مختصر ضرب کے فارمولے (ФСУ) تیار شدہ الجبری شناختیں ہیں جو آپ کو طویل ضرب کے بغیر بریکٹ کھولنے اور اظہار کو فیکٹرائز کرنے کی اجازت دیتی ہیں۔ اس صفحہ پر ساتوں فارمولوں کا جدول موجود ہے: مجموعہ اور فرق کا مربع، مربعوں کا فرق، مجموعہ اور فرق کا مکعب، اور مکعبوں کا مجموعہ اور فرق۔ ہم ہر فارمولے کو اخذ کرنے اور مثالوں کے ساتھ سمجھاتے ہیں، اور آخر میں ایک انٹرایکٹو ٹرینر ہے جہاں آپ مشق کر سکتے ہیں۔
مختصر ضرب کے فارمولے کیا ہیں
مختصر ضرب کے فارمولے وہ شناختیں ہیں جو کثیر رقمی (polynomials) کو ایک بار احتیاط سے ضرب دینے اور نتیجہ یاد رکھنے سے حاصل ہوتی ہیں۔ اس کے بعد، آپ کو ہر بار بریکٹ کھولنے کی ضرورت نہیں پڑتی: بس 'پیٹرن' کو پہچانیں اور اپنے نمبر یا متغیرات درج کریں۔
ساتویں جماعت کے الجبرا کے نصاب میں، یہ فارمولے دو سمتوں میں کام کرتے ہیں:
- بائیں سے دائیں — بریکٹ کو تیزی سے کھولنے اور کسی اظہار کا مربع یا مکعب لینے کے لیے؛
- دائیں سے بائیں — کثیر رقمی کو فیکٹرائز کرنے کے لیے (یہ کسروں کو مختصر کرنے اور مساوات حل کرنے کے لیے ضروری ہے)۔
کل سات فارمولے یاد کیے جاتے ہیں۔ نیچے ایک جدول ہے، اور پھر ہر فارمولے کی الگ سے وضاحت ہے۔
مختصر ضرب کے فارمولوں کا جدول
مختصر ضرب کے تمام سات فارمولے ایک جدول میں دیکھنا آسان ہے۔ یہاں \(a\) اور \(b\) کوئی بھی اظہار ہو سکتے ہیں: ایک عدد، متغیر، یا \(2x\) جیسا یک رقمی (monomial)۔
| فارمولا | لکھائی |
|---|---|
| مجموعہ کا مربع | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| فرق کا مربع | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| مربعوں کا فرق | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| مجموعہ کا مکعب | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| فرق کا مکعب | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| مکعبوں کا مجموعہ | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| مکعبوں کا فرق | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
مجموعہ کا مربع اور فرق کا مربع
مجموعہ کا مربع تب حاصل ہوتا ہے جب \((a+b)\) کو خود سے ضرب دیا جائے:
الفاظ میں: مجموعہ کا مربع برابر ہے پہلے اظہار کا مربع جمع دو گنا پہلا ضرب دوسرا جمع دوسرے کا مربع۔ اسی طرح فرق کا مربع اخذ کیا جاتا ہے — درمیانی رکن کی علامت منفی ہو جاتی ہے:
سب سے اہم بات — درمیانی رکن \(2ab\) کو نہ بھولیں: اسی کی وجہ سے \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\)۔ مجموعہ اور فرق کے مربع میں صرف \(2ab\) سے پہلے کی علامت مختلف ہوتی ہے، جبکہ کنارے والے ارکان \(a^2\) اور \(b^2\) ہمیشہ مثبت ہوتے ہیں۔
مثال۔ \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
مجموعہ کے مربع کا ایک بصری ہندسی مفہوم بھی ہے: یہ \((a+b)\) ضلع والے بڑے مربع کا رقبہ ہے۔
مربعوں کا فرق
اگر ایک ہی اظہار کے مجموعہ اور فرق کو ضرب دیا جائے تو درمیانی ارکان ایک دوسرے کو ختم کر دیتے ہیں:
