اعشاری کسر ایک ایسی عدد ہے جس میں مکمل اور کسر والے حصے کو اعشاریہ (ڈیسیمل پوائنٹ) سے الگ کیا جاتا ہے: 3.25 یا 0.7۔ اعشاری کسروں کے ساتھ تمام اعمال — جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم — تقریباً اسی طرح کیے جاتے ہیں جیسے قدرتی اعداد کے ساتھ؛ اہم بات اعشاریہ کا خیال رکھنا ہے۔ اس صفحے پر تمام اصول، کالم والی مثالیں، اعشاریہ منتقل کرنے کی یاد دہانی، عام غلطیوں کا تجزیہ اور خود کو جانچنے کے لیے ایک انٹرایکٹو ٹرینر موجود ہے۔
اعشاری کسر کے درجے
اعشاریہ کے بعد ہر ہندسے کا اپنا نام اور وزن ہوتا ہے:
- پہلا درجہ — دسواں حصہ (0.1)؛
- دوسرا — سوواں حصہ (0.01)؛
- تیسرا — ہزارواں حصہ (0.001) وغیرہ۔
اہم خصوصیت: اگر کسر والے حصے کے دائیں جانب صفر بڑھا دیے جائیں تو عدد تبدیل نہیں ہوتا: 5.7 = 5.70 = 5.700۔ ہم اس خصوصیت کو مسلسل استعمال کریں گے — یہ جمع، تفریق اور موازنہ کرتے وقت اعشاریہ کے بعد ہندسوں کی تعداد کو برابر کرنے میں مدد دیتی ہے۔
اعشاری کسروں کے ساتھ تمام اعمال: مختصر یاد دہانی
ہر عمل کا اعشاریہ کے بارے میں اپنا ایک اہم اصول ہے۔ نیچے دیے گئے چار کارڈز اس موضوع کا نچوڑ ہیں، اور اس کے بعد ہر عمل کو مثالوں کے ساتھ تفصیل سے سمجھایا گیا ہے۔
اعشاری کسروں کی کالم میں جمع اور تفریق
جمع اور تفریق ایک ہی اصول کے تحت کیے جاتے ہیں:
- اعداد کو کالم میں اس طرح لکھیں کہ اعشاریہ بالکل اعشاریہ کے نیچے ہو — تب ایک جیسے درجے ایک دوسرے کے نیچے آ جائیں گے: دسواں حصہ دسویں کے نیچے، سوواں حصہ سوویں کے نیچے۔
- اگر اعشاریہ کے بعد ہندسوں کی تعداد مختلف ہو تو صفر لگا کر برابر کریں۔
- اعشاریہ کی پرواہ کیے بغیر جمع یا تفریق کریں، جیسے قدرتی اعداد کے ساتھ کرتے ہیں۔
- جواب میں اعشاریہ کو اصل اعداد کے اعشاریوں کے نیچے لگائیں۔
مکمل عدد کو بھی اعشاری کسر کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: 6 = 6.00 — یہ 6 − 2.35 جیسی مثالوں میں مددگار ثابت ہوتا ہے۔
اعشاری کسروں کی ضرب کا اصول
ضرب واحد عمل ہے جہاں اعشاریوں کو سیدھ میں لانے کی ضرورت نہیں ہوتی۔ اعشاری کسروں کی ضرب کا اصول دو مراحل پر مشتمل ہے:
- اعداد کو اعشاریہ کی پرواہ کیے بغیر ضرب دیں — جیسے عام قدرتی اعداد کو دیتے ہیں۔
- نتیجے میں دائیں جانب سے اتنے ہندسے الگ کریں جتنے دونوں ضرب کھانے والے اعداد میں اعشاریہ کے بعد ہیں۔
