Akar kuadrat dari bilangan \(a\) adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan \(a\), dan akar kuadrat aritmetika hanya merujuk pada nilai non-negatifnya: \(\sqrt{25} = 5\). Akar hanya dapat dihitung dari bilangan non-negatif, tetapi sifat-sifat akar mengubah ekspresi yang rumit menjadi singkat. Halaman ini berisi definisi dan domain, semua sifat akar kuadrat dengan rumus, tabel akar kuadrat dari 1 hingga 20, teknik menghitung akar dan mengeluarkan faktor, contoh yang dipecahkan, kesalahan umum, dan pelatih interaktif.
Apa itu akar kuadrat dari suatu bilangan
Akar kuadrat dari bilangan \(a\) adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan \(a\). Menghitung akar dan memangkatkan dua adalah operasi yang saling berkebalikan: dari \(7^2 = 49\) langsung mengikuti bahwa akar kuadrat dari 49 adalah 7.
Namun, bilangan positif memiliki tepat dua akar kuadrat, dan keduanya hanya berbeda tanda: \(5^2 = 25\) dan \((-5)^2 = 25\), artinya akar kuadrat dari 25 adalah 5 dan -5. Agar penulisan \(\sqrt{25}\) menunjukkan satu bilangan tunggal, disepakati: simbol \(\sqrt{\phantom{a}}\) hanya menuliskan akar yang non-negatif. Inilah yang disebut akar aritmetika.
Penulisan ini memiliki nama-namanya sendiri: simbol \(\sqrt{\phantom{a}}\) adalah radikal, dan bilangan atau ekspresi di bawahnya adalah ekspresi di bawah tanda akar.
Akar Kuadrat Aritmetika: Definisi dan Domain
Akar kuadrat aritmetika dari bilangan non-negatif \(a\) disebut bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan \(a\). Ini dilambangkan dengan \(\sqrt{a}\) dan dibaca "akar dari a".
Definisi ini mengandung dua syarat, dan keduanya sama pentingnya:
- ekspresi di bawah tanda akar adalah non-negatif: \(a \ge 0\);
- nilai akar adalah non-negatif: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Dari sini kita langsung mendapatkan: \(\sqrt{25} = 5\), bukan \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); dan penulisan \(\sqrt{-9}\) tidak memiliki arti dalam bilangan real — tidak ada bilangan yang kuadratnya negatif.
Syarat pertama menentukan domain ekspresi dengan akar. Misalnya, \(\sqrt{x-7}\) memiliki arti jika \(x - 7 \ge 0\), yaitu jika \(x \ge 7\): setiap nilai \(x\) yang lebih kecil akan menempatkan bilangan negatif di bawah akar.
Dari definisi juga mengikuti kesamaan \((\sqrt{a})^2 = a\) untuk \(a \ge 0\): memangkatkan akar dengan dua mengembalikan bilangan di bawah tanda akar. Ini berlaku bahkan ketika kita tidak dapat menghitung akar itu sendiri: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabel Akar Kuadrat: Kuadrat Bilangan dari 1 hingga 20
Akar dapat dihitung secara bulat tepat ketika bilangan di bawah tanda akar adalah kuadrat sempurna. Oleh karena itu, tabel kuadrat juga berfungsi sebagai tabel akar kuadrat: dibaca bolak-balik — \(14^2 = 196\), jadi \(\sqrt{196} = 14\).
Tabel ini berguna tidak hanya untuk bilangan bulat:
- desimal: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), karena \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- pecahan biasa: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — akar dihitung terpisah untuk pembilang dan penyebut;
- bilangan bulat dengan nol di akhir: \(\sqrt{2500} = 50\), karena \(2500 = 25 \cdot 100\), dan akar dari setiap faktor diketahui.
Sifat-sifat Akar Kuadrat
Sifat-sifat akar kuadrat memungkinkan perhitungan ekspresi tanpa menghitung setiap akar secara terpisah, dan menyederhanakan jawaban.
Akar dari perkalian sama dengan perkalian akar: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) untuk \(a \ge 0\) dan \(b \ge 0\). Misalnya, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — jawaban yang sama dengan \(\sqrt{144}\).
Akar dari pembagian sama dengan pembagian akar: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) untuk \(a \ge 0\) dan \(b > 0\). Misalnya, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Syarat \(b > 0\) ketat: tidak boleh membagi dengan nol.
