نطقی عدم مساوات ایک ایسی عدم مساوات ہے جو \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) کی شکل میں ہوتی ہے، جہاں \(P(x)\) اور \(Q(x)\) کثیرالاضلاع ہیں، اور \(>\) کی علامت کے بجائے \(<\), \(\ge\) یا \(\le\) ہو سکتا ہے۔ ان عدم مساوات کو وقفوں کے طریقے سے حل کیا جاتا ہے: سب کچھ بائیں جانب منتقل کریں، عوامل میں تقسیم کریں، عددی محور پر شمار کنندہ کے صفر اور تقسیم کنندہ کے صفر کو نشان زد کریں اور نشانات لگائیں۔ ذیل میں تعریف، مکمل الگورتھم، خارج شدہ نکات کا قاعدہ، جڑوں کی کثرت، حل شدہ مثالیں اور جانچ کے ساتھ ایک ٹرینر دیا گیا ہے۔
نطقی عدم مساوات کیا ہے؟
نطقی عدم مساوات ایک ایسی عدم مساوات ہے جس کے دونوں حصے نطقی اظہارات کے طور پر لکھے جاتے ہیں، یعنی کثیرالاضلاع اور کثیرالاضلاع سے بنی کسور۔ ایک حصے میں سب کچھ منتقل کرنے کے بعد، یہ ہمیشہ اس شکل میں کم ہو جاتی ہے
جہاں \(P(x)\) اور \(Q(x)\) کثیرالاضلاع ہیں، اور \(\vee\) کی جگہ \(<\), \(>\), \(\le\) یا \(\ge\) میں سے کوئی ایک علامت موجود ہے۔ دائیں جانب لازمی طور پر صفر ہونا چاہیے — یہ وہ شرط ہے جس کے بغیر وقفوں کا طریقہ کام نہیں کرتا۔
نطقی عدم مساوات کی دو اقسام ہوتی ہیں۔ اگر متغیر صرف شمار کنندہ میں ظاہر ہوتا ہے، تو عدم مساوات کو صحیح نطقی کہا جاتا ہے: تقسیم کرنے کے لیے کچھ نہیں ہے، اور \(x\) کی کوئی بھی قدر موزوں ہے۔ اگر متغیر تقسیم کنندہ میں موجود ہے، تو عدم مساوات جزوی نطقی (اسے جزوی عدم مساوات یا کسر والی عدم مساوات بھی کہا جاتا ہے) ہے — اور پھر فوراً ایک شرط \(Q(x) \neq 0\) ظاہر ہوتی ہے۔
دونوں اطراف کو تقسیم کنندہ سے ضرب کیوں نہیں دی جا سکتی؟
کسر والی عدم مساوات کو حل کرتے وقت سب سے بڑا لالچ یہ ہوتا ہے کہ دونوں اطراف کو اس سے ضرب دے کر 'تقسیم کنندہ سے چھٹکارا حاصل' کیا جائے۔ مساوات کے ساتھ ایسا کیا جا سکتا ہے، لیکن عدم مساوات کے ساتھ نہیں، اس کی سادہ وجہ یہ ہے کہ جب کسی منفی عدد سے ضرب دی جاتی ہے تو عدم مساوات کا نشان الٹ جاتا ہے، اور \(Q(x)\) کے اظہار کا نشان پہلے سے معلوم نہیں ہوتا — یہ \(x\) پر منحصر ہوتا ہے۔
عدم مساوات \(\frac{5}{x-3} < 1\) کو دیکھیں۔ دونوں اطراف کو \(x - 3\) سے ضرب دیں، جیسے کہ یہ مثبت عدد ہو: \(5 < x - 3\) ملے گا، یعنی \(x > 8\)۔ جواب کو \(x = 0\) رکھ کر جانچیں: \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — عدم مساوات درست ہے، تو صفر بھی حل ہے، لیکن یہ \(x > 8\) کے جواب میں شامل نہیں ہوا۔ جواب ضائع ہو گیا۔
صحیح طریقہ یہ ہے کہ سب کچھ بائیں جانب منتقل کریں اور ایک کسر میں لائیں:
آخری مرحلے میں ہم نے دونوں اطراف کو \(-1\) سے ضرب دی اور نشان الٹ دیا — یہ جائز ہے کیونکہ \(-1\) ہمیشہ منفی ہوتا ہے۔ اس کے بعد وقفوں کا طریقہ کام کرتا ہے، اور جواب \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) ملتا ہے — جس میں وہ ضائع شدہ صفر بھی شامل ہے۔
