Ang aritmetika na progresyon ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong bilang \(d\) (ang pagkakaiba ng progresyon). Ang sinumang termino nito ay matatagpuan gamit ang pormula \(a_n = a_1 + (n-1)d\), at ang kabuuan ng unang \(n\) na termino ay gamit ang pormula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Ang pahinang ito ay naglalaman ng depinisyon at pagkakaiba, parehong pormula ng kabuuan, katangiang katangian, pag-verify kung ang isang numero ay kabilang sa progresyon, pagkakaiba sa heometriko na progresyon, mga karaniwang problema sa OGE, at isang interactive na simulator para sa pag-check sa sarili.
Ano ang Aritmetika na Progresyon
Ang aritmetika na progresyon ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod na termino ay nakukuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na pagkakaiba ng progresyon at binabanggit ng titik \(d\).
Depinisyon sa isang pormula: ang pagkakasunud-sunod \(a_1, a_2, a_3, \dots\) ay tinatawag na aritmetika na progresyon kung para sa anumang numero \(n\), ang pagkakapantay-pantay ay totoo
Kunin natin ang pagkakasunud-sunod 3, 7, 11, 15, 19, … Ang unang termino dito ay \(a_1 = 3\), at ang pagkakaiba ay \(d = 4\): bawat susunod na numero ay mas malaki kaysa sa nauna nang eksaktong 4. Samakatuwid, ang susunod na termino ay 23, at bago ang tatlo (kung ipagpapatuloy pabalik) ay magkakaroon ng minus na isa.
Ang buong progresyon ay tinutukoy ng dalawang numero lamang - ang unang termino \(a_1\) at ang pagkakaiba \(d\). Sa pag-alam ng pares na ito, maaari mong sabihin ang anumang termino, kalkulahin ang kabuuan ng anumang bilang ng mga unang termino, at i-verify kung ang isang ibinigay na numero ay lumilitaw sa pagkakasunud-sunod. Ang progresyon ay binabanggit ng simbolo \((a_n)\), at ang mga termino nito ay \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), at iba pa, kung saan ang ibabang indeks ay palaging nangangahulugang numero, hindi halaga.
Pagkakaiba ng Aritmetika na Progresyon: Paano Hanapin ang d
Ang pagkakaiba ay palaging susunod na termino minus ang nauna:
Mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng pagbabawas: kung babawasan mo sa kabaligtaran, ang tanda ng pagkakaiba ay magiging kabaligtaran. Para sa pagkakasunud-sunod 20, 17, 14, 11, 8, ang pagkakaiba ay \(17 - 20 = -3\), hindi \(+3\).
Ang tanda ng \(d\) ay ganap na tumutukoy sa pag-uugali ng progresyon:
- \(d > 0\) — ang progresyon ay tumataas, ang mga termino ay dumarami;
- \(d < 0\) — ang progresyon ay bumababa, ang mga termino ay nababawasan;
- \(d = 0\) — lahat ng mga termino ay pareho, halimbawa 6, 6, 6, 6, … Ito rin ay isang aritmetika na progresyon, isang pare-pareho lamang.
Kung alam ang dalawang termino na may iba't ibang numero, ang pagkakaiba ay matatagpuan gamit ang pormula
Halimbawa. Ipagpalagay na \(a_4 = 30\) at \(a_{10} = 6\). Kung gayon \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), at ang unang termino ay \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Suriin natin ang simula ng progresyon: 42, 38, 34, 30 — ang ika-apat na termino ay talagang 30.
Ang pagkakaiba ay hindi kinakailangang isang buong numero: para sa pagkakasunud-sunod 1; 1.5; 2; 2.5, ang pagkakaiba ay 0.5, at ito ay isang ganap na aritmetika na progresyon.