Akar dari kuadrat sama dengan nilai mutlak: \(\sqrt{a^2} = |a|\), dan ini berlaku untuk setiap bilangan \(a\). Di sini letak kesulitan utama seluruh topik. Jika \(a \ge 0\), tidak ada yang berubah: \(\sqrt{7^2} = 7\). Tetapi jika \(a\) negatif, tanda "diluruskan": \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), bukan \(-6\) — karena akar aritmetika tidak bisa negatif.
Kuadrat akar mengembalikan bilangan di bawah tanda akar: \((\sqrt{a})^2 = a\) untuk \(a \ge 0\).
Namun, untuk penjumlahan dan pengurangan, tidak ada sifat serupa: akar dari penjumlahan tidak sama dengan penjumlahan akar. Ini adalah kesalahan paling umum dalam topik ini, pembahasan — di bawah.
| Sifat dan syarat | Contoh |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √buntuk a ≥ 0 dan b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √buntuk a ≥ 0 dan b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|untuk setiap a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = auntuk a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √buntuk b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Cara Menghitung Akar Kuadrat dari Suatu Bilangan
Kalkulator tidak selalu tersedia, dan tugas sekolah hampir selalu dirancang agar akar dapat dihitung. Urutan tindakannya adalah sebagai berikut.
- Periksa tabel kuadrat. Jika bilangan ada di tabel, jawabannya sudah siap: \(\sqrt{289} = 17\).
- Pisahkan faktor bulat. Untuk bilangan dengan nol di akhir, mudah untuk memisahkan \(100\), \(10\,000\), dan seterusnya: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Faktorkan menjadi bilangan prima. Ini adalah metode universal: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), bagi pangkat dengan dua dan dapatkan \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Ubah desimal menjadi pecahan biasa. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Ini juga mencegah kehilangan tempat desimal.
- Jika tidak ada kuadrat sempurna — akar adalah irasional. Maka akar dibiarkan dalam simbol (ditulis: \(\sqrt{30}\)), atau diperkirakan di antara kuadrat yang berdekatan.
Verifikasi hanya butuh sedetik: pangkatkan bilangan yang diperoleh dengan dua dan lihat apakah bilangan di bawah tanda akar kembali. \(24^2 = 576\) — benar.
Mengeluarkan Faktor dari Bawah Tanda Akar
Akar jarang dibiarkan "mentah" — semua yang dapat dihitung dikeluarkan dari bawahnya. Sifat \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) berlaku untuk \(b \ge 0\): kita mencari pembagi kuadrat terbesar dari bilangan di bawah tanda akar.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Operasi sebaliknya — memasukkan faktor ke bawah akar: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) untuk \(a \ge 0\). Misalnya, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Dengan faktor negatif, perlu hati-hati: tanda minus tidak masuk ke bawah akar dan tetap di luar. Penulisan yang benar adalah \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), bukan \(\sqrt{12}\).
Mengapa ini diperlukan: setelah mengeluarkan faktor, akar dengan ekspresi di bawah tanda akar yang sama menjadi suku-suku sejenis, dan dapat dijumlahkan. Memasukkan faktor ke bawah akar adalah cara tercepat untuk membandingkan dua ekspresi dengan akar.
Berapa Akar Kuadrat yang Tidak Dapat Dihitung
Jika bilangan di bawah tanda akar bukan kuadrat sempurna, akarnya adalah bilangan irasional: representasi desimalnya tak terbatas dan tidak berulang. Misalnya, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), dan nilai pastinya hanya ditulis dengan simbol \(\sqrt{2}\). Jawaban yang dibulatkan hanya ditulis jika diminta dalam soal.
Akar seperti itu dapat diperkirakan tanpa kalkulator: cari dua kuadrat sempurna berurutan di antara mana bilangan di bawah tanda akar berada. Aturan perbandingan berlaku: untuk \(a \ge 0\) dan \(b \ge 0\), dari \(a < b\) mengikuti \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — bilangan di bawah tanda akar yang lebih besar sesuai dengan akar yang lebih besar.
Contoh Perhitungan dengan Akar Kuadrat
Contoh 1. Nilai Ekspresi dengan Akar
Hitung \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Langkah 1. \(\sqrt{121} = 11\), karena \(11^2 = 121\).