یاد رکھنے کا سب سے آسان طریقہ یہ ہے: متغیر والے اظہار سے دونوں اطراف کو ضرب دینا جائز نہیں ہے، اصطلاحات کو منتقل کرنا ہمیشہ جائز ہے۔ منتقلی سے عدم مساوات کا نشان نہیں بدلتا۔
وقفوں کا طریقہ: حل کا الگورتھم قدم بہ قدم
وقفوں کا طریقہ ایک خاصیت پر مبنی ہے: نطقی اظہار کے دو مسلسل صفر کے درمیان اس کا نشان مستقل رہتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ صرف ان تمام نکات کو تلاش کرنا کافی ہے جہاں شمار کنندہ یا تقسیم کنندہ صفر ہو جاتا ہے، ان سے عددی محور کو تقسیم کریں اور ہر حصے میں نشان کا تعین کریں — ایک آزمائشی نقطہ یا جڑوں کی کثرت کے ذریعے۔
خارج شدہ اور بھرے ہوئے نکات: ODZ اور عدم مساوات کا نشان
ایک قوس میں غلطی درست حل کو غلط جواب میں بدل سکتی ہے، اس لیے نکات کے قاعدے کو الگ سے سیکھنا چاہیے۔ صرف دو اصول کام کرتے ہیں۔
پہلا — قابل قبول اقدار کا دائرہ کار۔ تقسیم کنندہ کا صفر ہمیشہ خارج کیا جاتا ہے، عدم مساوات کے کسی بھی نشان کے ساتھ۔ اس نقطہ پر، کسر موجود ہی نہیں ہوتی: صفر سے تقسیم کرنا جائز نہیں ہے، اس لیے وہ عدد حل نہیں ہو سکتا، چاہے نشان غیر سخت ہی کیوں نہ ہو۔
دوسرا — سخت یا غیر سخت نشان۔ شمار کنندہ کے صفر کسر کو صفر کے برابر بناتے ہیں۔ غیر سخت نشان (\(\le\) یا \(\ge\)) کے ساتھ، صفر کے برابر ہونا قابل قبول ہے، اس لیے نقطہ بھرا جاتا ہے اور مربع بریکٹ کے ساتھ جواب میں شامل ہوتا ہے۔ سخت نشان (\(<\) یا \(>\)) کے ساتھ، صفر موزوں نہیں ہے، اور نقطہ خارج کیا جاتا ہے۔
مثال کے طور پر، عدم مساوات \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) کے لیے، نقطہ \(x = 6\) بھرا جاتا ہے (شمار کنندہ کا صفر، غیر سخت نشان)، جبکہ نقطہ \(x = -1\) خارج کیا جاتا ہے (تقسیم کنندہ کا صفر)۔ جواب: \(x \in (-1; 6]\)۔
| کون سا نقطہ | کیسے نشان زد کریں |
|---|---|
| تقسیم کنندہ کا صفر، Q(x) = 0 | خارج شدہ ہمیشہ، کسی بھی نشان کے ساتھ — نقطہ ODZ میں شامل نہیں ہے |
| شمار کنندہ کا صفر، سخت نشان < یا > | خارج شدہ کسر صفر کے برابر ہے، لیکن ایک سخت مختلف نشان درکار ہے |
| شمار کنندہ کا صفر، غیر سخت نشان ≤ یا ≥ | بھر ہوا صفر کے برابر ہونا قابل قبول ہے، نقطہ جواب میں شامل ہے |
جڑوں کی کثرت: نشان کہاں بدلتا ہے اور کہاں نہیں
وقفوں پر نشانات کا بدلنا لازمی نہیں ہے — یہ اس موضوع میں سب سے عام غلط فہمی ہے۔ یہ صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب تمام قوسیں پہلی ڈگری میں شامل ہوں۔ قاعدہ زیادہ درست طریقے سے جڑ کی کثرت کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے — متعلقہ قوس کی ڈگری کا اشاریہ۔
طاق کثرت کی جڑ سے گزرتے وقت (ڈگری 1، 3، 5) اظہار کا نشان بدل جاتا ہے۔ جفت کثرت کی جڑ سے گزرتے وقت (ڈگری 2، 4) نشان نہیں بدلتا: جفت ڈگری میں قوس غیر منفی ہوتا ہے اور اظہار کے نشان کو خراب نہیں کرتا۔ کثرت شمار کنندہ اور تقسیم کنندہ دونوں کے لیے یکساں شمار کی جاتی ہے۔