Pormula para sa ika-n na Termino ng Aritmetika na Progresyon
Ang pangunahing pormula ng paksa ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang anumang termino nang hindi isinusulat ang lahat ng nauna:
Saan nagmumula ang \(n - 1\)? Upang makarating mula sa unang termino hanggang sa ika-n, ang pagkakaiba ay idinaragdag hindi \(n\) beses, kundi isang beses na mas kaunti: hanggang sa pangalawang termino - isang hakbang, hanggang sa pangatlo - dalawa, hanggang sa ikadalawampu - labinsiyam.
Halimbawa. Para sa progresyon 3, 7, 11, 15, 19, … mayroon tayong \(a_1 = 3\) at \(d = 4\), kaya
Ang ganitong pinaikling anyo ay napaka-maginhawa: agad na malinaw na \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), at \(a_{100} = 399\). Nagpapahiwatig din ito ng pagkakaiba: ang anumang aritmetika na progresyon ay may pormula ng ika-n na termino na linear, ng anyong \(a_n = dn + c\), at ang koepisyente bago ang \(n\) ay ang pagkakaiba.
Minsan ang unang termino ay hindi alam, ngunit may ibinigay na ibang termino. Kung gayon, ang parehong ideya ay gumagana sa pangkalahatang anyo: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Katangiang Katangian ng Aritmetika na Progresyon
Ang anumang termino ng progresyon, maliban sa una, ay katumbas ng average na aritmetiko ng mga kapitbahay nito:
Ito ang dahilan kung bakit ang progresyon ay tinatawag na aritmetika. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay gumagana rin sa kabaligtaran: kung sa isang pagkakasunud-sunod ang bawat gitnang termino ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga kapitbahay, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay isang aritmetika na progresyon. Ang ganitong pahayag ay tinatawag na palatandaan ng aritmetika na progresyon, at ginagamit ito sa mga problema upang patunayan na ang tatlong numero ay bumubuo ng isang progresyon.
Halimbawa. Ang mga numero 7, \(x\), 23 ay tatlong magkakasunod na termino ng isang progresyon. Kung gayon \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Pag-check: 7, 15, 23 — ang mga pagkakaiba ay 8 at 8, lahat ay tumutugma.
Ang isang maginhawang paraan ng pagsulat ng parehong katangian ay: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), ibig sabihin, ang doble ng gitnang termino ay katumbas ng kabuuan ng mga dulo. Sa ganitong anyo, mas madaling gamitin ang katangian kapag ang mga termino ay ibinigay ng mga pariralang letra.
Kabuuan ng Unang n na Termino ng Aritmetika na Progresyon
Ang kabuuan \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) ay kinakalkula gamit ang isa sa dalawang pormula:
Ang ideya ng unang pormula ay ang parehong isa na, ayon sa alamat, ay natagpuan ng mag-aaral na si Gauss sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numero mula 1 hanggang 100. Kung idaragdag mo ang unang termino sa huli, ang pangalawa sa pangalawa sa huli, at iba pa, lahat ng pares ay magbibigay ng parehong kabuuan. Mula dito, \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Ang pangalawang pormula ay nagmumula sa una sa pamamagitan ng pagpapalit ng \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — ito ay kinakailangan kapag ang huling termino ay hindi ibinigay at hindi mo nais na kalkulahin ito nang hiwalay.
Halimbawa. Hanapin natin ang kabuuan ng unang dalawampung termino ng progresyon 3, 7, 11, 15, 19, …
Gamit ang unang pormula: \(a_{20} = 79\), kaya \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Gamit ang pangalawa: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Ang mga sagot ay tumugma — ito ang pinakamahusay na pag-check ng mga kalkulasyon.
Paano Malaman Kung ang Isang Numero ay Kabilang sa Aritmetika na Progresyon
Ang tanong na "kung ang isang numero ay isang termino ng progresyon" ay nalulutas sa pamamagitan ng isang equation. Ang isang numero ay kabilang sa progresyon kung at kung lamang kung ang numero nito \(n\) ay lumalabas na natural: 1, 2, 3, at iba pa. Ang isang fractional o non-positive \(n\) ay nangangahulugang walang ganoong termino.
