تناسب دو نسبتوں کی برابری ہے، مثال کے طور پر \(2:3 = 8:12\)۔ تناسب حل کرنے کے لیے، صرف ایک آلہ کی ضرورت ہے — تناسب کی بنیادی خاصیت: بیرونی ارکان کا حاصل ضرب درمیانی ارکان کے حاصل ضرب کے برابر ہوتا ہے۔ اسکول میں اسے 'کالے کراس' کا قاعدہ کہتے ہیں۔ ذیل میں — نسبت اور تناسب کیا ہے، نامعلوم رکن کیسے تلاش کریں، براہ راست تناسب الٹی تناسب سے کیسے مختلف ہے، ترکیب، پیمانہ اور قیمت کے مسائل کا تجزیہ، فیصد تک رسائی اور 10 مسائل کا ٹرینر۔
نسبت اور تناسب کیا ہے
دو اعداد کی نسبت ان کا حاصل قسمت ہے۔ نسبت \(2:3\) (پڑھا جاتا ہے 'دو سے تین') بتاتی ہے کہ ایک عدد دوسرے سے کتنا گنا بڑا ہے یا ایک عدد دوسرے کا کتنا حصہ ہے۔ اسے دو طریقوں سے لکھا جا سکتا ہے: \(2:3\) یا \(\frac{2}{3}\) کے طور پر — یہ ایک ہی بات ہے۔
تناسب دو نسبتوں کی برابری ہے:
تناسب میں کل چار اعداد ہوتے ہیں، اور ان کے نام ہوتے ہیں۔ ریکارڈ کے کنارے والے اعداد بیرونی ارکان ہیں، درمیان والے اعداد درمیانی ارکان ہیں۔ تناسب درست ہے جب دونوں نسبتیں ایک ہی عدد کے برابر ہوں۔
تناسب کی بنیادی خاصیت: 'کالے کراس' کا قاعدہ
تناسب کی بنیادی خاصیت: بیرونی ارکان کا حاصل ضرب درمیانی ارکان کے حاصل ضرب کے برابر ہوتا ہے۔
یہ کیسے ہوتا ہے؟ مساوات \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) کے دونوں اطراف کو \(b \cdot d\) سے ضرب دیں۔ بائیں طرف \(b\) کٹ جائے گا، دائیں طرف \(d\) کٹ جائے گا، اور صرف \(a \cdot d = c \cdot b\) باقی رہے گا۔ کوئی جادو نہیں — یہ صرف مساوات کی ایک عام خاصیت ہے۔
یہی وہ چیز ہے جسے طلباء 'کالے کراس سے تناسب حل کرنا' کہتے ہیں: اعداد کو ترچھے، کالے کراس کی طرح ضرب دیا جاتا ہے۔ یہ خاصیت الٹی سمت میں بھی کام کرتی ہے: اگر چار اعداد (جن میں سے کوئی بھی صفر نہیں ہے) کے لیے \(a \cdot d = b \cdot c\) درست ہے، تو ان سے ایک درست تناسب بنایا جا سکتا ہے۔
اس سے فوراً دو مہارتیں حاصل ہوتی ہیں: تناسب کی درستگی جانچنا، اور اس میں نامعلوم عدد تلاش کرنا۔
تناسب کا نامعلوم رکن کیسے تلاش کریں
بنیادی خاصیت سے دو مختصر اصول نکلتے ہیں:
- نامعلوم بیرونی رکن = درمیانی ارکان کا حاصل ضرب : معلوم بیرونی رکن؛
- نامعلوم درمیانی رکن = بیرونی ارکان کا حاصل ضرب : معلوم درمیانی رکن۔
انہیں زبانی یاد رکھنے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک عالمگیر طریقہ کافی ہے: کالے کراس کی طرح ضرب دیں، 'عدد \(\cdot\, x\) = عدد' کی شکل میں ایک مساوات حاصل کریں اور تقسیم کریں۔ ہم اسے تناسب \(x : 7 = 12 : 21\) پر قدم بہ قدم سمجھیں گے۔
آخری قدم — جانچنا — پانچ سیکنڈ لیتا ہے اور تقریباً کسی بھی حسابی غلطی کو پکڑ لیتا ہے، اس لیے اسے چھوڑنا نہیں چاہیے۔
براہ راست اور الٹی تناسب