\((x-9)^2(x+3) > 0\) کو لیں۔ جڑیں: \(x = 9\) کثرت 2 اور \(x = -3\) کثرت 1۔ نو سے دائیں جانب اظہار مثبت ہے۔ 9 سے گزرتے وقت — کثرت جفت ہے، نشان برقرار رہتا ہے، وقفے \((-3; 9)\) میں بھی مثبت۔ -3 سے گزرتے وقت — کثرت طاق ہے، نشان منفی میں بدل جاتا ہے۔ سخت عدم مساوات کا جواب: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\)، نقطہ 9 خارج شدہ ہے کیونکہ وہاں اظہار صفر کے برابر ہے. جبکہ غیر سخت \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) کا جواب مختلف ہے: \(x \in [-3; +\infty)\) — نو کو بھرا جاتا ہے اور دو وقفوں کو ایک میں 'جوڑتا' ہے۔
| جڑ کی کثرت | منتقلی پر نشان |
|---|---|
| طاق: (x − a), (x − a)3 | بدلتا ہے |
| جفت: (x − a)2, (x − a)4 | نہیں بدلتا |
عددی محور پر مثال: نشانات لگانا
آئیے عدم مساوات \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) پر سب کچھ اکٹھا کریں۔ شمار کنندہ کے صفر: \(x = -7\)۔ تقسیم کنندہ کے صفر: \(x = 2\) اور \(x = 5\)، جو ODZ بھی متعین کرتے ہیں۔ تمام تین قوسیں پہلی ڈگری میں ہیں، اس لیے نشانات بدلتے ہیں۔ آزمائشی نقطہ \(x = 10\) سب سے دائیں وقفے میں \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) دیتا ہے — ہم مثبت سے شروع کرتے ہیں اور ہر نقطہ پر نشان بدلتے ہوئے بائیں جانب جاتے ہیں۔
نطقی عدم مساوات کو حل کرنے کی مثالیں
مثال 1. سادہ جزوی عدم مساوات
حل کریں \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\)۔
قدم 1۔ دائیں جانب پہلے سے ہی صفر ہے، کسر پہلے سے ہی ایک ہے — منتقل کرنے اور لانے کی کوئی ضرورت نہیں۔
قدم 2۔ ODZ۔ \(x + 5 \neq 0\)، یعنی \(x \neq -5\)۔
قدم 3۔ صفر۔ شمار کنندہ \(x = 3\) پر صفر ہے، تقسیم کنندہ — \(x = -5\) پر۔
قدم 4۔ محور پر نکات۔ \(x = 3\) بھرا جاتا ہے (شمار کنندہ کا صفر، غیر سخت نشان)، \(x = -5\) خارج کیا جاتا ہے (تقسیم کنندہ کا صفر)۔
قدم 5۔ نشانات۔ آزمائشی نقطہ \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — دائیں جانب مثبت۔ دونوں قوسیں پہلی ڈگری میں ہیں، اس لیے نشانات بدلتے ہیں: \((-5; 3)\) پر منفی، \((-\infty; -5)\) پر مثبت۔ جانچ کریں: \(x = -6\) پر ہمیں \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) ملتا ہے — درست ہے۔
قدم 6۔ جواب۔ ہمیں «مثبت یا صفر» کا نشان درکار ہے: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\)۔
مثال 2. دائیں جانب صفر نہیں ہے — منتقل کریں
حل کریں \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\)۔
قدم 1۔ ایک کو بائیں جانب منتقل کریں۔ \(x - 4\) سے ضرب دینا جائز نہیں ہے، اس اظہار کا نشان نامعلوم ہے۔
قدم 2۔ ایک کسر میں لائیں۔
قدم 3۔ ODZ۔ \(x \neq 4\)۔
قدم 4۔ نکات۔ \(x = -5\) — شمار کنندہ کا صفر، غیر سخت نشان، بھرا جاتا ہے۔ \(x = 4\) — تقسیم کنندہ کا صفر، خارج کیا جاتا ہے۔