اگر حاصل ضرب میں ہندسے اتنے نہ ہوں جتنے الگ کرنے ہیں، تو بائیں جانب صفر لگا دیں: 12 × 3 = 36، لیکن 0.12 × 0.3 کے لیے تین ہندسے الگ کرنے ہوں گے، اس لیے جواب 0.036 ہے۔
فوری خود جانچ: ایک سے چھوٹے عدد سے ضرب دینے پر نتیجہ پہلے عدد سے کم آنا چاہیے۔ اگر زیادہ آ رہا ہے تو اس کا مطلب ہے کہ اعشاریہ غلط جگہ پر ہے۔
اعشاری کسروں کی تقسیم
یہاں دو صورتیں ہیں:
قدرتی عدد پر تقسیم۔ عام طریقے سے تقسیم کریں، اور جواب (خارج قسمت) میں اعشاریہ اس وقت لگائیں جب مقسوم کا مکمل حصہ ختم ہو جائے: 8.46 : 2 = 4.23۔
اعشاری کسر پر تقسیم۔ پہلے مقسوم علیہ سے اعشاریہ ختم کریں: اعشاریہ کو مقسوم اور مقسوم علیہ دونوں میں دائیں جانب اتنے ہندسے منتقل کریں — یعنی دونوں اعداد کو 10، 100 یا 1000 سے ضرب دیں۔ اس سے جواب تبدیل نہیں ہوتا، اور تقسیم پہلی صورت کی طرح ہو جاتی ہے۔
10، 100، 1000 سے ضرب اور تقسیم
اعشاری کسروں کے ساتھ سب سے تیز عمل — 10، 100 یا 1000 سے ضرب اور تقسیم ہے۔ کالم کی ضرورت نہیں: بس اعشاریہ کو اتنے ہندسے منتقل کریں جتنے 10، 100 یا 1000 میں صفر ہیں۔ ہندسے کم پڑ جائیں تو صفر لگا دیں۔
اعشاری کسروں کا موازنہ
اعشاری کسروں کا موازنہ درجے کے لحاظ سے کیا جاتا ہے:
- پہلے مکمل حصے: جس عدد کا مکمل حصہ بڑا ہو، وہی بڑا ہے۔
- اگر مکمل حصے برابر ہوں — تو دسویں، پھر سوویں، پھر ہزارویں حصے کا موازنہ کریں، جب تک فرق نہ مل جائے۔
- الجھن سے بچنے کے لیے، صفر لگا کر ہندسوں کی تعداد برابر کریں: 5.7 اور 5.68 کا موازنہ 5.70 اور 5.68 کی شکل میں کرنا آسان ہے — ستر سوواں حصہ، اڑسٹھ سوویں حصے سے بڑا ہے، لہذا 5.7 > 5.68۔
لکھائی کی لمبائی سے کچھ ثابت نہیں ہوتا: 0.5، 0.4999 سے بڑا ہے، حالانکہ اس میں ہندسے کم ہیں۔
اعشاری کسروں کے ساتھ عمل: حل شدہ مثالیں
مثال 1. جمع: 5.3 + 2.47
مرحلہ 1. اعشاریہ کے بعد ہندسے برابر کریں: 5.3 = 5.30۔
مرحلہ 2. کالم میں لکھیں، اعشاریہ کے نیچے اعشاریہ۔
مرحلہ 3. قدرتی اعداد کی طرح جمع کریں: 530 + 247 = 777۔
مرحلہ 4. اعشاریہ کو جمع ہونے والے اعداد کے اعشاریوں کے نیچے لگائیں: 7.77۔
مثال 2. مکمل عدد سے تفریق: 6 − 2.35
مرحلہ 1. 6 کو اعشاری کسر کے طور پر لکھیں: 6 = 6.00۔
مرحلہ 2. کالم میں لکھیں: 6.00 − 2.35۔
مرحلہ 3. بڑے درجوں سے ادھار لے کر تفریق کریں: 3.65۔
جانچ۔ 3.65 + 2.35 = 6 — درست ہے۔
مثال 3. ضرب: 2.5 × 0.04