نتیجہ مربعوں کے فرق کا فارمولا ہے: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)۔ یہ فیکٹرائزیشن کے لیے سب سے مفید فارمولا ہے: جیسے ہی آپ دو مربعوں کا فرق دیکھیں، اسے فوراً ضرب کی شکل میں لکھ دیں۔
مثال (بریکٹ کھولنا)۔ \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
مثال (فیکٹرائزیشن)۔ \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
اہم: مربعوں کا مجموعہ \(a^2 + b^2\) اس فارمولے کے ذریعے فیکٹرائز نہیں ہوتا — صرف فرق کام کرتا ہے۔
مجموعہ کا مکعب، فرق کا مکعب، مکعبوں کا مجموعہ اور فرق
مجموعہ کا مکعب اور فرق کا مکعب چار ارکان پر مشتمل ہوتے ہیں:
فرق کے مکعب میں علامتیں باری باری آتی ہیں: \(+\,-\,+\,-\)۔ اور پھر ایک عام غلطی: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — آپ صرف طاقت کو 'تقسیم' نہیں کر سکتے، درمیانی ارکان \(3a^2b\) اور \(3ab^2\) کو نہیں چھوڑا جا سکتا۔
مثال۔ \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
مکعبوں کا مجموعہ اور فرق الگ ہیں — وہ اس کے برعکس، اظہار کو فیکٹرائز کرتے ہیں:
دوسرے فیکٹر کو مجموعہ یا فرق کا نامکمل مربع کہا جاتا ہے۔ اس کے درمیانی رکن کی علامت ہمیشہ پہلی بریکٹ کی علامت کے مخالف ہوتی ہے: مکعبوں کے مجموعے میں \(-ab\)، مکعبوں کے فرق میں \(+ab\)۔
مثال۔ \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
مختصر ضرب کے فارمولوں کے اطلاق کی مثالیں
مثال 1. بریکٹ کھولنا: مجموعہ کا مربع
سوال۔ \((2x+5)^2\) کا مربع لیں۔
مرحلہ 1. مجموعہ کے مربع کا فارمولا پہچانیں: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2، جہاں \(a = 2x\)، \(b = 5\).
مرحلہ 2. ہر رکن کا حساب لگائیں:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
جواب۔ \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
مثال 2. مربعوں کے فرق کے فارمولے میں سمیٹنا
سوال۔ ضرب \((3x-4)(3x+4)\) معلوم کریں۔
مرحلہ 1. ہمارے سامنے ایک ہی اظہار کے فرق اور مجموعہ کا ضرب ہے — یہ مربعوں کا فرق ہے $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2، جہاں \(a = 3x\)، \(b = 4\).
مرحلہ 2. ہر اظہار کا مربع لیں: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\)، \(b^2 = 4^2 = 16\).
جواب۔ \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
مثال 3. فیکٹرائزیشن
سوال۔ \(x^2 - 36\) اور \(x^3 + 27\) کو فیکٹرائز کریں۔
مربعوں کا فرق۔ \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
مکعبوں کا مجموعہ۔ ہم دیکھتے ہیں کہ \(27 = 3^3\)، یعنی \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\)۔ فارمولا \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) استعمال کریں جہاں \(a = x\)، \(b = 3\):
نامکمل مربع میں \(-3x\) کی علامت پر توجہ دیں — مکعبوں کے مجموعے میں درمیانی رکن منفی علامت کے ساتھ ہوتا ہے۔
مثال 4. مجموعہ کا مکعب
سوال۔ بریکٹ \((x+2)^3\) کھولیں۔
مرحلہ 1. مجموعہ کے مکعب کا فارمولا: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3، جہاں \(a = x\)، \(b = 2\).