قدم 5۔ نشانات۔ \(x = 5\) پر کسر \(\frac{10}{1} > 0\) کے برابر ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ \((4; +\infty)\) پر مثبت، \((-5; 4)\) پر منفی، \((-\infty; -5)\) پر مثبت۔
قدم 6۔ جواب۔ \(x \in [-5; 4)\)۔ سرحدی نکات کی جانچ: \(x = -5\) پر کسر صفر کے برابر ہے — \(\le\) کے لیے موزوں ہے؛ \(x = 4\) پر کسر موجود نہیں ہے — موزوں نہیں ہے۔
مثال 3. جفت کثرت کی جڑ اور الگ تھلگ نقطہ
حل کریں \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\)۔
قدم 1۔ ODZ۔ \(x \neq 9\)۔
قدم 2۔ صفر اور کثرت۔ \(x = 2\) — کثرت 2 (جفت)، \(x = -6\) — کثرت 1، \(x = 9\) — تقسیم کنندہ میں کثرت 1۔
قدم 3۔ نکات۔ \(x = 2\) اور \(x = -6\) بھری جاتی ہیں (شمار کنندہ کے صفر غیر سخت نشان کے ساتھ)، \(x = 9\) خارج کیا جاتا ہے۔
قدم 4۔ نشانات۔ آزمائشی نقطہ \(x = 10\): شمار کنندہ مثبت ہے، تقسیم کنندہ 1 کے برابر ہے — مثبت۔ بائیں جانب جائیں۔ 9 سے گزرتے وقت (کثرت طاق) نشان بدلتا ہے: \((2; 9)\) پر منفی۔ 2 سے گزرتے وقت (کثرت جفت) نشان نہیں بدلتا: \((-6; 2)\) پر بھی منفی۔ -6 سے گزرتے وقت (کثرت طاق) نشان بدلتا ہے: \((-\infty; -6)\) پر مثبت۔
قدم 5۔ جواب۔ ہم «مثبت» والے وقفے لیتے ہیں اور وہ تمام نکات شامل کرتے ہیں جہاں اظہار صفر کے برابر ہوتا ہے۔ نقطہ \(x = 2\) منفی وقفے کے اندر ہے، لیکن خود اظہار وہاں صفر کے برابر ہے، اس لیے یہ جواب میں الگ سے شامل ہوتا ہے:
جواب میں ایسا 'تنہا' نقطہ — جفت کثرت کی جڑ کی صورت میں غیر سخت نشان کے ساتھ ایک درست نشانی ہے۔
مثال 4. کسر کو مختصر کرنا: ODZ کے ساتھ جال
حل کریں \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\)۔
قدم 1۔ عوامل میں تقسیم کریں۔ شمار کنندہ مکمل مربع ہے: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\)۔ تقسیم کنندہ کے لیے، ڈسکریمیننٹ کا حساب لگائیں: \(D = 81 + 40 = 121\)، جڑیں \(x_1 = \frac{1}{5}\) اور \(x_2 = -2\) ہیں، اس لیے \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\)۔
قدم 2۔ ODZ — کسی بھی اختصار سے پہلے۔ \(5x - 1 \neq 0\) اور \(x + 2 \neq 0\)، یعنی \(x \neq \frac{1}{5}\) اور \(x \neq -2\)۔
قدم 3۔ مختصر کریں۔ \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\)، لیکن صرف \(x \neq \frac{1}{5}\) کے لیے — اختصار خارج شدہ نقطہ کو واپس نہیں لاتا۔
قدم 4۔ \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\) حل کریں۔ صفر: \(\frac{1}{5}\) اور \(-2\)۔ \(x = 1\) پر کسر \(\frac{4}{3} > 0\) کے برابر ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ \((\frac{1}{5}; +\infty)\) پر مثبت، \((-2; \frac{1}{5})\) پر منفی، \((-\infty; -2)\) پر مثبت۔
قدم 5۔ ODZ واپس لائیں۔ وقفہ \((-2; \frac{1}{5}]\) نشان کے لحاظ سے موزوں ہوتا، لیکن نقطہ \(\frac{1}{5}\) خارج شدہ ہے: اصل عدم مساوات میں تقسیم کنندہ \(5x^2+9x-2\) جب \(x = \frac{1}{5}\) صفر ہو جاتا ہے، وہاں کسر موجود نہیں ہے۔