Halimbawa 1. Ang numero ba na 99 ay kabilang sa progresyon 3, 7, 11, 15, 19, …? Ang pormula para sa ika-n na termino dito ay \(a_n = 4n - 1\), kaya lutasin natin ang \(4n - 1 = 99\), kung saan \(4n = 100\) at \(n = 25\). Ang numero ay natural — nangangahulugan ito na ang 99 ay nasa progresyon, ito ang ikadalawampu't limang termino nito.
Halimbawa 2. Paano ang numero 2026? Mula sa \(4n - 1 = 2026\) nakukuha natin ang \(4n = 2027\) at \(n = 506.75\). Ang numero ay fractional, kaya ang 2026 ay hindi termino ng progresyong ito.
Isang kapaki-pakinabang na pahiwatig para sa mabilis na pagtatantya: para sa isang progresyon na may pormulang \(a_n = 4n - 1\), lahat ng mga termino kapag hinati sa 4 ay nagbibigay ng natitirang 3. Ang numero 2026 ay nagbibigay ng natitirang 2, kaya ito ay "lumalagpas" sa progresyon.
Mga Karaniwang Problema sa OGE sa Aritmetika na Progresyon
Sa OGE sa matematika, ang mga progresyon ay lumilitaw bawat taon, at halos lahat ng mga gawain ay nahuhulog sa apat na kategorya.
Hanapin ang termino ayon sa numero. Ibinigay ang \(a_1\) at \(d\) (o ilang unang termino) — ipasok sa \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Hanapin ang numero ayon sa halaga. Ibinigay ang isang numero — ipantay ito sa pormula ng ika-n na termino at lutasin ang equation para sa \(n\).
Hanapin ang kabuuan. Kalkulahin ang \(S_n\) gamit ang alinman sa dalawang pormula; kung kulang ang \(a_n\) — hanapin muna ito.
Hanapin ang bilang ng mga termino. Mula sa pormula ng ika-n na termino, nakakakuha tayo ng isang maginhawang resulta: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Isang hiwalay na kategorya ay ang tekstong problema, kung saan ang progresyon ay nakatago sa isang kuwento. Halimbawa: sa unang araw, ang isang manggagawa ay gumawa ng 12 na piyesa, at sa bawat susunod na araw — 3 piyesa na mas marami kaysa sa nauna; ilang piyesa ang gagawin niya sa loob ng 15 araw? Dito \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Kalkulahin ang huling termino: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Kung gayon \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) na piyesa.
Ang pangunahing payo para sa ganitong mga gawain: una, isulat sa isang hiwalay na linya kung ano ang ibinigay (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) at kung ano ang kailangang hanapin. Kalahati ng mga pagkakamali sa pagsusulit ay hindi dahil sa mga pormula, kundi dahil sa pagkalito ng numero sa halaga ng termino.
Aritmetika at Heometriko na Progresyon: Ano ang Pagkakaiba
Parehong progresyon ay mga patakaran kung saan ang isang termino ay nakukuha mula sa nauna. Ang pagkakaiba ay nasa aksyon: sa aritmetika, ang isang pare-parehong numero \(d\) ay idinadagdag sa termino, sa heometriko — ito ay minamultiplika ng isang pare-parehong numero \(q\), na tinatawag na denominator ng progresyon.
Mula dito, nagkakaiba ang pag-uugali. Ang aritmetika na progresyon ay lumalaki nang pantay-pantay, "sa mga baitang": 3, 7, 11, 15 — bawat hakbang ay nagdaragdag ng 4. Ang heometriko ay lumalaki nang mabilis: 3, 6, 12, 24 — bawat hakbang ay nagdodoble ng numero, at pagkatapos ng sampung hakbang, ang termino ay magiging higit sa isang libo at kalahati.
Madaling suriin ang uri ng pagkakasunud-sunod: kalkulahin ang mga pagkakaiba ng magkakatabing termino at ang kanilang mga ratio. Parehong pagkakaiba — aritmetika na progresyon, parehong ratio — heometriko na progresyon. Kung hindi tumugma ang alinman, ito ay isang simpleng pagkakasunud-sunod lamang: halimbawa, 1, 4, 9, 16 — ito ay mga parisukat ng mga natural na numero, at hindi ito progresyon (ang mga pagkakaiba ay 3, 5, 7 ay iba-iba, ang mga ratio ay iba-iba rin).