مرحلہ 2. ترتیب سے ارکان کا حساب لگائیں:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
جواب۔ \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
مختصر ضرب کے فارمولوں کے ساتھ عام غلطیاں
-
دو گنا ضرب کو بھول جانا: لکھتے ہیں $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
مجموعہ اور فرق کے مربع میں ہمیشہ ایک درمیانی رکن \(2ab\) ہوتا ہے: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). چیک کرنا آسان ہے — \((a+b)(a+b)\) کو کالم میں ضرب دیں، درمیانی رکن خود بخود ظاہر ہو جائے گا۔
-
فرق کے مربع اور مربعوں کے فرق میں علامتوں کو ملانا۔
فرق کے مربع میں مائنس صرف درمیانی رکن کے ساتھ ہوتا ہے: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (کنارے والے مثبت ہوتے ہیں)۔ اور مربعوں کے فرق میں مائنس خود مربعوں کے درمیان ہوتا ہے: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). یہ مختلف فارمولے ہیں۔
-
مکعب کی طاقت کو 'تقسیم' کرنا: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
ایسا نہیں کرنا چاہیے۔ مجموعہ کے مکعب میں چار ارکان ہوتے ہیں: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). فارمولا \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) کچھ اور ہے (مکعبوں کا مجموعہ)، یہ فیکٹرائزیشن کے بارے میں ہے۔
-
مکعبوں کے مجموعہ/فرق کے نامکمل مربع میں دو گنا ضرب $2ab$ لگانا۔
نامکمل مربع \(a^2 \pm ab + b^2\) ہے، \(ab\) سے پہلے دو نہیں ہے۔ علامت پہلی بریکٹ کی علامت کے مخالف ہوتی ہے: مکعبوں کا مجموعہ \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\)، مکعبوں کا فرق \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
مربعوں کے مجموعہ $a^2 + b^2$ کو فیکٹرائز کرنے کی کوشش کرنا۔
صرف مربعوں کا فرق \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) فیکٹرائز ہوتا ہے۔ اسکول کے نصاب میں مربعوں کا مجموعہ \(a^2 + b^2\) فیکٹرائز نہیں ہوتا۔
سوالات اور جوابات
مختصر ضرب کے کل کتنے فارمولے ہیں؟
سات: مجموعہ کا مربع، فرق کا مربع، مربعوں کا فرق، مجموعہ کا مکعب، فرق کا مکعب، مکعبوں کا مجموعہ اور مکعبوں کا فرق۔ یہ سب اوپر جدول میں دیے گئے ہیں۔
مجموعہ کا مربع کس کے برابر ہے؟
پہلے اظہار کا مربع جمع دو گنا پہلا ضرب دوسرا جمع دوسرے کا مربع: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). فرق کے مربع میں درمیانی رکن منفی علامت کے ساتھ ہوتا ہے: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
مربعوں کے فرق کو فیکٹرائز کیسے کریں؟
فارمولا \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) کے ذریعے۔ مثال کے طور پر، \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). بس یہ دیکھنا کافی ہے کہ دونوں ارکان مکمل مربع ہیں، اور ان کے درمیان مائنس ہے۔
کیوں $(a+b)^2$ برابر نہیں ہے $a^2 + b^2$ کے؟
کیونکہ \((a+b)(a+b)\) کو ضرب دینے پر دو اور یکساں ارکان \(ab\) ظاہر ہوتے ہیں، جو درمیانی رکن \(2ab\) بناتے ہیں۔ اسے نہیں چھوڑا جا سکتا: صحیح ہے \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
مجموعہ کا مکعب اور مکعبوں کا مجموعہ میں کیا فرق ہے؟
مجموعہ کا مکعب \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) بریکٹ کھولنے کے لیے ہے۔ مکعبوں کا مجموعہ \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) اس کے برعکس، اظہار کو فیکٹرائز کرنے کے لیے ہے۔ یہ مختلف فارمولے ہیں، انہیں نہ ملائیں۔
مختصر ضرب کے فارمولے کس جماعت میں پڑھائے جاتے ہیں؟
عام طور پر ساتویں جماعت میں الجبرا کے اسباق میں: پہلے مجموعہ اور فرق کا مربع، مربعوں کا فرق، پھر مکعب کے فارمولے۔ انہیں بعد میں اظہار کو آسان بنانے، کسروں کو مختصر کرنے اور مساوات حل کرنے میں فعال طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔
