Ang quadratic equation ay isang equation na may anyong \(ax^2 + bx + c = 0\), kung saan \(a \neq 0\). Ang bilang ng mga root nito ay tinutukoy ng discriminant na \(D = b^2 - 4ac\), at ang mga root mismo ay matatagpuan gamit ang formula na \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Ang page na ito ay naglalaman ng lahat ng tungkol sa paksang ito: standard form at mga coefficient, tatlong uri ng hindi kumpletong mga equation, discriminant at tatlong kaso, ang quadratic formula at ang "even" na variant nito, monic equation at Vieta's theorem, factoring at biquadratic equations — na may sunod-sunod na mga halimbawa, pagsusuri ng mga karaniwang pagkakamali, at isang interactive na trainer.
Ano ang quadratic equation
Ang quadratic equation ay isang equation na may anyong
kung saan ang \(x\) ay ang hindi alam, at ang \(a\), \(b\), \(c\) ay mga numero (coefficients), kung saan \(a \neq 0\). Ang notation na ito ay tinatawag na standard form ng isang quadratic equation: sa kaliwa, ang mga term ay nakaayos ayon sa pababang degree, at sa kanan ay zero.
Ang kondisyong \(a \neq 0\) ay hindi lamang pormalidad. Ang term na \(ax^2\) ang nagpapaging quadratic sa equation: kung \(a = 0\), ang matitira ay \(bx + c = 0\), na isang ordinaryong linear equation na may isang root. Samakatuwid, sa mga problemang may parameter, ang unang sinusuri ay kung ang leading coefficient ay nagiging zero.
Halos palaging posibleng gawing standard form ang isang equation: buksan ang mga parenthesis, ilipat ang lahat ng term sa kaliwang bahagi, at pagsamahin ang mga katulad na term. Halimbawa, ang \(5x^2 = 3x - 2\) pagkatapos ilipat ay nagiging \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), kung saan \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\).
Kumpleto at hindi kumpletong mga quadratic equation
Kung ang lahat ng tatlong coefficient ay hindi zero, ang equation ay tinatawag na kumpleto. Kung ang \(b\) o \(c\) (o pareho) ay zero — ito ay hindi kumpleto. May eksaktong tatlong uri ng hindi kumpletong mga equation, at wala sa mga ito ang nangangailangan ng discriminant: ang bawat isa ay nalulutas sa isa o dalawang linya, at ito ang pinakamabilis na paraan upang makatipid ng oras sa pagsusulit.
Ang pangunahing ideya para sa \(ax^2 + bx = 0\) ay ang pag-factor out ng common factor. Ang product na \(x(ax + b)\) ay zero kung at tanging kung ang isa sa mga factor ay zero, kaya may dalawang root agad. Para sa \(ax^2 + c = 0\), ang ideya ay iba: i-isolate ang \(x^2\) at tingnan ang sign ng resultang numero — ang square ng isang real number ay hindi maaaring maging negatibo.
| Uri ng Equation | Paano Lutasin |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Ilipat ang c sa kanan at i-divide sa a: x2 = −c/a. Kunin ang square root, huwag kalimutan ang pangalawang sign.x = 5 at x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | I-factor out ang x: x(ax + b) = 0. Ang product ay zero kapag ang isa sa mga factor ay zero.x = 0 at x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | I-divide sa a at kunin ang square root ng zero. Laging may eksaktong isang root.x = 0 |
Discriminant: paano mahanap at ilan ang magiging mga root
Ang discriminant ay isang numero na kinakalkula gamit ang mga coefficient ng isang kumpletong equation:
Ang salita mismo ay nangangahulugang "distinguisher": ang discriminant ay walang nilulutas, pinag-iiba lamang nito ang tatlong sitwasyon — dalawang root, isang root, o walang root. Samakatuwid, ang tanong na "ilang root ang mayroon ang equation" ay nalulutas nang hindi kinakailangang mahanap ang mga root mismo.