Sa kurikulum ng paaralan, ang parehong mga paksa ay itinuturo nang magkasunod sa ika-9 na baitang, kaya madaling mapagkamalan ang mga pormula. Isaisip ang isang gabay: sa aritmetika, ang pagkakaiba \(d\) ay ibinabawas, sa heometriko, ang denominator \(q\) ay ibinabahagi. Lahat ng iba pa ay mga kahihinatnan.
Mga Halimbawa ng Paglutas ng Problema sa Aritmetika na Progresyon
Halimbawa 1. Hanapin ang unang termino at pagkakaiba gamit ang dalawang termino
Ibinigay. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Hanapin ang \(a_1\), \(d\), at \(a_{20}\).
Hakbang 1. Mula sa ikatlong termino hanggang sa ikapitong termino ay eksaktong \(7 - 3 = 4\) na hakbang, bawat isa ay nagdaragdag ng \(d\). Kaya \(a_7 = a_3 + 4d\), ibig sabihin \(30 = 14 + 4d\), kung saan \(4d = 16\) at \(d = 4\).
Hakbang 2. Bumalik sa unang termino: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Hakbang 3. Isulat ang pormula ng ika-n na termino: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Hakbang 4. Kalkulahin ang kinakailangang termino: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Pag-check. Isulat ang simula ng progresyon: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Ang ikatlong termino ay 14, ang ikapitong termino ay 30 — tumugma.
Sagot: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Halimbawa 2. Kabuuan ng unang 30 termino (parehong pormula)
Ibinigay. Progresyon \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Hanapin ang \(S_{30}\).
Hakbang 1. Tukuyin ang mga parameter: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Hakbang 2. Hanapin ang tatlumpung termino: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Hakbang 3. Kalkulahin gamit ang unang pormula: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Hakbang 4. Pag-check gamit ang pangalawang pormula. Una ang numerator: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Pagkatapos ay tulad ng sa ikatlong hakbang: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Parehong paraan ay nagbigay ng 1155 — kaya ang aritmetika ay tama.
Sagot: \(S_{30} = 1155\).
Halimbawa 3. Kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na nahahati sa 7
Gawain. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na nahahati sa 7.
Hakbang 1. Ang mga numerong ito mismo ay bumubuo ng isang aritmetika na progresyon na may pagkakaiba na 7. Ang pinakamaliit na dalawang-digit na multiple ng pito ay 14, ang pinakamalaki ay 98 (ang susunod, 105, ay tatlong-digit na). Nakukuha natin ang \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Hakbang 2. Kalkulahin ang bilang ng mga termino: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Hakbang 3. Kalkulahin ang kabuuan: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Hakbang 4. Pag-check gamit ang pangalawang pormula. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Sagot: 728.
Halimbawa 4. Suriin kung ang isang numero ay kabilang sa progresyon
Gawain. Ang numero bang 145 ay termino ng progresyon \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Paano ang numero 142?
Hakbang 1. Mga parameter ng progresyon: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), kaya \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Hakbang 2. Suriin ang 145: ang equation \(5n + 2 = 145\) ay nagbibigay ng \(5n = 143\) at \(n = 28.6\). Ang numero ay fractional, kaya ang 145 ay hindi termino ng progresyon.
Hakbang 3. Suriin ang 142: \(5n + 2 = 142\), kung saan \(5n = 140\) at \(n = 28\). Ang numero ay natural — ang numero ay kasama.
Hakbang 4. Pag-check sa pamamagitan ng pagpapalit. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Tama.
Sagot: Ang 145 ay hindi kasama sa progresyon; ang 142 ay kasama at ito ang ika-28 na termino nito.