دو مقداروں کو براہ راست متناسب کہا جاتا ہے اگر ایک کو کئی گنا بڑھایا جائے تو دوسری بھی اسی گنا بڑھ جائے۔ دگنی کاپیاں خریدیں — دگنی رقم ادا کریں۔ ایسی مقداروں کا نسبت مستقل ہوتا ہے۔
مقداریں الٹی متناسب ہوتی ہیں اگر ایک کو کئی گنا بڑھایا جائے تو دوسری اسی گنا کم ہو جائے۔ دگنے مزدور — اسی کام کے لیے دگنے کم دن۔ ایسی مقداروں کا حاصل ضرب مستقل ہوتا ہے۔
جب ہم تناسب لکھتے ہیں تو اہم فرق نظر آتا ہے۔ براہ راست تعلق کے لیے یہ 'جیسا ہے ویسا' لکھا جاتا ہے: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)۔ الٹی کے لیے دوسرا نسبت الٹ دیا جاتا ہے: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)۔
کیوں؟ الٹی تعلق کے لیے حاصل ضرب مستقل ہوتا ہے: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\)۔ دونوں اطراف کو \(a_2 \cdot b_1\) سے تقسیم کریں — اور ہمیں \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) ملے گا۔ تو 'الٹنا' کوئی ایسا منتر نہیں جسے یاد رکھنا ہو، بلکہ یہ اس کا نتیجہ ہے کہ حاصل ضرب مستقل رہتا ہے، نسبت نہیں۔
| نشانی | براہ راست | الٹی |
|---|---|---|
| تعلق | زیادہ → زیادہ | زیادہ → کم |
| مستقل | نسبت a : b | حاصل ضرب a × b |
| لکھنا | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| مثال | 3 قلم — 90 ₽، 5 قلم — 150 ₽ | 4 مزدور — 9 دن، 6 مزدور — 6 دن |
ترکیب کے مسئلے کے لیے تناسب کیسے بنائیں: ترکیب، پیمانہ، قیمت
تناسب کے 'متنی مسائل' ایک ہی منظر نامے کے مطابق حل ہوتے ہیں:
- شرط کو دو کالموں میں لکھیں تاکہ ایک جیسی مقداریں ایک دوسرے کے نیچے آئیں (حصے حصوں کے نیچے، گرام گرام کے نیچے۔)
- نامعلوم کو \(x\) سے ظاہر کریں۔
- تعلق کی قسم کا تعین کریں: پہلی مقدار کو ذہنی طور پر بڑھائیں اور دیکھیں کہ دوسری بڑھتی ہے یا کم ہوتی ہے۔
- تناسب بنائیں — الٹی تعلق کے لیے دوسرا نسبت الٹ دیں۔
- کالے کراس سے حل کریں اور جانچیں کہ آیا جواب معقول ہے۔
ترکیب کی مثال سے سمجھاتے ہیں۔ 4 پلیٹوں کے لیے 300 گرام آٹا درکار ہے — 6 پلیٹوں کے لیے کتنا آٹا درکار ہوگا؟ پلیٹیں زیادہ ہیں، تو آٹا بھی زیادہ درکار ہوگا: تعلق براہ راست ہے، تناسب 'جیسا ہے ویسا' بنایا جاتا ہے:
6 پلیٹوں کے لیے 450 گرام آٹا درکار ہے۔ جواب معقول ہے: پلیٹیں ڈیڑھ گنا زیادہ ہوئیں، اور آٹا بھی ڈیڑھ گنا زیادہ درکار ہوا۔
اسی طرح پیمانے کے مسائل (نقشے پر فاصلہ زمینی فاصلے سے اسی طرح متعلق ہے جیسے 1 سے پیمانے کے عدد تک) اور قیمت کے مسائل (سامان کی مقدار قیمت سے اسی طرح متعلق ہے جیسے مقدار سے قیمت) حل ہوتے ہیں۔ مکمل تجزیے — ذیل کی مثالوں میں۔
فیصد تناسب کے ذریعے
فیصد کسی عدد کا سوسواں حصہ ہوتا ہے، اس لیے فیصد کا کوئی بھی سادہ مسئلہ تناسب میں بدل جاتا ہے:
یہاں چار میں سے کوئی ایک عدد نامعلوم ہے — اسے کالے کراس سے تلاش کریں۔