Ang pagkalkula ng \(D\) ay dapat gawin nang maingat: ang \(b^2\) ay palaging positibo, kahit na ang \(b\) mismo ay negatibo, at ang mga sign ng \(a\) at \(c\) ay kasama sa product na \(4ac\) gaya ng dati. Kunin natin ang \(x^2 + 4x - 5 = 0\): dito \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), kaya \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Ang discriminant ay positibo, kaya magkakaroon ng dalawang root.
Formula ng mga root ng quadratic equation
Kapag ang \(D \ge 0\), ang mga root ay matatagpuan gamit ang pangunahing formula ng paksa:
Ang sign na \(\pm\) ay nangangahulugan ng dalawang kalkulasyon: isa na may addition, isa na may subtraction. Kapag \(D = 0\), ang parehong kalkulasyon ay nagbibigay ng parehong numero na \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — ang root na ito ay tinatawag na double root.
Dalawang lugar kung saan madalas magkamali: sa numerator ay may minus \(b\) (para sa \(b = -7\) ito ay \(+7\)), at sa denominator ay \(2a\), hindi lamang \(2\). Kapag \(a = 1\), hindi halata ang pagkakaiba, kaya ang pagkakamali ay lumalabas kung saan ang leading coefficient ay iba sa isa.
Lutasin natin ang \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), kaya \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) at \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Even na second coefficient: formula na may D₁
Kung ang \(b\) ay isang even na numero, maginhawang isulat ito bilang \(b = 2k\) at kalkulahin ang "reduced" discriminant:
Ang mga numero sa mga kalkulasyon ay nagiging apat na beses na mas maliit (\(D = 4D_1\)), at ang sign ng \(D_1\) ay pareho sa \(D\) — ibig sabihin, ang konklusyon tungkol sa bilang ng mga root ay hindi nagbabago.
Halimbawa: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Dito \(b = 8\), kaya \(k = 4\), at \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Pagkatapos \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) at \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Gamit ang ordinaryong formula, kailangang magtrabaho sa \(D = 100\) — pareho ang resulta, pero mas maraming arithmetic.
Monic equation at Vieta's theorem
Ang equation na may \(a = 1\) ay tinatawag na monic at isinusulat bilang \(x^2 + px + q = 0\). Anumang quadratic equation ay maaaring gawing ganitong anyo sa pamamagitan ng pag-divide sa \(a\): halimbawa, ang \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) pagkatapos i-divide sa 4 ay nagiging \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Ang monic form ay mahalaga dahil gumagana rito ang Vieta's theorem: ang sum ng mga root ay katumbas ng \(-p\), at ang product ay katumbas ng \(q\). Para sa \(x^2 - 7x + 10 = 0\), kailangan ng dalawang numero na may sum na 7 at product na 10 — ito ay 2 at 5, at hindi na kailangang kalkulahin ang discriminant.
Ang pagpili gamit ang Vieta ay nakakatulong kapag ang mga root ay buong numero at maliit, at libre rin nitong sinusuri ang sagot na nahanap sa pamamagitan ng discriminant: ang sum ay dapat magbigay ng \(-p\), ang product — \(q\). Ang mga formula para sa pangkalahatang anyo, ang converse theorem, at ang algorithm ng pagpili ay tinalakay sa isang hiwalay na materyal — Vieta's theorem.
Pag-factor ng quadratic trinomial
Kung ang mga root na \(x_1\) at \(x_2\) ay nahanap na, ang quadratic trinomial ay na-factor bilang:
Ang factor na \(a\) ay hindi dapat kalimutan — kung wala ito, ang pagkakapantay-pantay ay hindi na totoo. Ang pag-check sa factoring ay laging madali: buksan ang mga parenthesis at ihambing sa orihinal na trinomial. Sabihin natin, sa \(x^2 + 2x - 8\) ang mga root ay 2 at \(-4\), kaya \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Gumagana rin ang reverse process: kung ang trinomial ay na-factor nang pasalita, ang mga root ay makikita agad at hindi na kailangan ng discriminant. Dito nakakatulong ang mga formula ng special products — halimbawa, ang \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) ay nagbibigay ng mga root na \(4\) at \(-4\) agad.