Halimbawa 5. Katangiang katangian na may mga pariralang letra
Gawain. Para sa anong halaga ng \(x\) ang mga numero \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) ay tatlong magkakasunod na termino ng aritmetika na progresyon?
Hakbang 1. Ayon sa katangiang katangian, ang doble ng gitnang termino ay katumbas ng kabuuan ng mga dulo:
Hakbang 2. Buksan ang mga panaklong: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Hakbang 3. Lutasin: \(2 + 4 = 5x - 4x\), ibig sabihin \(x = 6\).
Hakbang 4. Pag-check. Ipasok ang \(x = 6\): ang unang termino \(6 - 3 = 3\), ang pangalawa \(2\cdot 6 + 1 = 13\), ang pangatlo \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Mga pagkakaiba: \(13 - 3 = 10\) at \(23 - 13 = 10\) — pareho.
Sagot: \(x = 6\), ang progresyon ay 3, 13, 23 na may pagkakaiba na 10.
Halimbawa 6. Ilang negatibong termino mayroon ang progresyon
Gawain. Ilang negatibong termino mayroon ang progresyon \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Hakbang 1. Mga parameter: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Pormula ng ika-n na termino: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Hakbang 2. Isulat ang kondisyon na "ang termino ay negatibo": \(3n - 24 < 0\), kung saan \(3n < 24\) at \(n < 8\).
Hakbang 3. Ang mga numero ay natural, kaya ang mga angkop ay \(n = 1, 2, \dots, 7\) — kabuuang pito na termino.
Hakbang 4. Pag-check sa hangganan. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negatibo. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — ang zero ay hindi negatibong numero, kaya ang ikawalong termino ay hindi na binibilang. \(a_9 = 3\) — positibo.
Sagot: pitong negatibong termino.
Mga Karaniwang Pagkakamali sa mga Problema sa Aritmetika na Progresyon
-
Sa pormula ng ika-n na termino, isinusulat nila ang $a_n = a_1 + nd$ sa halip na $a__n = a_1 + (n-1)d$.
Mula sa unang termino hanggang sa ika-n, isang hakbang na mas kaunti kaysa sa numero ang ginagawa. Para sa progresyon \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\), ang ikasampung termino ay \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), hindi 45. Mabilis na pag-check ng pormula: ipasok ang \(n = 1\) — dapat makuha ang eksaktong \(a_1\).
-
Ang pagkakaiba ay kinakalkula sa kabaligtaran: $d = a_1 - a_2$, at ang tanda ay nagiging kabaligtaran.
Ang pagkakaiba ay ang susunod na termino minus ang nauna: \(d = a_2 - a_1\). Para sa progresyon \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\), tama ang \(d = 34 - 40 = -6\). Ang minus na tanda dito ay hindi pagkakamali, kundi isang tanda ng bumababang progresyon.
-
Sa pormula ng kabuuan, nakakalimutan nilang hatiin sa 2 o i-multiply sa $n$: isinusulat nila ang $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Ang mga pares na "unang may huli" ay pinagsasama, mayroong eksaktong \(\dfrac{n}{2}\) sa kanila, kaya ang paghahati sa 2 ay kinakailangan. Para sa progresyon \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\), mayroon tayong \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) at \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), hindi 670.
-
Kapag sinusuri ang pagpasok ng numero, nakakakuha sila ng $n = 0$ o negatibong $n$ at sinasagot pa rin nila ng "kasama".
Ang numero ng termino ay isang natural na numero, ang pagbilang ay nagsisimula sa isa. Halimbawa, para sa progresyon \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\), ang equation \(10 + 4(n-1) = 6\) ay nagbibigay ng \(n = 0\), na nangangahulugang ang 6 ay hindi kasama sa progresyon: ang numerong ito ay dapat na bago ang unang termino.
-
Pinagkakamalan nila kung ano ang nahanap: ipinapalit nila ang halaga ng termino sa kung saan ang numero ay kailangan, at vice versa.