جواب: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — دونوں بریکٹ گول ہیں۔
مثال 5. شمار کنندہ میں مربع ثلاثی
حل کریں \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\)۔
قدم 1۔ شمار کنندہ کو عوامل میں تقسیم کریں۔ ویٹا کے نظریہ کے مطابق جڑوں کا مجموعہ 7 ہے، حاصل ضرب 10 ہے، اس لیے \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)۔ عدم مساوات \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) کی شکل اختیار کرتی ہے۔
قدم 2۔ ODZ۔ \(x \neq -4\)۔
قدم 3۔ نکات۔ تمام تینوں نکات خارج شدہ ہیں: \(-4\) — تقسیم کنندہ کا صفر، \(2\) اور \(5\) — سخت نشان کے ساتھ شمار کنندہ کے صفر۔
قدم 4۔ نشانات۔ آزمائشی نقطہ \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\)۔ تمام قوسیں پہلی ڈگری میں ہیں، اس لیے نشانات بدلتے ہیں: \((5; +\infty)\) پر مثبت، \((2; 5)\) پر منفی، \((-4; 2)\) پر مثبت، \((-\infty; -4)\) پر منفی۔
قدم 5۔ جواب۔ ہمیں سخت منفی کی ضرورت ہے: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\)۔ جانچ کے لیے سب سے پہلے: \(x = -5\) پر ہمیں \(\frac{70}{-1} < 0\) ملتا ہے، \(x = 3\) پر \(\frac{-2}{7} < 0\) — دونوں وقفے موزوں ہیں۔
نطقی عدم مساوات کو حل کرتے وقت عام غلطیاں
-
دونوں اطراف کو تقسیم کنندہ سے ضرب دیتے ہیں: $\frac{3}{x-8} > 1$ سے $3 > x - 8$ بناتے ہیں اور $x < 11$ لکھتے ہیں۔
اظہار \(x - 8\) کا نشان پہلے سے معلوم نہیں ہے، اور جب منفی سے ضرب دی جاتی ہے تو عدم مساوات الٹ جاتی ہے۔ جانچ: \(x = 0\) سے \(\frac{3}{-8} < 1\) ملتا ہے — صفر جواب \(x < 11\) میں شامل ہے حالانکہ یہ حل نہیں ہے۔ صحیح طریقہ: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\)، یعنی \(\frac{11-x}{x-8} > 0\)، جس سے \(x \in (8; 11)\) ملتا ہے۔
-
تقسیم کنندہ کے صفر کو بھرتے ہیں کیونکہ نشان غیر سخت ہے: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ کے لیے سات پر مربع بریکٹ کے ساتھ جواب لکھتے ہیں۔
تقسیم کنندہ کا صفر ہمیشہ، کسی بھی نشان کے ساتھ خارج کیا جاتا ہے: اس نقطہ پر کسر موجود ہی نہیں ہوتی۔ درست جواب: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — ایک پر مربع بریکٹ، سات پر گول بریکٹ۔
-
کسر کو مختصر کرتے ہیں اور ODZ کھو دیتے ہیں: $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ سے $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ بناتے ہیں اور جواب میں نقطہ $x = -3$ شامل کرتے ہیں۔
ODZ کو مختصر کرنے سے پہلے، اصل تقسیم کنندہ کے مطابق لکھا جاتا ہے: \(x \neq -3\) اور \(x \neq 5\)۔ مختصر شدہ کسر \(\frac{x+3}{x-5}\) وقفے \([-3; 5)\) پر غیر مثبت ہے — \(x = 0\) پر یہ \(-0{,}6\) کے برابر ہے، جو \(\le\) کے نشان کے لیے درکار ہے۔ لیکن نقطہ \(-3\) ODZ کی وجہ سے خارج شدہ ہے، اس لیے جواب \((-3; 5)\) ہے، نہ کہ \([-3; 5)\)۔