Ang ikatlong paraan upang makaiwas sa quadratic formula ay ang completing the square. Sa \(x^2 + 6x + 5 = 0\), ang unang dalawang term ay kinukumpleto hanggang sa square of a sum: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), ibig sabihin \((x + 3)^2 = 4\), kung saan \(x + 3 = \pm 2\) at \(x = -1\) o \(x = -5\). Ang pamamaraang ito ang pinagmulan ng quadratic formula sa pangkalahatang anyo.
Mga equation na maaaring gawing quadratic: biquadratic
Ang biquadratic equation ay may anyong \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): ang mga degree ay even lamang. Nalulutas ito sa pamamagitan ng substitution na \(t = x^2\), na may kondisyong \(t \ge 0\) — ang square ng isang real number ay hindi maaaring maging negatibo.
Pagkatapos ng substitution, makukuha ang ordinaryong quadratic equation na \(at^2 + bt + c = 0\). Nilulutas ito gamit ang discriminant, at pagkatapos para sa bawat non-negative root na \(t\), bumabalik sa \(x = \pm\sqrt{t}\). Dito nanggagaling ang bilang ng mga root: hanggang apat.
Halimbawa, ang \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) pagkatapos ng substitution ay nagbibigay ng \(t^2 - 5t + 4 = 0\) na may mga root na \(t = 1\) at \(t = 4\). Parehong positibo, kaya \(x = \pm 1\) at \(x = \pm 2\) — kabuuang apat na root. Kung ang isa sa \(t\) ay naging negatibo, itatapon lang ito.
Gamit ang parehong pamamaraan, nilulutas ang mga fractional-rational equation (pagkatapos gawing common denominator at alisin ang mga ipinagbabawal na halaga) at mga equation na may substitution na \(t = x^2 + 3x\).
Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation
Halimbawa 1. Kumpletong equation, D > 0
Lutasin ang \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Hakbang 1. Ang equation ay nasa standard form na: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Hakbang 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — dalawang root.
Hakbang 3. \(\sqrt{D} = 5\), kaya \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Hakbang 4. Check sa pamamagitan ng substitution. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Sagot: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Halimbawa 2. Ang discriminant ay zero
Lutasin ang \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Hakbang 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Hakbang 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — isang root.
Hakbang 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Hakbang 4. Check. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Sagot: \(x = 1{,}5\). Tandaan: ang kaliwang bahagi ay isang perfect square \((2x - 3)^2\), kaya isa lang ang root.
Halimbawa 3. Negatibong discriminant
Lutasin ang \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Hakbang 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Hakbang 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Hakbang 3. Ang discriminant ay negatibo, ibig sabihin hindi maaaring kumuha ng \(\sqrt{D}\) sa mga real number. Hindi na kailangang gamitin ang quadratic formula — tapos na ang paglutas.
Sagot: walang real roots. Ito ay isang ganap na sagot, hindi tanda ng pagkakamali: ang graph ng function na \(y = 2x^2 + 3x + 5\) ay hindi tumatawid sa x-axis.
Halimbawa 4. Hindi kumpletong equation na may anyong ax² + c = 0
Lutasin ang \(3x^2 - 27 = 0\).
Hakbang 1. Ilipat ang constant term: \(3x^2 = 27\).
Hakbang 2. I-divide sa 3: \(x^2 = 9\).
Hakbang 3. Ang square ay 9 para sa dalawang numero: \(x = 3\) at \(x = -3\). Ang pangalawang sign ang madalas makalimutan.
Hakbang 4. Check. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Sagot: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Ihambing sa equation na \(2x^2 + 8 = 0\): doon \(x^2 = -4\), at walang real roots.
Halimbawa 5. Hindi kumpletong equation na may anyong ax² + bx = 0
Lutasin ang \(5x^2 - 15x = 0\).
Hakbang 1. I-factor out ang common factor: \(5x(x - 3) = 0\).
Hakbang 2. Ang product ay zero kapag ang isa sa mga factor ay zero: \(5x = 0\) o \(x - 3 = 0\).
Hakbang 3. Mula rito \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Hakbang 4. Check. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Sagot: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Kung i-divide ang orihinal na equation sa \(x\), matitira lang ang \(x = 3\) — mawawala ang root na \(x = 0\). Hindi maaaring i-divide sa expression na may hindi alam.
