Ang proporsyon ay isang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratio, halimbawa \(2:3 = 8:12\). Upang malutas ang mga proporsyon, kailangan lamang ng isang kasangkapan — ang pangunahing katangian ng proporsyon: ang produkto ng mga panlabas na termino ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino. Sa paaralan, tinatawag nila itong patakaran ng 'cross-multiplication'. Sa ibaba — kung ano ang ratio at proporsyon, paano hanapin ang hindi kilalang termino, paano naiiba ang direktang proporsyonalidad sa kabaligtaran, pagsusuri ng mga problema tungkol sa resipe, sukat at presyo, pagdating sa mga porsyento at isang simulator na may 10 problema.
Ano ang Ratio at Proporsyon
Ang ratio ng dalawang numero ay ang kanilang quotient. Ang ratio \(2:3\) (binibigkas na 'dalawa sa tatlo') ay nagpapakita kung ilang beses mas malaki ang isang numero kaysa sa isa pa o kung anong bahagi ang bumubuo ng isa mula sa isa pa. Maaari itong isulat sa dalawang paraan: \(2:3\) o bilang isang fraction na \(\frac{2}{3}\) — pareho lang ang ibig sabihin nito.
Ang proporsyon ay isang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratio:
Mayroon lamang apat na numero sa isang proporsyon, at mayroon silang mga pangalan. Ang mga numero sa mga dulo ng entry ay ang panlabas na mga termino, ang mga numero sa gitna ay ang gitnang mga termino. Ang isang proporsyon ay tama kung ang parehong mga ratio ay katumbas ng parehong numero.
Pangunahing Katangian ng Proporsyon: Patakaran ng 'Cross-Multiplication'
Pangunahing katangian ng proporsyon: ang produkto ng mga panlabas na termino ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.
Bakit ito nangyayari? I-multiply natin ang parehong bahagi ng equation na \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) ng \(b \cdot d\). Sa kaliwa, magka-cancel ang \(b\), sa kanan naman ang \(d\), at maiiwan ang eksaktong \(a \cdot d = c \cdot b\). Walang mahika — ordinaryong katangian lang ng mga equation.
Ito mismo ang tinatawag ng mga mag-aaral na 'paglutas ng mga proporsyon gamit ang cross-multiplication': pinagmu-multiply ang mga numero nang pahilis, cross-multiplication. Gumagana rin ang katangian sa kabaligtaran: kung para sa apat na numero (wala sa mga ito ang zero) ay totoo ang \(a \cdot d = b \cdot c\), kung gayon maaari silang bumuo ng isang tamang proporsyon.
Mula dito, dalawang kasanayan agad: suriin kung tama ang proporsyon, at hanapin ang hindi kilalang numero dito.
Paano Hanapin ang Hindi Kilalang Termino ng Proporsyon
Mula sa pangunahing katangian, dalawang maikling patakaran ang nabubuo:
- hindi kilalang panlabas na termino = produkto ng mga gitnang termino : kilalang panlabas na termino;
- hindi kilalang gitnang termino = produkto ng mga panlabas na termino : kilalang gitnang termino.
Hindi kinakailangang isaulo ang mga ito. Sapat na ang isang unibersal na pamamaraan: i-multiply nang cross-multiplication, makakuha ng equation na 'numero \(\cdot\, x\) = numero' at hatiin. Susuriin natin ito nang hakbang-hakbang gamit ang proporsyon na \(x : 7 = 12 : 21\).
Ang huling hakbang — ang pag-check — ay tumatagal lamang ng limang segundo at nakakakuha ng halos anumang pagkakamali sa aritmetika, kaya hindi ito dapat laktawan.
Direkta at Kabaligtaran na Proporsyonalidad
Ang dalawang dami ay tinatawag na direktang proporsyonal kung, kapag ang isa ay nadagdagan ng ilang beses, ang isa pa ay nadadagdagan din ng parehong bilang ng beses. Bumili ng doble ng dami ng mga notebook — nagbayad ng doble. Ang ganitong mga dami ay may pare-parehong ratio.