-
مانتے ہیں کہ وقفوں پر نشانات ہمیشہ بدلتے ہیں، اور $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ کے لیے ایک سے دائیں جانب منفی لگاتے ہیں۔
قوسوں کے پہلی ڈگری میں ہونے کی صورت میں ہی بدلنا درست ہے۔ جڑ \(x = 1\) کی کثرت 2 ہے، یعنی اس سے گزرتے وقت نشان نہیں بدلتا۔ اظہار \((-4; +\infty)\) پر مثبت ہے، سوائے خود ایک کے، جہاں یہ صفر کے برابر ہے۔ جواب: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)۔
-
اصطلاح کو منتقل کرتے وقت عدم مساوات کا نشان بدل دیتے ہیں: $\frac{x}{x-2} \le 3$ سے $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$ بناتے ہیں۔
ایک حصے سے دوسرے حصے میں اصطلاح کو منتقل کرنے سے عدم مساوات کا نشان نہیں بدلتا — صرف خود اصطلاح کا نشان بدلتا ہے۔ نشان صرف اس صورت میں الٹتا ہے جب دونوں اطراف کو منفی عدد سے ضرب یا تقسیم کیا جائے۔ درست ہے: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\)، آگے \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\)، یعنی \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)۔
-
صرف شمار کنندہ کے صفروں کو محور پر نشان زد کرتے ہیں، اور تقسیم کنندہ کو 'بعد میں' چیک کرتے ہیں: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ کے لیے ایک نقطہ $-11$ لگاتے ہیں۔
محور پر تمام صفروں کو فوراً نشان زد کیا جاتا ہے — شمار کنندہ اور تقسیم کنندہ دونوں کے، ورنہ وقفے غلط بنیں گے۔ یہاں \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\) ہے، اس لیے تین نکات ہیں: \(-11\), \(-4\) اور \(4\)، نہ کہ ایک۔ سب خارج شدہ ہیں (نشان سخت ہے)، جواب: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)۔
سوالات اور جوابات
نطقی عدم مساوات کیا ہے؟
یہ ایک ایسی عدم مساوات ہے جس کے دونوں حصے نطقی اظہارات (کثیرالاضلاع اور کثیرالاضلاع سے بنی کسور) ہیں۔ ایک حصے میں سب کچھ منتقل کرنے کے بعد، یہ \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) کی شکل میں کم ہو جاتی ہے، جہاں \(P(x)\) اور \(Q(x)\) کثیرالاضلاع ہیں، اور \(>\) کی جگہ \(<\), \(\le\) یا \(\ge\) ہو سکتا ہے۔
نطقی عدم مساوات کو کیسے حل کیا جائے؟
وقفوں کے طریقے سے چھ قدموں میں: سب کچھ بائیں جانب منتقل کریں تاکہ دائیں جانب صفر رہ جائے؛ اسے ایک کسر میں لائیں اور شمار کنندہ اور تقسیم کنندہ کو عوامل میں تقسیم کریں؛ ODZ لکھیں (\(Q(x) \neq 0\)); عددی محور پر شمار کنندہ اور تقسیم کنندہ کے صفروں کو نشان زد کریں؛ آزمائشی نقطہ اور جڑوں کی کثرت کے مطابق وقفوں پر نشانات لگائیں؛ مطلوبہ نشان والے وقفوں کو جواب میں لکھیں۔
جزوی نطقی عدم مساوات صحیح نطقی عدم مساوات سے کس طرح مختلف ہے؟