Halimbawa 6. Even na second coefficient
Lutasin ang \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Hakbang 1. \(b = -22\) — even, kaya \(k = -11\), at \(a = 5\), \(c = 8\).
Hakbang 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Hakbang 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Hakbang 4. Check. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Sagot: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Ang ordinaryong discriminant ay magbibigay ng \(D = 324\) — parehong sagot, pero mas matagal kalkulahin.
Halimbawa 7. Gawing standard form muna
Lutasin ang \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Hakbang 1. Buksan ang mga parenthesis: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), ibig sabihin \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Hakbang 2. Ilipat ang siyam sa kaliwa: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Ngayon lang maaaring isulat ang mga coefficient: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Hakbang 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Hakbang 4. Check sa orihinal na equation. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Sagot: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Ang karaniwang pagkakamali rito ay i-equate ang bawat parenthesis sa 9: ang panuntunang "product is zero" ay gumagana lamang para sa zero.
Halimbawa 8. Pag-factor ng trinomial
I-factor ang \(2x^2 - 5x - 3\).
Hakbang 1. I-equate ang trinomial sa zero at hanapin ang mga root: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Hakbang 2. I-substitute sa formula na \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Hakbang 3. Maginhawang ilagay ang dalawa sa pangalawang parenthesis: \((x - 3)(2x + 1)\).
Hakbang 4. Check sa pamamagitan ng pagbukas ng mga parenthesis. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Sagot: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Halimbawa 9. Biquadratic equation
Lutasin ang \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Hakbang 1. Substitution na \(t = x^2\), kung saan \(t \ge 0\). Ang equation ay nagiging \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Hakbang 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Hakbang 3. Parehong non-negative ang mga halaga, kaya bumabalik sa \(x\): mula sa \(x^2 = 9\) nakukuha ang \(x = \pm 3\), mula sa \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Hakbang 4. Check. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Para sa mga negatibong halaga, ang even na degree ay nagbibigay ng parehong numero.
Sagot: \(x = \pm 2\) at \(x = \pm 3\) — apat na root.
Mga karaniwang pagkakamali sa paglutas ng mga quadratic equation
-
Kinakalkula ang discriminant nang hindi ginagawang standard form ang equation: para sa $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ agad na kinukuha ang $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Una, ilipat ang lahat sa kaliwa at pagsamahin ang mga katulad na term: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), ibig sabihin \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Mula rito \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Ang quadratic formula ay gumagana lamang sa standard form.
-
Nawawala ang sign kapag ini-square ang $b$: para sa $x^2 - 9x + 14 = 0$ isinusulat ang $D = -81 - 56$.
Ang square ng anumang numero ay non-negative: \((-9)^2 = 81\), hindi \(-81\). Tama ang \(D = 81 - 56 = 25\), mga root \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), ibig sabihin 7 at 2. Check: \(49 - 63 + 14 = 0\) at \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Sa numerator ay iniiwan ang $b$ sa halip na $-b$: para sa $x^2 + 5x - 6 = 0$ kinakalkula ang $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Sa formula ay may \(-b\), kaya para sa \(b = 5\) sa numerator ay magiging \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), kung saan \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Kinukumpirma ng substitution: \(1 + 5 - 6 = 0\) at \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Kapag $D = 0$ isinusulat na "walang mga root": sa $x^2 + 14x + 49 = 0$ ang discriminant ay zero, at itinitigil ang paglutas.
Walang mga root lamang kapag \(D < 0\). Kapag \(D = 0\) may eksaktong isang root: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Check: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
I-divide ang equation na $4x^2 - 9x = 0$ sa $x$ at nakukuha ang tanging root na $x = 2{,}25$.
Hindi maaaring i-divide sa expression na may hindi alam: ang \(x\) ay maaaring zero, at ang root na \(x = 0\) ay mawawala. Tama ang i-factor out ang factor: \(x(4x - 9) = 0\), kung saan \(x_1 = 0\) at \(x_2 = 2{,}25\). Check: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Sa equation na $x^2 = 16$ isinusulat lamang ang $x = 4$.