مرحلہ 1. اعشاریہ کی پرواہ کیے بغیر ضرب دیں: 25 × 4 = 100۔
مرحلہ 2. اعشاریہ کے بعد ہندسے گنیں: 2.5 میں ایک اور 0.04 میں دو — کل تین۔
مرحلہ 3. دائیں جانب سے تین ہندسے الگ کریں: 0.100۔
مرحلہ 4. کسر والے حصے کے آخر میں صفر ہٹا دیں: 0.1۔
ترتیب کی جانچ۔ 0.04 ایک سے چھوٹا ہے، لہذا جواب 2.5 سے کم ہونا چاہیے — درست ہے۔
مثال 4. اعشاری کسر پر تقسیم: 1.44 : 1.2
مرحلہ 1. مقسوم علیہ کو مکمل بنائیں: اعشاریہ کو دونوں اعداد میں ایک ہندسہ دائیں منتقل کریں — 14.4 : 12 حاصل ہوا۔
مرحلہ 2. مکمل حصے کو تقسیم کریں: 14 : 12 = 1، باقی 2۔
مرحلہ 3. مکمل حصہ ختم ہو گیا — جواب میں اعشاریہ لگائیں اور 4 نیچے لائیں: 24 : 12 = 2۔
جواب: 1.2۔ جانچ: 1.2 × 1.2 = 1.44۔
اعشاری کسروں کے ساتھ عمل میں عام غلطیاں
-
جمع اور تفریق کرتے وقت اعداد کو دائیں کنارے سے سیدھ میں لاتے ہیں، جیسے مکمل اعداد کو: 3.25 + 4.8 کو کالم میں اعشاریہ کا خیال رکھے بغیر لکھتے ہیں اور 3.73 حاصل کرتے ہیں۔
اعشاریہ کے لحاظ سے سیدھ میں لائیں، نہ کہ آخری ہندسے کے لحاظ سے: 4.8 = 4.80، تب 3.25 + 4.80 = 8.05۔ دسویں حصے دسویں کے نیچے، سوویں سوویں کے نیچے ہونے چاہئیں۔
-
ضرب میں اعشاریوں کو سیدھ میں لانے کی کوشش کرتے ہیں یا جواب میں اعشاریہ کو ضرب کھانے والے اعداد کے اعشاریوں کے نیچے لگاتے ہیں۔
ضرب میں اعشاریوں کو بالکل سیدھ میں نہیں لایا جاتا۔ مکمل اعداد کی طرح ضرب دیں اور دائیں جانب سے اتنے ہندسے الگ کریں جتنے دونوں ضرب کھانے والے اعداد میں اعشاریہ کے بعد ہیں۔
-
اگر حاصل ضرب میں ہندسے الگ کرنے کے لیے کم ہوں تو صفر ضائع کر دیتے ہیں: 0.12 × 0.3 = 0.36 بجائے 0.036۔
12 × 3 = 36 — یہ صرف دو ہندسے ہیں، اور تین الگ کرنے ہیں۔ بائیں جانب کمی والے صفر لگا دیں: 0.036۔
-
اعشاری کسر پر تقسیم کرتے وقت اعشاریہ صرف مقسوم علیہ میں منتقل کرتے ہیں: 4.2 : 0.7 کو 4.2 : 7 میں بدل دیتے ہیں اور 0.6 حاصل کرتے ہیں۔
اعشاریہ دونوں اعداد میں ایک ہی تعداد میں ہندسے منتقل ہوتا ہے: 4.2 : 0.7 = 42 : 7 = 6۔ ورنہ جواب 10 گنا کم ہو جائے گا۔
-
کسروں کا موازنہ ہندسوں کی تعداد سے کرتے ہیں: سمجھتے ہیں کہ 5.68، 5.7 سے بڑا ہے کیونکہ لکھائی لمبی ہے۔
صفر لگا کر ہندسے برابر کریں اور درجے کے لحاظ سے موازنہ کریں: 5.70 اور 5.68 — دسویں حصے میں 7 > 6، لہذا 5.7 > 5.68۔
-
