الجذر التربيعي للعدد \(a\) هو عدد مربعه يساوي \(a\)، ويُطلق على الجذر التربيعي الحسابي فقط قيمته غير السالبة: \(\sqrt{25} = 5\). لا يمكن استخراج الجذر إلا من الأعداد غير السالبة، ولكن خصائص الجذر تحول التعبيرات المعقدة إلى تعبيرات قصيرة. في هذه الصفحة - التعريف ومجال التعريف، وجميع خصائص الجذر التربيعي مع الصيغ، وجدول الجذور التربيعية من 1 إلى 20، وطرق استخراج الجذر وإخراج العامل، وأمثلة مشروحة، وأخطاء شائعة، ومدرب تفاعلي.
ما هو الجذر التربيعي لعدد
الجذر التربيعي لعدد \(a\) هو عدد مربعه يساوي \(a\). استخراج الجذر والرفع إلى الأس التربيعي عمليتان متعاكستان: من \(7^2 = 49\) يتبع مباشرة أن الجذر التربيعي لـ 49 يساوي 7.
ولكن للعدد الموجب جذران تربيعيان اثنان بالضبط، ويختلفان فقط في الإشارة: \(5^2 = 25\) و \((-5)^2 = 25\)، أي أن الجذرين التربيعيين لـ 25 هما 5 و -5. لكي يمثل الرمز \(\sqrt{25}\) عددًا واحدًا فقط، تم الاتفاق على: الرمز \(\sqrt{\phantom{a}}\) يمثل فقط الجذر غير السالب. وهذا ما يسمى بالجذر الحسابي.
للرمز أسماء خاصة: الرمز \(\sqrt{\phantom{a}}\) هو علامة الجذر، والعدد أو التعبير تحته هو المقدار الجذري.
الجذر التربيعي الحسابي: التعريف ومجال التعريف
الجذر التربيعي الحسابي لعدد غير سالب \(a\) هو عدد غير سالب مربعه يساوي \(a\). يُرمز له بـ \(\sqrt{a}\) ويُقرأ «جذر أ».
يحتوي التعريف على شرطين، وكلاهما مهم بنفس القدر:
- المقدار الجذري غير سالب: \(a \ge 0\)؛
- قيمة الجذر غير سالبة: \(\sqrt{a} \ge 0\).
من هنا نحصل مباشرة على: \(\sqrt{25} = 5\)، وليس \(-5\)؛ \(\sqrt{0} = 0\)؛ والرمز \(\sqrt{-9}\) ليس له معنى في الأعداد الحقيقية - لا يوجد عدد مربعه سالب.
الشرط الأول يحدد مجال تعريف التعبير الذي يحتوي على جذر. على سبيل المثال، \(\sqrt{x-7}\) له معنى عندما \(x - 7 \ge 0\)، أي عندما \(x \ge 7\): أي قيمة أصغر لـ \(x\) ستضع عددًا سالبًا تحت الجذر.
من التعريف يتبع أيضًا المساواة \((\sqrt{a})^2 = a\) عندما \(a \ge 0\): رفع الجذر إلى الأس التربيعي يعيد العدد الأصلي تحت الجذر. وهذا يعمل حتى عندما لا يمكننا حساب الجذر بدقة: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
جدول الجذور التربيعية: مربعات الأعداد من 1 إلى 20
يُستخرج الجذر التربيعي بشكل صحيح فقط عندما يكون العدد تحت الجذر مربعًا كاملاً. لذلك، يعمل جدول المربعات أيضًا كجدول للجذور التربيعية: يُقرأ في كلا الاتجاهين - \(14^2 = 196\)، مما يعني \(\sqrt{196} = 14\).
الجدول مفيد ليس فقط مع الأعداد الصحيحة:
- الأعداد العشرية: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\)، لأن \(0{,}8^2 = 0{,}64\)؛
- الكسور العادية: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - يتم استخراج الجذر بشكل منفصل للبسط وبشكل منفصل للمقام؛
- الأعداد المستديرة: \(\sqrt{2500} = 50\)، لأن \(2500 = 25 \cdot 100\)، وجذر كل عامل معروف.
خصائص الجذر التربيعي
تسمح خصائص الجذر التربيعي بحساب التعبيرات دون استخراج كل جذر على حدة، وتبسيط الإجابة.
جذر حاصل الضرب يساوي حاصل ضرب الجذور: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) عندما \(a \ge 0\) و \(b \ge 0\). على سبيل المثال، \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - نفس نتيجة \(\sqrt{144}\).