Langkah 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), karena \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Langkah 3. Akar dari pecahan dihitung untuk pembilang dan penyebut: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Langkah 4. Jumlahkan: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Jawaban: 11.
Contoh 2. Akar dari Perkalian
Hitung \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Langkah 1. Akar-akar ini tidak dapat dihitung secara terpisah, jadi kita gabungkan menjadi satu: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Langkah 2. Hitung perkalian di bawah akar: \(8 \cdot 18 = 144\).
Langkah 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Jalan lain — keluarkan faktor terlebih dahulu: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) dan \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), maka \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Jawaban cocok.
Jawaban: 12.
Contoh 3. Menghitung Akar dengan Faktorisasi
Hitung \(\sqrt{576}\) dan \(\sqrt{6400}\).
Langkah 1. Bilangan 576 tidak ada di tabel kuadrat, jadi kita faktorkan menjadi bilangan prima: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Langkah 2. Bagi pangkat dengan dua: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Langkah 3. Verifikasi. \(24^2 = 576\) — benar.
Langkah 4. Untuk bilangan 6400, lebih mudah memisahkan faktor bulat: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Verifikasi: \(80^2 = 6400\).
Jawaban: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Contoh 4. Mengeluarkan Faktor dan Menyederhanakan Suku Sejenis
Sederhanakan \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Langkah 1. Keluarkan faktor dari bawah setiap akar: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), jadi \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Langkah 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Langkah 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Langkah 4. Hanya akar dengan ekspresi di bawah tanda akar yang sama yang dapat dijumlahkan: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), dan suku dengan \(\sqrt{3}\) tetap terpisah.
Jawaban: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Contoh 5. Akar dari Kuadrat dengan Variabel
Sederhanakan \(\sqrt{(x-4)^2}\) untuk \(x < 4\).
Langkah 1. Menurut sifat akar dari kuadrat \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — langsung tulis nilai mutlak, bukan \(x - 4\).
Langkah 2. Buka nilai mutlak sesuai syarat. Jika \(x < 4\), maka selisih \(x - 4\) negatif, dan nilai mutlak dari bilangan negatif adalah bilangan yang berlawanan: \(|x-4| = 4 - x\).
Langkah 3. Verifikasi. Ambil \(x = 1\): di kiri \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), di kanan \(4 - 1 = 3\) — cocok.
Jawaban: \(4 - x\). Sebagai perbandingan, untuk \(x \ge 4\) jawabannya adalah \(x - 4\).
Contoh 6. Membandingkan Ekspresi dengan Akar
Bandingkan \(3\sqrt{5}\) dan \(5\sqrt{2}\).
Langkah 1. Kedua bilangan positif, jadi kita masukkan faktor ke bawah akar: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Langkah 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Langkah 3. Bandingkan bilangan di bawah tanda akar: \(45 < 50\), dan bilangan di bawah tanda akar yang lebih besar sesuai dengan akar yang lebih besar.
Jawaban: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Kesalahan Umum Saat Bekerja dengan Akar Kuadrat
-
Menulis $\sqrt{a^2} = a$, lupa nilai mutlak.
Kesamaan yang benar adalah \(\sqrt{a^2} = |a|\). Untuk bilangan negatif, ini sangat penting: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), bukan \(-13\). Akar aritmetika tidak bisa negatif, jadi tanda di bawah akar "diluruskan".
-
Menganggap akar dari penjumlahan sama dengan penjumlahan akar: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Tidak ada sifat seperti itu. Pertama, lakukan operasi di bawah akar: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), bukan 7. Sifat hanya ada untuk perkalian dan pembagian: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) dan \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Menjawab bahwa $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — akar aritmetika selalu tunggal dan non-negatif. Dua nilai muncul dalam soal lain: persamaan \(x^2 = 49\) memiliki akar \(x = 7\) dan \(x = -7\). Jangan mencampuradukkan penulisan akar dengan solusi persamaan.
-
Menulis $\sqrt{-16} = -4$, berpikir "minus kali minus".
Bilangan negatif tidak bisa berada di bawah akar: \((-4)^2 = 16\), bukan \(-16\), jadi \(\sqrt{-16}\) tidak memiliki arti dalam bilangan real. Namun, ekspresi \(-\sqrt{16} = -4\) sepenuhnya benar — tanda minus berada di depan akar, bukan di bawahnya.