حصہ تلاش کریں۔ 240 کا 15% کتنا ہوگا؟ \(x : 240 = 15 : 100\) بنائیں، یعنی \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) اور \(x = 36\)۔
کل تلاش کریں۔ عدد 21 کسی عدد کا 35% ہے۔ \(21 : x = 35 : 100\) بنائیں، یعنی \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) اور \(x = 60\)۔
فیصد تلاش کریں۔ 45 میں سے 18 کتنے فیصد ہے؟ \(18 : 45 = p : 100\) بنائیں، یعنی \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) اور \(p = 40\)، یعنی 40%۔
ایک طریقہ — تین مختلف قسم کے مسائل، کچھ بھی اضافی یاد رکھنے کی ضرورت نہیں۔ صرف 'کتنے فیصد بڑھا یا کم ہوا' کا سوال الگ ہے: وہاں پہلے تبدیلی معلوم کی جاتی ہے، اور پھر اسے ابتدائی قدر سے تقسیم کیا جاتا ہے — یہ فیصد تبدیلی کا فارمولا ہے، نہ کہ سادہ تناسب۔
تناسب کے حل کی مثالیں قدم بہ قدم تجزیہ کے ساتھ
مثال 1. نامعلوم درمیانی رکن
مسئلہ۔ تناسب \(15 : x = 45 : 24\) کا نامعلوم رکن تلاش کریں۔
قدم 1۔ ہم طے کرتے ہیں کہ کون سا رکن کہاں ہے۔ بیرونی — 15 اور 24، درمیانی — \(x\) اور 45۔
قدم 2۔ بنیادی خاصیت لاگو کرتے ہیں: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\)، یعنی \(360 = 45x\)۔
قدم 3۔ تقسیم کرتے ہیں: \(x = 360 : 45 = 8\)۔
جانچ۔ \(15 : 8 = 1{,}875\) اور \(45 : 24 = 1{,}875\) — نسبتیں برابر ہیں۔
جواب: \(x = 8\)۔
مثال 2. براہ راست تناسب: قیمت اور مقدار
مسئلہ۔ چھ کاپیاں 210 روپے کی ہیں۔ ایسی 10 کاپیاں کتنے کی ہوں گی؟
قدم 1۔ کاپیاں زیادہ ہیں — قیمت زیادہ ہے، یعنی تعلق براہ راست ہے۔
قدم 2۔ شرط کو اس طرح لکھتے ہیں کہ ایک جیسی مقداریں ساتھ ہوں، اور تناسب 'جیسا ہے ویسا' بناتے ہیں:
قدم 3۔ کالے کراس سے: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\)، یعنی \(x = 2100 : 6 = 350\)۔
جانچ۔ ایک کاپی کی قیمت \(210 : 6 = 35\) روپے ہے، اور دس کی — \(35 \cdot 10 = 350\) روپے ہے۔ مل گیا۔
جواب: 350 روپے
مثال 3. الٹی تناسب: مزدور اور دن
مسئلہ۔ آٹھ مزدور ایک آرڈر 15 دن میں مکمل کرتے ہیں۔ 12 مزدور وہی آرڈر کتنے دن میں مکمل کریں گے، اگر وہ اسی رفتار سے کام کریں؟
قدم 1۔ مزدور زیادہ ہو گئے — دن کم درکار ہوں گے۔ تعلق الٹا ہے۔
قدم 2۔ تناسب بناتے ہیں، دوسرا نسبت الٹ کر:
یہاں \(x\) 12 مزدوروں کے لیے دن ہیں، اور 15، 8 مزدوروں کے لیے دن ہیں: وہ اپنی جگہ بدل چکے ہیں، کیونکہ تعلق الٹا ہے۔
قدم 3۔ کالے کراس سے: \(8 \cdot 15 = 12x\)، یعنی \(120 = 12x\) اور \(x = 10\)۔
جانچ۔ حاصل ضرب مستقل ہے: \(8 \cdot 15 = 120\) اور \(12 \cdot 10 = 120\)۔ مل گیا، اور جواب معقول ہے — دن کم ہو گئے۔
جواب: 10 دن
مثال 4. نقشے کا پیمانہ
مسئلہ۔ نقشے کا پیمانہ \(1 : 200\,000\) ہے۔ نقشے پر دیہاتوں کے درمیان فاصلہ 7 سینٹی میٹر ہے۔ زمین پر ان کے درمیان فاصلہ کتنا ہے؟