جذر حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة الجذور: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) عندما \(a \ge 0\) و \(b > 0\). على سبيل المثال، \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). الشرط \(b > 0\) صارم: لا يمكن القسمة على صفر.
جذر مربع العدد يساوي القيمة المطلقة: \(\sqrt{a^2} = |a|\)، وهذا صحيح لأي عدد \(a\). هنا تكمن الدقة الرئيسية في الموضوع بأكمله. إذا كان \(a \ge 0\)، فلا يتغير شيء: \(\sqrt{7^2} = 7\). ولكن عند \(a\) السالب، «يستقيم» الرمز: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)، وليس \(-6\) - لأن الجذر الحسابي لا يمكن أن يكون سالبًا.
مربع الجذر يعيد العدد تحت الجذر: \((\sqrt{a})^2 = a\) عندما \(a \ge 0\).
أما بالنسبة للجمع والطرح، فلا توجد خصائص مماثلة: جذر المجموع لا يساوي مجموع الجذور. وهذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا في هذا الموضوع، وسيتم شرحه لاحقًا.
| الخاصية والشرط | مثال |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bعندما a ≥ 0 و b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bعندما a ≥ 0 و b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|لأي a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aعندما a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bعندما b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
كيفية استخراج الجذر التربيعي لعدد
الآلة الحاسبة ليست دائمًا في متناول اليد، ولكن تمارين المدرسة غالبًا ما تكون مصممة بحيث يمكن استخراج الجذر. ترتيب الخطوات هو كالتالي.
- تحقق من جدول المربعات. إذا كان العدد موجودًا في الجدول، فالإجابة جاهزة: \(\sqrt{289} = 17\).
- افصل العامل المستدير. بالنسبة للأعداد التي تحتوي على أصفار، من المناسب فصل 100، 10,000، وهكذا: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- حلل إلى عوامل أولية. هذه طريقة عالمية: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)، نقسم أسس العوامل على اثنين ونحصل على \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- حول العدد العشري إلى كسر عادي. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). وهذا ينقذ أيضًا من فقدان المنزلة.
- إذا لم يكن هناك مربع كامل - فالجذر غير نسبي. في هذه الحالة، يُترك الرمز في الإجابة (يكتب هكذا: \(\sqrt{30}\))، أو يتم تقديره بين مربعين متجاورين.
التحقق يستغرق ثانية: نرفع العدد الناتج إلى الأس التربيعي ونرى ما إذا كنا قد عدنا إلى العدد الأصلي تحت الجذر. \(24^2 = 576\) - صحيح.
إخراج العامل من تحت الجذر
نادراً ما يُترك الجذر «خاماً» - يُخرج منه كل ما يمكن استخراجه. تعمل الخاصية \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) عندما \(b \ge 0\): نبحث عن أكبر قاسم تربيعي للعدد تحت الجذر.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)؛
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)؛
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
الإجراء العكسي هو إدخال العامل تحت الجذر: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) عندما \(a \ge 0\). على سبيل المثال، \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
مع العامل السالب، يلزم الحذر: لا يدخل الناقص تحت الجذر ويبقى في الخارج. الكتابة الصحيحة هي \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)، وليس \(\sqrt{12}\).
لماذا هذا ضروري: بعد إخراج العامل، تصبح الجذور ذات المقدار الجذري المتشابه حدودًا متشابهة، ويمكن جمعها. وإدخال العامل تحت الجذر هو أسرع طريقة لمقارنة تعبيرين يحتويان على جذور.
ما هو الجذر التربيعي الذي لا يمكن استخراجه
إذا لم يكن العدد تحت الجذر مربعًا كاملاً، فإن الجذر هو عدد غير نسبي: تمثيله العشري لا نهائي وغير دوري. على سبيل المثال، \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\)، والقيمة الدقيقة تُكتب فقط بالرمز \(\sqrt{2}\). تُكتب الإجابة المقربة فقط عندما يُطلب ذلك في السؤال.
يمكن تقدير هذا الجذر بدون آلة حاسبة: ابحث عن مربعين كاملين متجاورين يقع بينهما العدد تحت الجذر. تعمل قاعدة المقارنة: لـ \(a \ge 0\) و \(b \ge 0\) من \(a < b\) يتبع \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - العدد الأكبر تحت الجذر يقابله جذر أكبر.
أمثلة على حسابات الجذور التربيعية
مثال 1. قيمة تعبير يحتوي على جذور
احسب \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
الخطوة 1. \(\sqrt{121} = 11\)، لأن \(11^2 = 121\).