-
Memasukkan faktor negatif ke bawah akar: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Aturan \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) hanya berlaku untuk \(a \ge 0\). Tanda minus tetap di luar: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Verifikasi dengan tanda: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), dan \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — bilangan yang berlawanan.
-
Kehilangan tempat desimal pada pecahan desimal: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Periksa dengan memangkatkan dua secara terbalik: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), tidak cocok. Yang benar adalah \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), karena \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Cara yang andal adalah beralih ke pecahan biasa: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Yakin bahwa akar selalu lebih kecil dari bilangan itu sendiri.
Ini hanya berlaku untuk bilangan lebih besar dari satu. Pada interval dari 0 hingga 1, sebaliknya: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), dan \(0{,}5\) lebih besar dari \(0{,}25\). Dan untuk 0 dan 1, akar sama dengan bilangan itu sendiri.
Pertanyaan dan Jawaban
Apa itu akar kuadrat aritmetika dengan kata-kata sederhana?
Ini adalah bilangan non-negatif yang, ketika dipangkatkan dua, menghasilkan bilangan di bawah tanda akar. Ditulis \(\sqrt{a}\), di mana ekspresi di bawah tanda akar harus non-negatif: \(a \ge 0\). Misalnya, \(\sqrt{64} = 8\), karena \(8 \ge 0\) dan \(8^2 = 64\).
Apa perbedaan antara akar kuadrat dan akar kuadrat aritmetika?
Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat — berlawanan tanda. Akar aritmetika hanya merujuk pada yang non-negatif, dan inilah yang ditunjukkan oleh simbol \(\sqrt{\phantom{a}}\). Oleh karena itu, \(\sqrt{25} = 5\), meskipun persamaan \(x^2 = 25\) memiliki dua akar: 5 dan \(-5\).
Bagaimana cara menghitung akar kuadrat dari suatu bilangan tanpa kalkulator?
Pertama, periksa bilangan di tabel kuadrat. Jika tidak ada di sana — faktorkan menjadi perkalian dan pisahkan kuadrat sempurna: \(784 = 16 \cdot 49\), jadi \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Selalu periksa jawaban dengan operasi terbalik: \(28^2 = 784\).
Bisakah kita menghitung akar kuadrat dari bilangan negatif?
Dalam bilangan real — tidak: kuadrat bilangan apa pun adalah non-negatif, jadi ekspresi \(\sqrt{-9}\) tidak memiliki arti. Dari kondisi inilah domain dicari: misalnya, \(\sqrt{x-7}\) hanya ada jika \(x \ge 7\).
Berapa akar kuadrat dari kuadrat suatu bilangan?
Nilai mutlak bilangan tersebut: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Jika \(a\) non-negatif, hasilnya adalah bilangan itu sendiri, jika negatif — yang berlawanan: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Bagaimana cara mengeluarkan faktor dari bawah tanda akar?
Temukan pembagi kuadrat terbesar dari bilangan di bawah tanda akar dan terapkan sifat \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Misalnya, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Operasi sebaliknya — memasukkan faktor ke bawah akar: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Berapa akar kuadrat dari 2?
Bilangan \(\sqrt{2}\) adalah irasional: representasi desimalnya tak terbatas dan tidak berulang, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Nilai pastinya dalam bentuk pecahan tidak ada, jadi dalam jawaban ia dibiarkan sebagai simbol \(\sqrt{2}\), dan dibulatkan hanya jika kondisi soal memerlukannya.
Bagaimana cara membandingkan dua bilangan dengan akar tanpa menghitungnya?
Masukkan faktor ke bawah akar dan bandingkan bilangan di bawah tanda akar: bilangan di bawah tanda akar yang lebih besar sesuai dengan akar yang lebih besar. Misalnya, \(\sqrt{17}\) dan 4: karena \(4 = \sqrt{16}\) dan \(17 > 16\), maka \(\sqrt{17} > 4\).
Di kelas berapa akar kuadrat dipelajari?
Di kelas 8 pada pelajaran aljabar: pertama definisi akar kuadrat aritmetika dan sifat-sifatnya, kemudian transformasi ekspresi dengan akar dan penyelesaian persamaan berbentuk \(x^2 = a\). Selanjutnya, akar muncul dalam rumus diskriminan dan dalam soal-soal OGE dan EGE.