قدم 1۔ پیمانہ \(1 : 200\,000\) کا مطلب ہے: نقشے پر 1 سینٹی میٹر زمین پر 200,000 سینٹی میٹر کے برابر ہے۔ یہ ایک تیار نسبت ہے۔
قدم 2۔ تناسب بناتے ہیں:
قدم 3۔ کالے کراس سے: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\)، یعنی \(x = 1\,400\,000\) سینٹی میٹر۔
قدم 4۔ آسان اکائیوں میں ترجمہ کرتے ہیں: ایک کلومیٹر میں 100,000 سینٹی میٹر ہوتے ہیں، اس لیے \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) کلومیٹر۔
جواب: 14 کلومیٹر
مثال 5. فیصد تناسب کے ذریعے
مسئلہ۔ کلاس میں 25 طالب علم ہیں، ان میں سے 60% سیر پر گئے۔ کتنے لوگ سیر پر گئے؟
قدم 1۔ کل 25 طالب علم ہیں، جو 100% کے برابر ہیں۔ نامعلوم حصہ — \(x\) لوگ، جو 60% کے برابر ہیں۔
قدم 2۔ تناسب 'حصہ : کل = فیصد : 100' بناتے ہیں:
قدم 3۔ کالے کراس سے: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\)، یعنی \(x = 15\)۔
جانچ۔ 25 میں سے 15 لوگ \(15 : 25 = 0{,}6\) ہیں، یعنی بالکل 60%۔
جواب: 15 لوگ
تناسب حل کرتے وقت عام غلطیاں
-
اعداد کو 'ساتھ ساتھ' ضرب دیتے ہیں، نہ کہ کالے کراس کی طرح: تناسب 5 : 2 = 20 : 8 میں 5 · 2 اور 20 · 8 کا حساب لگاتے ہیں۔
بنیادی خاصیت بیرونی ارکان کو درمیانی ارکان سے جوڑتی ہے، یعنی ترچھے والے اعداد: 5 · 8 = 40 اور 2 · 20 = 40۔ حاصل ضرب برابر ہیں — تناسب درست ہے۔ جبکہ 5 · 2 اور 20 · 8 برابر نہیں ہیں اور کچھ نہیں بتاتے۔
-
الٹی تعلق کے مسئلے میں 'براہ راست' تناسب بناتے ہیں۔ چھ پمپ 10 گھنٹے میں ایک ٹینک بھرتے ہیں؛ 6 : 15 = 10 : x لکھنے سے 15 پمپوں کے لیے 25 گھنٹے نکلتے ہیں۔
پمپ زیادہ ہو گئے — وقت کم ہونا چاہیے، لیکن زیادہ ہو گیا: اس کا مطلب ہے کہ تناسب غلط سمت میں بنایا گیا ہے۔ دوسرے نسبت کو الٹنا چاہیے: 6 : 15 = x : 10، تب 15x = 60 اور x = 4 گھنٹے۔ جواب کو ہمیشہ معقولیت کے لیے جانچیں۔
-
کالے کراس کے بعد الٹا تقسیم کرتے ہیں: مساوات 8x = 96 سے x = 8 : 96 حاصل کرتے ہیں۔
x تلاش کرنے کے لیے، حاصل ضرب کو اس عدد سے تقسیم کرتے ہیں جو x کے ساتھ ہے: x = 96 : 8 = 12۔ یہ عادت ڈالنا مفید ہے کہ ملے ہوئے عدد کو واپس ڈال کر جانچیں: 8 · 12 = 96، سب درست ہے۔
-
اکائیوں کو ہم آہنگ نہیں کرتے۔ پیمانے کے مسئلے میں 1 : 50,000 کے ساتھ نقشے پر 3 سینٹی میٹر کے لیے جواب '1.5' بغیر اکائیوں کے لکھتے ہیں یا اسے میٹر کہتے ہیں۔
پہلے ان اکائیوں میں حساب لگاتے ہیں جن میں پیمانہ دیا گیا ہے: 3 · 50,000 = 150,000 سینٹی میٹر۔ اور پھر ترجمہ کرتے ہیں: 150,000 سینٹی میٹر = 1500 میٹر = 1.5 کلومیٹر۔ جواب میں اکائیاں خود عدد جتنی ہی اہم ہیں۔
-
نسبت اور تناسب میں فرق کرتے ہیں: تناسب بنانے کی درخواست پر ایک نسبت '12 : 4' لکھتے ہیں۔
