور غیر ناطق — کے لیے درست ہوتے ہیں۔ صرف زبانی انتخاب صحیح اعداد کے لیے آسان ہے، اور باقی کے لیے نظریہ جواب کی جانچ کا ایک تیز طریقہ رہتا ہے۔

سوالات اور جوابات

ویٹا کا نظریہ سادہ الفاظ میں کیا ہے؟

اگر مرکزی دو درجی مساوات $x^2 + px + q = 0$ کی جڑیں موجود ہیں، تو ان کا مجموعہ مخالف نشان کے ساتھ دوسرے کوائفینٹ کے برابر ہوتا ہے، اور حاصل ضرب آزاد رکن کے برابر ہوتا ہے: $x_1 + x_2 = -p$ اور $x_1 x_2 = q$۔

مساوات $ax^2 + bx + c = 0$ کی جڑوں کا مجموعہ اور حاصل ضرب کیا ہے؟

عام شکل کی مساوات کے لیے جڑوں کا مجموعہ $-\dfrac{b}{a}$ کے برابر ہوتا ہے، اور حاصل ضرب $\dfrac{c}{a}$ کے برابر ہوتا ہے۔ یہ فارمولے مرکزی صورت سے ہر مساوات کو $a$ سے تقسیم کرنے سے حاصل ہوتے ہیں۔

ویٹا کا الٹا نظریہ سیدھے نظریہ سے کس طرح مختلف ہے؟

سیدھا نظریہ جڑوں سے کوائفینٹ کی طرف جاتا ہے: جڑوں کو جان کر، ہم مجموعہ $-p$ اور حاصل ضرب $q$ حاصل کرتے ہیں۔ الٹا نظریہ الٹ جاتا ہے: اگر اعداد کا ایک جوڑا مطلوبہ مجموعہ اور مطلوبہ حاصل ضرب دیتا ہے، تو یہ اعداد مساوات کی جڑیں ہیں۔ خاص طور پر الٹا نظریہ ہمیں زبانی طور پر مساوات حل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

ویٹا کے نظریہ کے مطابق جڑیں کیسے منتخب کریں؟

مساوات کو $x^2 + px + q = 0$ کی شکل میں لائیں، اس بات کو یقینی بنائیں کہ $D \ge 0$ ہے، $x_1 + x_2 = -p$ اور $x_1 x_2 = q$ لکھیں، $q$ کے اعداد کے جوڑوں میں تجزیات کو آزمائیں اور وہ جوڑا منتخب کریں جس کا مجموعہ $-p$ کے برابر ہو۔ مثال کے طور پر، $x^2 + 6x + 8 = 0$ کے لیے 8 کے حاصل ضرب اور −6 کے مجموعہ والے اعداد درکار ہیں — یہ −2 اور −4 ہیں۔

کیا ویٹا کا نظریہ کام کرتا ہے اگر $x^2$ کا کوائفینٹ ایک کے برابر نہ ہو؟

ہاں، لیکن عام شکل میں: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$۔ مختصر فارمولے $-p$ اور $q$ صرف مرکزی مساوات کے لیے درست ہیں، اس لیے جب $a \neq 1$ ہو تو مساوات کو پہلے $a$ سے تقسیم کیا جاتا ہے۔

اگر ویٹا کے نظریہ کے مطابق جڑیں منتخب نہیں ہوتیں تو کیا کریں؟

اس کا مطلب ہے کہ جڑیں صحیح عدد نہیں ہیں یا بالکل موجود نہیں ہیں۔ ڈسکریمیننٹ کا حساب لگائیں: جب $D < 0$ ہو تو کوئی حقیقی جڑیں نہیں ہوتی ہیں، اور جب $D \ge 0$ ہو تو جڑیں فارمولے $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ سے تلاش کریں اور پھر جواب کو ویٹا کے نظریہ کے مطابق چیک کریں۔

بغیر مساوات حل کیے جڑوں کے نشانات کیسے معلوم کریں؟

$D \ge 0$ ہونے پر $p$ اور $q$ کے نشانات سے: اگر $q > 0$ اور $p < 0$ — دونوں جڑیں مثبت ہیں؛ اگر $q > 0$ اور $p > 0$ — دونوں جڑیں منفی ہیں؛ اگر $q < 0$ — جڑیں مختلف نشانات کی ہیں؛ اگر $q = 0$ — ایک جڑ صفر ہے۔

ویٹا کا نظریہ کس جماعت میں پڑھایا جاتا ہے؟

آٹھویں جماعت میں الجبرا کے اسباق میں، دو درجی مساوات اور ڈسکریمیننٹ کے فوراً بعد۔ آگے اسے دو درجی ثلاثی کو عوامل میں تقسیم کرنے $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$، پیرامیٹر کے ساتھ جڑوں کی تحقیق میں، اور OGE اور ЕГЭ کے کاموں میں استعمال کیا جاتا ہے۔

کیا ابھی بھی سوالات ہیں؟ چیٹ میں جاری رکھیں

ویٹا کے نظریہ کے مطابق حل کریں میرا حل چیک کریں مساوات کو جڑوں کے مطابق بنائیں ویٹا یا ڈسکریمیننٹ؟ مجموعہ −p کے برابر کیوں ہے؟ مشق کے لیے مسائل دیں

صارف #4365351

مجھے تصویر پر ٹیکسٹ ایڈیٹر بہت پسند آیا — نتیجہ ایک شاہکار نکلا۔

Web · مئی 2026

صارف #4383661

شکریہ، نیورل نیٹ ورک کے کام نے مجھے واقعی متاثر کیا۔ بہترین!

صارف #4279467

مجھے یہ بہت پسند ہے — اگر کچھ اور مفت ٹرائلز مل جائیں تو بہت اچھا ہوگا۔

Google Play · مئی 2026

صارف #4160129

مناسب قیمتوں کے ساتھ ایک شاندار ایپ۔