الخطوة 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\)، لأن \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
الخطوة 3. نستخرج الجذر للكسر بشكل منفصل للبسط والمقام: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
الخطوة 4. نجمع: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
الإجابة: 11.
مثال 2. جذر حاصل الضرب
احسب \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
الخطوة 1. لا يمكن استخراج هذين الجذرين بشكل منفصل، لذلك ندمجهما في جذر واحد: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
الخطوة 2. نحسب حاصل الضرب تحت الجذر: \(8 \cdot 18 = 144\).
الخطوة 3. \(\sqrt{144} = 12\).
طريقة أخرى - إخراج العوامل مسبقًا: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) و \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)، لذا \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). تطابقت الإجابات.
الإجابة: 12.
مثال 3. استخراج الجذر بالتحليل إلى عوامل
احسب \(\sqrt{576}\) و \(\sqrt{6400}\).
الخطوة 1. العدد 576 غير موجود في جدول المربعات، لذلك نحلله إلى عوامل أولية: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
الخطوة 2. نقسم أسس العوامل على اثنين: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
الخطوة 3. التحقق. \(24^2 = 576\) - صحيح.
الخطوة 4. بالنسبة للعدد 6400، من الأسهل فصل العامل المستدير: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). التحقق: \(80^2 = 6400\).
الإجابة: \(\sqrt{576} = 24\)، \(\sqrt{6400} = 80\).
مثال 4. إخراج العامل وجمع الحدود المتشابهة
بسّط \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
الخطوة 1. نخرج العوامل من تحت كل جذر: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\)، لذا \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
الخطوة 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
الخطوة 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
الخطوة 4. لا يمكن جمع إلا الجذور ذات المقدار الجذري المتشابه: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)، أما الحد الذي يحتوي على \(\sqrt{3}\) فيبقى منفصلاً.
الإجابة: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
مثال 5. جذر مربع متغير
بسّط \(\sqrt{(x-4)^2}\) عندما \(x < 4\).
الخطوة 1. وفقًا لخاصية جذر مربع العدد \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - نكتب القيمة المطلقة مباشرة، وليس \(x - 4\).
الخطوة 2. نفتح القيمة المطلقة حسب الشرط. إذا كان \(x < 4\)، فإن الفرق \(x - 4\) سالب، والقيمة المطلقة للعدد السالب هي العدد المعاكس له: \(|x-4| = 4 - x\).
الخطوة 3. التحقق. لنأخذ \(x = 1\): في الطرف الأيسر \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\)، في الطرف الأيمن \(4 - 1 = 3\) - تطابق.
الإجابة: \(4 - x\). للمقارنة، عندما \(x \ge 4\)، تكون الإجابة \(x - 4\).
مثال 6. مقارنة تعبيرات تحتوي على جذور
قارن \(3\sqrt{5}\) و \(5\sqrt{2}\).
الخطوة 1. كلا العددين موجبين، لذلك ندخل العامل تحت الجذر: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
الخطوة 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
الخطوة 3. نقارن الأعداد تحت الجذر: \(45 < 50\)، والعدد الأكبر تحت الجذر يقابله جذر أكبر.
الإجابة: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
أخطاء شائعة عند التعامل مع الجذر التربيعي
-
يكتبون $\sqrt{a^2} = a$، وينسون القيمة المطلقة.
المساواة الصحيحة هي \(\sqrt{a^2} = |a|\). بالنسبة للعدد السالب، هذا أمر أساسي: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\)، وليس \(-13\). الجذر الحسابي لا يمكن أن يكون سالبًا، لذلك «يستقيم» الرمز تحت الجذر.
-
يعتقدون أن جذر المجموع يساوي مجموع الجذور: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
لا توجد خاصية كهذه. أولاً، نقوم بالعملية تحت الجذر: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)، وليس 7. الخصائص توجد فقط للضرب والقسمة: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) و \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
يجيبون بأن $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - الجذر الحسابي دائمًا واحد وهو غير سالب. قيمتان تظهران في مسألة أخرى: للمعادلة \(x^2 = 49\) جذران هما \(x = 7\) و \(x = -7\). لا يجوز الخلط بين رمز الجذر وحل المعادلة.
-
يكتبون $\sqrt{-16} = -4$، بحجة «سالب في سالب».
لا يمكن أن يكون العدد السالب تحت الجذر: \((-4)^2 = 16\)، وليس \(-16\)، لذا \(\sqrt{-16}\) ليس له معنى في الأعداد الحقيقية. أما التعبير \(-\sqrt{16} = -4\) فهو صحيح تمامًا - الناقص يقع أمام الجذر، وليس تحته.