نسبت دو اعداد کا حاصل قسمت ہے، مثال کے طور پر 12 : 4۔ تناسب دو نسبتوں کی برابری ہے، اس میں چار اعداد اور مساوات کا نشان ہوتا ہے: 12 : 4 = 30 : 10 (جانچتے ہیں: 12 · 10 = 120 اور 4 · 30 = 120)۔
سوالات اور جوابات
نسبت تناسب سے کیسے مختلف ہے؟
نسبت دو اعداد کا حاصل قسمت ہے، مثال کے طور پر 12 : 4۔ تناسب دو نسبتوں کی برابری ہے، اس میں چار اعداد ہوتے ہیں: 12 : 4 = 30 : 10۔ نسبت 'کتنے گنا' کے سوال کا جواب دیتی ہے، جبکہ تناسب یہ دعویٰ کرتا ہے کہ دو ایسے موازنے ایک جیسا نتیجہ دیتے ہیں۔
تناسب کے بیرونی اور درمیانی ارکان کیا ہیں؟
a : b = c : d کی تحریر میں بیرونی ارکان وہ ہیں جو کنارے پر ہیں، یعنی a اور d۔ درمیانی وہ ہیں جو درمیان میں ہیں، یعنی b اور c۔ اگر تناسب کسر کی شکل میں لکھا گیا ہے، تو بیرونی ارکان پہلی کسر کا شمار کنندہ اور دوسری کا صحیح، جبکہ درمیانی پہلی کا صحیح اور دوسری کا شمار کنندہ ہیں۔
تناسب کی درستگی کیسے جانچیں؟
کالے کراس کی طرح ضرب دیں اور حاصل ضرب کا موازنہ کریں۔ مثال کے طور پر، 9 : 12 = 15 : 20 کے لیے 9 · 20 = 180 اور 12 · 15 = 180 کا حساب لگاتے ہیں — اعداد برابر ہیں، یعنی تناسب درست ہے۔ اگر حاصل ضرب مختلف ہیں، تو تناسب غلط ہے۔
کیا تناسب کے ارکان کی جگہ بدلی جا سکتی ہے؟
ہاں، اگر یہ قواعد کے مطابق کیا جائے۔ درست تناسب میں بیرونی ارکان کی جگہ بدلی جا سکتی ہے، درمیانی ارکان کی جگہ بدلی جا سکتی ہے، یا دونوں اطراف کو ایک ساتھ الٹا کیا جا سکتا ہے — تناسب درست رہے گا۔ 4 : 6 = 10 : 15 سے 4 : 10 = 6 : 15 یا 6 : 4 = 15 : 10 حاصل ہوتا ہے — ہر جگہ ترچھے کا حاصل ضرب 60 کے برابر ہے۔ لیکن صرف ایک عدد کی جگہ بدلنا ممکن نہیں۔
«کالے کراس سے تناسب حل کرنا» کا کیا مطلب ہے؟
یہ تناسب کی بنیادی خاصیت کا عام نام ہے۔ اعداد کو ترچھے، کالے کراس کی طرح ضرب دیا جاتا ہے: بیرونی کو بیرونی سے اور درمیانی کو درمیانی سے۔ اس سے ایک نامعلوم کے ساتھ ایک مساوات بنتی ہے، جو ایک تقسیم سے حل ہوتی ہے۔ بنیادی خاصیت کے علاوہ کوئی الگ 'کالے کراس کا طریقہ' موجود نہیں۔
مسالے میں براہ راست تعلق ہے یا الٹا؟
ذہنی طور پر پہلی مقدار کو 2 گنا بڑھائیں اور دوسری کو دیکھیں۔ اگر وہ بھی دگنی ہو جائے — تعلق براہ راست ہے، تناسب 'جیسا ہے ویسا' بنایا جاتا ہے۔ اگر دگنی کم ہو جائے — تعلق الٹا ہے، دوسرے نسبت کو الٹنا ہوگا۔ ایک اور نشانی: براہ راست تعلق میں مقداروں کا نسبت مستقل ہوتا ہے، الٹی میں — ان کا حاصل ضرب۔
تناسب کے ذریعے فیصد کے مسائل کیسے حل کریں؟
تناسب 'حصہ : کل = فیصد : 100' بنائیں اور نامعلوم کو کالے کراس سے تلاش کریں۔ مثال کے طور پر، 350 کا 12%: ہمیں x : 350 = 12 : 100 ملتا ہے، یعنی 100x = 4200 اور x = 42۔ اسی طریقے سے کل معلوم حصے سے، اور خود فیصد بھی تلاش کیا جاتا ہے۔