10، 100، 1000 سے ضرب اور تقسیم کرتے وقت اعشاریہ غلط سمت میں منتقل کرتے ہیں۔
ضرب عدد کو بڑھاتی ہے — اعشاریہ دائیں جاتا ہے: 3.74 × 10 = 37.4۔ تقسیم کم کرتی ہے — بائیں: 3.74 : 10 = 0.374۔ ہندسوں کی تعداد صفر کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔
سوالات اور جوابات
پانچویں جماعت میں اعشاری کسروں کے ساتھ کون سے اعمال پڑھائے جاتے ہیں؟
پانچویں جماعت میں اعشاری کسروں کے ساتھ چاروں اعمال — جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم — پڑھائے جاتے ہیں، نیز ان کا موازنہ اور راؤنڈنگ بھی۔ عام طور پر پہلے کالم میں جمع اور تفریق، پھر قدرتی عدد سے ضرب اور تقسیم، اور آخر میں اعشاری کسر پر تقسیم پڑھائی جاتی ہے۔
کیا اعشاری کسر تبدیل ہو جاتی ہے اگر دائیں جانب صفر بڑھا دیے جائیں؟
نہیں: 5.7 = 5.70 = 5.700 — یہ ایک ہی عدد ہے۔ صفر بڑھانے کا استعمال جمع، تفریق اور موازنہ کرتے وقت اعشاریہ کے بعد ہندسوں کی تعداد برابر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ لیکن ہندسوں کے درمیان صفر ڈالنا یا عدد کے بیچ سے صفر ہٹانا جائز نہیں — عدد تبدیل ہو جائے گا۔
اعشاری کسر کو راؤنڈ (گول) کیسے کریں؟
وہ درجہ تلاش کریں جہاں تک راؤنڈ کرنا ہے، اور اس کے بعد والا ہندسہ دیکھیں: اگر وہ 5 سے چھوٹا ہے — تو راؤنڈ ہونے والا ہندسہ تبدیل نہیں ہوتا (3.748 ≈ 3.7)، اگر 5 یا اس سے بڑا ہے — تو ایک کا اضافہ ہو جاتا ہے (2.85 ≈ 2.9)۔ دائیں جانب کے تمام ہندسے ہٹا دیے جاتے ہیں۔
عام کسر کو اعشاری کسر میں کیسے بدلیں؟
شمار کنندہ کو مخرج پر تقسیم کریں: 3/4 = 3 : 4 = 0.75۔ ہر عام کسر ختم ہونے والی اعشاری شکل نہیں دیتی: مثال کے طور پر، 1/3 = 0.333… — یہ ایک لامتناہی دوری کسر ہے۔ ختم ہونے والی اعشاری کسر تب حاصل ہوتی ہے جب مخرج صرف 2 اور 5 کے عوامل پر مشتمل ہو۔
اعشاری کسروں والی عبارتوں میں اعمال کی ترتیب کیا ہونی چاہیے؟
ترتیب وہی ہے جو قدرتی اعداد کے لیے ہے: پہلے بریکٹ والے اعمال، پھر بائیں سے دائیں ضرب اور تقسیم، پھر بائیں سے دائیں جمع اور تفریق۔ اعداد کی اعشاری شکل اعمال کی ترتیب پر اثر انداز نہیں ہوتی۔
کیا چھوٹی اعشاری کسر کو بڑی پر تقسیم کیا جا سکتا ہے؟
جی ہاں۔ اگر مقسوم، مقسوم علیہ سے چھوٹا ہو، تو جواب بس ایک سے کم آئے گا: 0.3 : 0.6 = 3 : 6 = 0.5۔ اس صورت میں جواب کے مکمل حصے میں 0 لکھتے ہیں اور اعشاریہ کے بعد تقسیم جاری رکھتے ہیں۔