-
يدخلون عاملاً سالبًا تحت الجذر: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
القاعدة \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) تعمل فقط عندما \(a \ge 0\). يبقى الناقص في الخارج: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). التحقق بالإشارة: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\)، و \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - العددان متعاكسان.
-
يفقدون منزلة في العدد العشري: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
تحقق بالرفع إلى الأس التربيعي العكسي: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\)، لا يتطابق. الصحيح هو \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\)، لأن \(0{,}2^2 = 0{,}04\). الطريقة الموثوقة هي التحويل إلى كسر عادي: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
يعتقدون أن الجذر دائمًا أصغر من العدد نفسه.
هذا صحيح فقط للأعداد الأكبر من واحد. في الفترة من 0 إلى 1، يحدث العكس: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\)، و \(0{,}5\) أكبر من \(0{,}25\). أما بالنسبة لـ 0 و 1، فالجذر يساوي العدد نفسه.
أسئلة وأجوبة
ما هو الجذر التربيعي الحسابي بكلمات بسيطة؟
هو عدد غير سالب، وعند رفعه إلى الأس التربيعي يعطي العدد تحت الجذر. يُرمز له بـ \(\sqrt{a}\)، بشرط أن يكون المقدار الجذري غير سالب: \(a \ge 0\). على سبيل المثال، \(\sqrt{64} = 8\)، لأن \(8 \ge 0\) و \(8^2 = 64\).
ما الفرق بين الجذر التربيعي والجذر التربيعي الحسابي؟
للعدد الموجب جذران تربيعيان - متعاكسان في الإشارة. يُطلق على الجذر الحسابي فقط الجزء غير السالب منهما، وهو ما يمثله الرمز \(\sqrt{\phantom{a}}\). لذلك \(\sqrt{25} = 5\)، على الرغم من أن المعادلة \(x^2 = 25\) لها جذران: 5 و -5.
كيف تستخرج الجذر التربيعي لعدد بدون آلة حاسبة؟
أولاً، تحقق من العدد في جدول المربعات. إذا لم يكن موجودًا - حلله إلى عوامل وفصل المربعات الكاملة: \(784 = 16 \cdot 49\)، لذا \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). تحقق دائمًا من الإجابة بالعملية العكسية: \(28^2 = 784\).
هل يمكن استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب؟
في الأعداد الحقيقية - لا: مربع أي عدد غير سالب، لذا فإن التعبير \(\sqrt{-9}\) ليس له معنى. من هذا الشرط نحدد مجال التعريف: على سبيل المثال، \(\sqrt{x-7}\) موجود فقط عندما \(x \ge 7\).
ما هو جذر مربع العدد؟
القيمة المطلقة لهذا العدد: \(\sqrt{a^2} = |a|\). إذا كان \(a\) غير سالب، تحصل على العدد نفسه، وإذا كان سالبًا - تحصل على العدد المعاكس له: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
كيف تخرج عاملاً من تحت الجذر؟
ابحث عن أكبر قاسم تربيعي للعدد تحت الجذر وطبق الخاصية \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). على سبيل المثال، \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). الإجراء العكسي هو إدخال العامل تحت الجذر: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
ما هو الجذر التربيعي لـ 2؟
العدد \(\sqrt{2}\) غير نسبي: تمثيله العشري لا نهائي وغير دوري، \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). لا توجد قيمة دقيقة في صورة كسر، لذلك تُترك في الإجابات بالرمز \(\sqrt{2}\)، ويتم التقريب فقط إذا تطلب الشرط ذلك.
كيف تقارن بين عددين يحتويان على جذور دون حسابهما؟
أدخل العوامل تحت الجذر وقارن الأعداد تحت الجذر: العدد الأكبر تحت الجذر يقابله جذر أكبر. على سبيل المثال، قارن \(\sqrt{17}\) و 4: بما أن \(4 = \sqrt{16}\) و \(17 > 16\)، فإن \(\sqrt{17} > 4\).
في أي صف يتم دراسة الجذور التربيعية؟
في الصف الثامن في دروس الجبر: أولاً تعريف الجذر التربيعي الحسابي وخصائصه، ثم تحويل التعبيرات التي تحتوي على جذور وحل المعادلات من النوع \(x^2 = a\). لاحقًا، تظهر الجذور في صيغة المميز وفي مسائل OGE و EGE.