\(a_n\) ay ang halaga, \(n\) ay ang numero ng pagkakasunud-sunod. Kung ang tanong sa problema ay "anong numero ng termino ang katumbas ng 142", ang sagot ay 28, hindi 142. Isang kapaki-pakinabang na ugali: isulat bago ang solusyon ang linya na "ibinigay: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), hanapin: \(n\) ".
-
Iniisip nila na ang progresyon ay kinakailangang tumataas at binubuo ng mga buong numero.
Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), fractional (1; 1.5; 2; 2.5) at kahit zero (8, 8, 8, …). Lahat ng tatlong kaso ay mga lehitimong aritmetika na progresyon, at lahat ng pormula para sa mga ito ay gumagana nang walang pagbabago.
Mga Tanong at Sagot
Ano ang aritmetika na progresyon sa simpleng salita?
Ito ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod na numero ay nakukuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero \(d\) — ang pagkakaiba ng progresyon. Halimbawa, 3, 7, 11, 15, 19, … — isang progresyon na may unang termino na 3 at pagkakaiba na 4.
Ano ang pormula para sa ika-n na termino ng aritmetika na progresyon?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), kung saan \(a_1\) ay ang unang termino, \(d\) ay ang pagkakaiba, \(n\) ay ang numero. Kung hindi ang una, kundi ang ibang termino ay kilala, ang pangkalahatang anyo \(a_n = a_k + (n-k)d\) ay gumagana.
Paano hanapin ang pagkakaiba ng aritmetika na progresyon?
Ibawas ang nauna mula sa anumang termino: \(d = a_n - a_{n-1}\). Kung ibinigay ang dalawang termino na may iba't ibang numero, gamitin ang \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Halimbawa, para sa \(a_5 = 23\) at \(a_9 = 43\), nakukuha natin ang \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), at ang unang termino ay \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Paano hanapin ang unang termino ng aritmetika na progresyon?
Mula sa pormula ng ika-n na termino: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Halimbawa, kung \(a_{12} = 60\) at \(d = 4\), kung gayon \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Pag-check: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Paano hanapin ang kabuuan ng unang n na termino ng aritmetika na progresyon?
Gamit ang pormula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), kung kilala ang huling termino, o gamit ang pormula \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), kung ang unang termino at pagkakaiba lamang ang kilala. Pareho silang nagbibigay ng parehong resulta, kaya ang pangalawa ay maginhawang gamitin bilang pag-check sa una.
Paano hanapin ang bilang ng mga termino ng aritmetika na progresyon?
Mula sa pormula ng ika-n na termino: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Halimbawa, sa progresyon \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\), ang pagkakaiba ay 5, kaya \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) na termino.
Ano ang pagkakaiba ng aritmetika na progresyon sa heometriko na progresyon?
Sa aritmetika, ang pagkakaiba \(d\) ay idinadagdag sa bawat termino, habang sa heometriko, ang bawat termino ay minamultiplika ng denominator \(q\). Mga pormula ng ika-n na termino: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) kumpara sa \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Upang matukoy ang uri, kalkulahin ang mga pagkakaiba ng magkakatabing termino at ang kanilang mga ratio: parehong pagkakaiba — aritmetika, parehong ratio — heometriko.
Maaari bang maging negatibo o zero ang pagkakaiba?
Oo. Kapag \(d < 0\), ang progresyon ay bumababa (halimbawa, 20, 17, 14, 11), kapag \(d = 0\), lahat ng termino ay pareho (6, 6, 6, …) — ito ay isang pare-parehong progresyon. Ang pagkakaiba ay maaari ding maging fractional: 1; 1.5; 2; 2.5 — ito rin ay isang aritmetika na progresyon.
Sa anong baitang pinag-aaralan ang aritmetika na progresyon?
Sa ika-9 na baitang sa mga aralin sa algebra, kasama ang heometriko na progresyon at mga pagkakasunud-sunod ng numero. Ang mga problema sa progresyon ay kasama sa OGE: karaniwang kinakailangan na hanapin ang termino ayon sa numero, ang numero ayon sa halaga, ang bilang ng mga termino, o ang kabuuan ng unang \(n\) na termino.