Ang mga dami ay kabaligtaran na proporsyonal kung, kapag ang isa ay nadagdagan ng ilang beses, ang isa pa ay nababawasan ng parehong bilang ng beses. Doble ang dami ng mga manggagawa — kalahati ang araw na kailangan para sa parehong trabaho. Ang ganitong mga dami ay may pare-parehong produkto.
Ang pangunahing pagkakaiba ay makikita sa sandaling bumuo tayo ng isang proporsyon. Para sa direktang dependency, ito ay binubuo 'as is': \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Para sa kabaligtaran, ang pangalawang ratio ay ibinabaligtad: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Bakit? Para sa kabaligtaran na dependency, ang produkto ay pare-pareho: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Hatiin natin ang parehong bahagi ng \(a_2 \cdot b_1\) — at makukuha natin ang eksaktong \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Kaya ang 'pagbaligtad' ay hindi isang spell na kailangang tandaan, kundi isang kahihinatnan ng katotohanan na ang produkto ang nananatiling pare-pareho, hindi ang ratio.
| Katangian | Direkta | Kabaligtaran |
|---|---|---|
| Relasyon | mas malaki → mas malaki | mas malaki → mas maliit |
| Konstante | ratio a : b | produkto a × b |
| Pagsulat | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Halimbawa | 3 lapis — 90 ₽, 5 lapis — 150 ₽ | 4 pintor — 9 araw, 6 pintor — 6 araw |
Paano Bumuo ng Proporsyon para sa isang Problema: Resipe, Sukat, Presyo
Ang mga problemang teksto 'tungkol sa proporsyon' ay nilulutas sa isang paraan:
- Isulat ang kondisyon sa dalawang kolum upang ang magkaparehong dami ay magkatapat (mga bahagi sa ilalim ng mga bahagi, gramo sa ilalim ng gramo).
- Lagyan ng label ang hinahanap bilang \(x\).
- Tukuyin ang uri ng dependency: isipin na dagdagan ang unang dami at tingnan kung ang pangalawa ay lumalaki o bumababa.
- Bumuo ng proporsyon — para sa kabaligtaran na dependency, baligtarin ang pangalawang ratio.
- Lutasin gamit ang cross-multiplication at suriin kung makatuwiran ang nakuha na sagot.
Ipakita natin gamit ang isang resipe. Para sa 4 na bahagi ng pancake, kailangan ng 300 g na harina — gaano karaming harina ang kailangan para sa 6 na bahagi? Mas marami ang bahagi, kaya mas marami rin ang harina: direktang dependency, ang proporsyon ay binubuo 'as is':
Para sa 6 na bahagi, kailangan ng 450 g na harina. Makatuwiran ang sagot: ang bilang ng mga bahagi ay tumaas ng kalahati, at ang dami ng harina ay tumaas din ng kalahati.
Ganito rin nilulutas ang mga problema sa sukat (ang distansya sa mapa ay may kaugnayan sa distansya sa lupa tulad ng 1 sa numero ng sukat) at sa presyo (ang dami ng produkto ay may kaugnayan sa dami tulad ng halaga sa halaga). Ang kumpletong mga pagsusuri ay nasa mga halimbawa sa ibaba.
Mga Porsyento sa pamamagitan ng Proporsyon
Ang porsyento ay ang ikasandaang bahagi ng isang numero, kaya ang anumang simpleng problema sa porsyento ay nagiging isang proporsyon:
Kung saan ang isa sa apat na numero ay hindi kilala — iyon ang hinahanap natin gamit ang cross-multiplication.
Paghahanap ng bahagi. Magkano ang 15% ng 240? Bumubuo tayo ng \(x : 240 = 15 : 100\), kaya \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) at \(x = 36\).