Ang square ay 16 din para sa numerong \(-4\). Dapat isulat ang parehong root: \(x = \pm 4\). Mas ligtas na lutasin sa pamamagitan ng standard form na \(x^2 - 16 = 0\), ibig sabihin \((x - 4)(x + 4) = 0\) — doon makikita agad ang parehong factor.
-
Hindi sinusuri ang kondisyong $a \neq 0$ sa equation na may parameter: sa $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ agad na kinakalkula ang discriminant.
Kapag \(m = 2\) ang leading coefficient ay nagiging zero, at ang equation ay nagiging linear na \(3x - 1 = 0\) na may tanging root na \(x = \dfrac{1}{3}\). Ang kasong \(m = 2\) ay sinusuri nang hiwalay, at ang quadratic formula ay ginagamit lamang kapag \(m \neq 2\).
Mga tanong at sagot
Ano ang quadratic equation?
Ito ay equation na may anyong \(ax^2 + bx + c = 0\), kung saan \(a\), \(b\), \(c\) ay mga numero at \(a \neq 0\). Ang hindi alam ay nasa second degree, kaya maaaring may dalawang root, isa, o wala.
Ano ang hitsura ng standard form ng isang quadratic equation?
Ang standard (pangkalahatang) form ay \(ax^2 + bx + c = 0\): lahat ng term ay nasa kaliwa ayon sa pababang degree, sa kanan ay zero. Dito ginagawang standard form ang anumang quadratic equation bago kalkulahin ang discriminant.
Paano mahanap ang discriminant?
Gamit ang formula na \(D = b^2 - 4ac\), i-substitute ang mga coefficient kasama ang kanilang mga sign. Halimbawa, para sa \(x^2 + 3x - 10 = 0\) nakukuha natin ang \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), at ang mga root ay \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), ibig sabihin 2 at \(-5\).
Ano ang formula ng mga root ng quadratic equation?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), o mas maikli \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Ginagamit ito kapag \(D \ge 0\); sa denominator ay \(2a\), hindi 2.
Ilang root ang maaaring mayroon ang isang quadratic equation?
Hindi hihigit sa dalawa. Kapag \(D > 0\) may dalawang root, kapag \(D = 0\) — isa (double root), kapag \(D < 0\) walang real roots.
Ano ang hindi kumpletong quadratic equation?
Ito ay equation kung saan \(b = 0\), \(c = 0\) o pareho: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Ang tatlo ay nilulutas nang walang discriminant — sa pamamagitan ng paglipat ng term o pag-factor out ng \(x\).
Paano lutasin ang mga quadratic equation nang walang discriminant?
May tatlong paraan: pagpili ng mga root gamit ang Vieta's theorem para sa monic equation, pag-factor, at completing the square. Pinakamabilis ang pagpili kapag ang mga root ay maliliit na buong numero.
Ano ang gagawin kung negatibo ang discriminant?
Isulat na walang real roots, at tapusin ang paglutas. Ang negatibong discriminant ay isang normal na sagot: ang graph ng kaukulang parabola ay hindi tumatawid sa x-axis. Ang mga root sa kasong iyon ay umiiral lamang sa mga complex number, na tatalakayin sa susunod.
Paano i-check ang mga nahanap na root?
I-substitute ang bawat root sa orihinal na equation — dapat magresulta sa tamang pagkakapantay-pantay. Para sa monic equation, may mabilis na check gamit ang Vieta's theorem: ang sum ng mga root ay \(-p\), ang product ay \(q\).
Ang quadratic at quadratic equation ay pareho lang ba?
Oo, ito ay dalawang pangalan ng iisang object na \(ax^2 + bx + c = 0\). Huwag itong ikalito sa quadratic function na \(y = ax^2 + bx + c\): ang mga root ng equation ay ang mga abscissa ng mga punto kung saan ang graph ng function ay tumatawid sa x-axis.
Anong grade tinatalakay ang mga quadratic equation?
Sa grade 8 sa algebra: una ang mga hindi kumpletong equation, pagkatapos ay discriminant, quadratic formula, at Vieta's theorem. Sa susunod, ang paksa ay makikita sa quadratic function, inequalities, mga problemang OGE at EGE.