صحیح نطقی عدم مساوات میں متغیر صرف شمار کنندہ میں ہوتا ہے، مثال کے طور پر \((x-1)(x+4) > 0\)، اور ODZ — تمام حقیقی اعداد ہیں۔ جزوی نطقی عدم مساوات میں متغیر تقسیم کنندہ میں ہوتا ہے، مثال کے طور پر \(\frac{x-1}{x+4} > 0\)، اور ایک شرط \(x \neq -4\) ظاہر ہوتی ہے۔ طریقہ کار ایک ہی ہے — صرف خارج شدہ نکات بدلتے ہیں۔
کسر والی عدم مساوات کو کیسے حل کیا جائے؟
کسی بھی نطقی عدم مساوات کی طرح: پہلے سب کچھ بائیں جانب منتقل کریں اور اسے ایک کسر میں لائیں، نہ کہ دونوں اطراف کو تقسیم کنندہ سے ضرب دے کر۔ مثال کے طور پر، \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) کو \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\) میں تبدیل کیا جاتا ہے، یعنی \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\)۔ شمار کنندہ مستقل اور منفی ہے، اس لیے کسر غیر منفی صرف اس صورت میں ہوتی ہے جب تقسیم کنندہ منفی ہو: \(x + 2 < 0\)۔ جواب: \(x \in (-\infty; -2)\)۔
عدم مساوات کے دونوں اطراف کو تقسیم کنندہ سے ضرب کیوں نہیں دی جا سکتی؟
کیونکہ تقسیم کنندہ کا نشان \(x\) پر منحصر ہوتا ہے: جب مثبت اظہار سے ضرب دی جاتی ہے تو عدم مساوات کا نشان برقرار رہتا ہے، اور جب منفی سے ضرب دی جاتی ہے تو — الٹ جاتا ہے۔ پہلے سے یہ معلوم نہیں ہوتا کہ کون سا معاملہ آپ کے سامنے ہے، اس لیے حل کا کچھ حصہ ضائع ہو جاتا ہے، اور کچھ حصہ غلط طریقے سے شامل ہو جاتا ہے۔ اصطلاحات کو منتقل کرنا ہمیشہ جائز ہے — منتقلی سے عدم مساوات کا نشان نہیں بدلتا۔
عدم مساوات میں ODZ کیسے تلاش کریں؟
نطقی عدم مساوات کے لیے ODZ — یہ \(x\) کی وہ تمام اقدار ہیں جن کے لیے تقسیم کنندہ صفر نہیں ہوتا۔ تقسیم کنندہ کو صفر کے برابر رکھیں، مساوات حل کریں اور ملے ہوئے اعداد کو خارج کریں۔ ODZ کو مختصر کرنے سے پہلے، اصل تقسیم کنندہ کے مطابق لکھنا چاہیے — ورنہ خارج شدہ نکات ضائع ہو جائیں گے۔
کون سے نکات خارج شدہ ہیں، اور کون سے بھرے ہوئے ہیں؟
تقسیم کنندہ کے صفر ہمیشہ، عدم مساوات کے کسی بھی نشان کے ساتھ خارج کیے جاتے ہیں۔ شمار کنندہ کے صفر غیر سخت نشان (\(\le\) یا \(\ge\)) کے ساتھ بھرے جاتے ہیں اور سخت (\(<\) یا \(>\)) کے ساتھ خارج کیے جاتے ہیں۔ جواب کی تحریر میں خارج شدہ نقطہ کے لیے گول بریکٹ، بھرے ہوئے کے لیے مربع بریکٹ استعمال ہوتا ہے۔
جڑ کی کثرت کیا ہے اور وقفوں کے طریقے میں اس کی کیا ضرورت ہے؟
کثرت — یہ وہ ڈگری ہے جس میں قوس عامل میں شامل ہوتا ہے۔ جب طاق کثرت کی جڑ سے گزرتے ہیں تو اظہار کا نشان بدل جاتا ہے، جب جفت کثرت کی جڑ سے گزرتے ہیں — برقرار رہتا ہے۔ اسی وجہ سے نشانات ہمیشہ آسانی سے نہیں بدلتے: \((x-9)^2(x+3)\) میں نو پر نشان وہی رہتا ہے۔
نطقی عدم مساوات کس کلاس میں پڑھائی جاتی ہیں؟
9ویں کلاس میں الجبرا کے اسباق میں، مربع عدم مساوات اور کثیرالاضلاع کو عوامل میں تقسیم کرنے کے بعد۔ وقفوں کا طریقہ آگے اشاریہ، لوگرتھمک اور غیر نطقی عدم مساوات کے لیے، نیز OGE اور پروفائل ЕГЭ کے задания میں استعمال ہوتا ہے۔