Paghahanap ng kabuuang halaga. Ang numero 21 ay bumubuo ng 35% ng isang numero. Bumubuo tayo ng \(21 : x = 35 : 100\), kaya \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) at \(x = 60\).
Paghahanap ng porsyento. Ilang porsyento ang 18 mula sa 45? Bumubuo tayo ng \(18 : 45 = p : 100\), kaya \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) at \(p = 40\), ibig sabihin 40%.
Isang pamamaraan — tatlong magkakaibang uri ng problema, walang kailangang dagdag na tandaan. Ang tanong na 'ilang porsyento tumaas o bumaba ang dami' ay hiwalay: doon muna hinahanap ang pagbabago, at pagkatapos ay hinahati ito sa orihinal na halaga — iyon ay formula na para sa porsyento ng pagbabago, hindi isang simpleng proporsyon.
Mga Halimbawa ng Paglutas ng Proporsyon na may Hakbang-hakbang na Pagsusuri
Halimbawa 1. Hindi Kilalang Gitnang Termino
Problema. Hanapin ang hindi kilalang termino ng proporsyon na \(15 : x = 45 : 24\).
Hakbang 1. Tinutukoy natin kung alin ang alin. Ang mga panlabas ay 15 at 24, ang mga gitna ay \(x\) at 45.
Hakbang 2. Inilalapat natin ang pangunahing katangian: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), ibig sabihin \(360 = 45x\).
Hakbang 3. Hinahati natin: \(x = 360 : 45 = 8\).
Pag-check. \(15 : 8 = 1.875\) at \(45 : 24 = 1.875\) — magkatumbas ang mga ratio.
Sagot: \(x = 8\).
Halimbawa 2. Direktang Proporsyonalidad: Presyo at Dami
Problema. Anim na notebook ang nagkakahalaga ng 210 ₽. Magkano ang halaga ng 10 parehong notebook?
Hakbang 1. Mas marami ang notebook — mas malaki ang halaga, kaya direkta ang dependency.
Hakbang 2. Isinusulat natin ang kondisyon upang ang magkaparehong dami ay magkatabi, at binubuo natin ang proporsyon 'as is':
Hakbang 3. Cross-multiplication: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), kaya \(x = 2100 : 6 = 350\).
Pag-check. Ang isang notebook ay nagkakahalaga ng \(210 : 6 = 35\) ₽, at sampu ay \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Nagkakatugma.
Sagot: 350 ₽.
Halimbawa 3. Kabaligtaran na Proporsyonalidad: Mga Manggagawa at Araw
Problema. Walong manggagawa ang gumagawa ng order sa loob ng 15 araw. Sa ilang araw gagawin ng 12 manggagawa ang parehong order kung pareho ang bilis ng kanilang pagtatrabaho?
Hakbang 1. Mas marami ang manggagawa — mas kaunti ang araw na kailangan. Kabaligtaran ang dependency.
Hakbang 2. Binubuo natin ang proporsyon, ibinabaligtad ang pangalawang ratio:
Dito, ang \(x\) ay ang mga araw para sa 12 manggagawa, at ang 15 ay ang mga araw para sa 8 manggagawa: nagpalitan sila ng pwesto dahil kabaligtaran ang dependency.
Hakbang 3. Cross-multiplication: \(8 \cdot 15 = 12x\), ibig sabihin \(120 = 12x\) at \(x = 10\).
Pag-check. Ang produkto ay pare-pareho: \(8 \cdot 15 = 120\) at \(12 \cdot 10 = 120\). Nagkakatugma, at makatuwiran ang sagot — mas kaunti ang araw.
Sagot: 10 araw.
Halimbawa 4. Sukat ng Mapa
Problema. Ang sukat ng mapa ay \(1 : 200,000\). Ang distansya sa pagitan ng mga nayon sa mapa ay 7 cm. Gaano kalayo ang pagitan nila sa totoong lupa?
Hakbang 1. Ang sukat na \(1 : 200,000\) ay nangangahulugang: 1 cm sa mapa ay katumbas ng 200,000 cm sa totoong lupa. Ito ay isang handa nang ratio.
Hakbang 2. Binubuo natin ang proporsyon:
Hakbang 3. Cross-multiplication: \(1 \cdot x = 200,000 \cdot 7\), ibig sabihin \(x = 1,400,000\) cm.
Hakbang 4. I-convert natin sa maginhawang yunit: sa isang kilometro ay may 100,000 cm, kaya \(1,400,000 : 100,000 = 14\) km.
Sagot: 14 km.
Halimbawa 5. Mga Porsyento sa pamamagitan ng Proporsyon
Problema. Sa klase, mayroong 25 na mag-aaral, 60% sa kanila ang pumunta sa field trip. Ilang tao ang pumunta sa field trip?
Hakbang 1. Ang kabuuang halaga ay ang lahat ng 25 na mag-aaral, na katumbas ng 100%. Ang hinahanap na bahagi ay \(x\) na tao, na katumbas ng 60%.
Hakbang 2. Binubuo natin ang proporsyon 'bahagi : kabuuang halaga = porsyento : 100':
Hakbang 3. Cross-multiplication: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), kaya \(x = 15\).
Pag-check. 15 tao mula sa 25 ay \(15 : 25 = 0.6\), ibig sabihin eksaktong 60%.
Sagot: 15 tao.
Mga Karaniwang Pagkakamali sa Paglutas ng mga Proporsyon
-
Pinagmu-multiply ang mga numero nang 'pahalang', hindi cross-multiplication: sa proporsyon na 5 : 2 = 20 : 8, kinakalkula ang 5 · 2 at 20 · 8.
Ang pangunahing katangian ay nag-uugnay sa mga panlabas na termino sa mga gitnang termino, ibig sabihin, ang mga numero nang pahilis: 5 · 8 = 40 at 2 · 20 = 40. Nagkatugma ang mga produkto — tama ang proporsyon. Habang ang 5 · 2 at 20 · 8 ay hindi magkatumbas at walang sinasabi.
-
Sa problema na may kabaligtaran na dependency, bumubuo ng 'direktang' proporsyon. Anim na bomba ang nagpupuno ng tangke sa loob ng 10 oras; ang entry na 6 : 15 = 10 : x ay nagbibigay ng 25 oras para sa 15 bomba.
Mas marami ang bomba — mas kaunti ang oras na dapat kailanganin, ngunit lumalabas na mas marami: ibig sabihin, hindi tama ang pagkakabuo ng proporsyon. Kailangang baligtarin ang pangalawang ratio: 6 : 15 = x : 10, kung gayon 15x = 60 at x = 4 oras. Palaging suriin ang sagot kung ito ay makatuwiran.
-
Pagkatapos ng 'cross-multiplication', hinahati nang pabaliktad: mula sa equation na 8x = 96, nakukuha ang x = 8 : 96.
Upang mahanap ang x, ang produkto ay hinahati sa koepisyente na katabi ng x: x = 96 : 8 = 12. Magandang ugali — ibalik ang nahanap na numero: 8 · 12 = 96, tama ang lahat.
-
Hindi pinag-uugnay ang mga yunit ng pagsukat. Sa problema na may sukat na 1 : 50,000 na may 3 cm sa mapa, isinusulat ang sagot na '1.5' nang walang yunit o tinatawag itong metro.
Una, kinakalkula natin sa mga yunit kung saan ibinigay ang sukat: 3 · 50,000 = 150,000 cm. At saka lamang natin ito iko-convert: 150,000 cm = 1500 m = 1.5 km. Ang mga yunit sa sagot ay kasinghalaga ng numero mismo.
-
Nagkakamali sa pagitan ng ratio at proporsyon: sa kahilingang bumuo ng proporsyon, nagsusulat ng isang ratio na '12 : 4'.
Ang ratio ay isang quotient ng dalawang numero, halimbawa 12 : 4. Ang proporsyon ay isang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratio, mayroon itong apat na numero: 12 : 4 = 30 : 10 (sinusuri natin: 12 · 10 = 120 at 4 · 30 = 120).
Mga Tanong at Sagot
Paano naiiba ang ratio sa proporsyon?
Ang ratio ay ang quotient ng dalawang numero, halimbawa 12 : 4. Ang proporsyon ay isang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratio, mayroon itong apat na numero: 12 : 4 = 30 : 10. Ang ratio ay sumasagot sa tanong na 'ilang beses', habang ang proporsyon ay nagsasaad na ang dalawang paghahambing na ito ay nagbibigay ng parehong resulta.
Ano ang mga panlabas at gitnang termino ng proporsyon?
Sa entry na a : b = c : d, ang mga panlabas na termino ay ang mga nasa dulo, ibig sabihin a at d. Ang mga gitna ay ang mga nasa gitna, ibig sabihin b at c. Kung ang proporsyon ay nakasulat bilang mga fraction, ang mga panlabas na termino ay ang numerator ng unang fraction at ang denominator ng pangalawa, habang ang mga gitna ay ang denominator ng una at ang numerator ng pangalawa.
Paano suriin kung tama ang isang proporsyon?
I-multiply nang cross-multiplication at ihambing ang mga produkto. Halimbawa, para sa 9 : 12 = 15 : 20, kinakalkula natin ang 9 · 20 = 180 at 12 · 15 = 180 — nagkatugma ang mga numero, kaya tama ang proporsyon. Kung magkaiba ang mga produkto, hindi tama ang proporsyon.
Maaari bang pagpalitin ang mga termino ng proporsyon?
Oo, kung gagawin ito ayon sa mga patakaran. Sa isang tamang proporsyon, maaari mong pagpalitin ang mga panlabas na termino, maaari mong pagpalitin ang mga gitnang termino, o maaari mong baligtarin ang parehong bahagi nang sabay-sabay — mananatiling tama ang proporsyon. Mula sa 4 : 6 = 10 : 15, makukuha natin ang 4 : 10 = 6 : 15 o 6 : 4 = 15 : 10 — ang produkto sa pamamagitan ng diagonal ay 60 sa lahat ng kaso. Ngunit hindi mo maaaring pagpalitin ang isang numero lamang.
Ano ang ibig sabihin ng 'paglutas ng proporsyon gamit ang cross-multiplication'?
Ito ay isang kolokyal na tawag para sa pangunahing katangian ng proporsyon. Ang mga numero ay pinagmu-multiply nang pahilis, cross-multiplication: ang panlabas sa panlabas at ang gitna sa gitna. Ito ay lumilikha ng isang equation na may isang hindi kilalang termino, na nilulutas sa pamamagitan ng isang paghahati. Walang hiwalay na 'cross method' maliban sa pangunahing katangian.
Paano malalaman kung ang dependency sa problema ay direkta o kabaligtaran?
Isipin na doblehin ang unang dami at tingnan ang pangalawa. Kung ito rin ay nadoble — direkta ang dependency, ang proporsyon ay binubuo 'as is'. Kung ito ay nabawasan ng kalahati — kabaligtaran ang dependency, kailangang baligtarin ang pangalawang ratio. Isa pang palatandaan: para sa direktang dependency, ang ratio ng mga dami ay pare-pareho, habang para sa kabaligtaran — ang kanilang produkto.
Paano lutasin ang mga problema sa porsyento gamit ang proporsyon?
Bumuo ng proporsyon na 'bahagi : kabuuang halaga = porsyento : 100' at hanapin ang hindi kilalang termino gamit ang cross-multiplication. Halimbawa, 12% ng 350: makukuha natin ang x : 350 = 12 : 100, kaya 100x = 4200 at x = 42. Sa parehong paraan, hinahanap din ang kabuuang halaga mula sa kilalang bahagi, at ang porsyento mismo.
