Ang quadratic formula ay lumulutas ng anumang quadratic equation na nasa anyong \(ax^2 + bx + c = 0\) (kung saan ang \(a \neq 0\)). Ang mga root nito ay ibinibigay ng \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Sa pahinang ito, makikita mo ang kahulugan ng bawat bahagi, kung paano gamitin ang formula nang hakbang-hakbang, kung paano ipinapakita ng discriminant ang bilang ng mga solusyon, at mga kumpletong halimbawa — kasama ang isang interactive trainer para makapagsanay ka agad.
Ano ang quadratic formula
Ang isang quadratic equation ay anumang equation na maisusulat sa standard form na \(ax^2 + bx + c = 0\), kung saan ang \(a\), \(b\), at \(c\) ay mga numero at \(a \neq 0\). Ang mga numerong \(a\), \(b\), at \(c\) ay tinatawag na coefficients: ang \(a\) ay coefficient ng \(x^2\), ang \(b\) ay coefficient ng \(x\), at ang \(c\) ay ang constant term.
Ibinibigay ng quadratic formula ang mga solusyon (ang mga root) nang direkta mula sa tatlong coefficient na ito — hindi na kailangan ng factoring. Gumagana ito para sa bawat quadratic, kahit sa mga hindi madaling i-factor.
Saan ito nagmula (deribasyon): ang formula ay ang resulta ng completing the square sa pangkalahatang equation. I-divide ang \(ax^2 + bx + c = 0\) sa \(a\), ilipat ang constant sa kabilang panig, idagdag ang \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) sa magkabilang panig para makabuo ng perfect square, at kunin ang square root. Ang resulta ay ang iisang formula sa ibaba, na valid para sa anumang \(a\), \(b\), \(c\).
Ang discriminant: ilang root ang mayroon
Ang bahagi sa ilalim ng square root, \(b^2 - 4ac\), ay tinatawag na discriminant (madalas isulat bilang \(D\)). Hindi mo kailangang tapusin ang buong formula para malaman kung ilang solusyon ang mayroon ang isang equation — ang sign ng discriminant ang agad na magsasabi sa iyo.
Dahil hindi ka makakakuha ng real square root ng isang negatibong numero, hinahati ng sign ng \(D\) ang bawat quadratic sa tatlong kaso: dalawang root, isang paulit-ulit na root, o walang real root. Sa graph, ito ang punto kung saan ang parabola na \(y = ax^2 + bx + c\) ay tumatama sa x-axis — dalawang beses, isang beses (sa vertex), o hindi man lang.
| Discriminant D = b² − 4ac | Mga real root | Ano ang makukuha mo |
|---|---|---|
| D > 0 | Dalawang magkaibang real root | Ang parabola ay tumatawid sa x-axis nang dalawang beses. Gamitin ang parehong sign: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Isang real root (paulit-ulit) | Ang parabola ay tumatama sa x-axis sa vertex nito. Nawawala ang ±: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Walang real root | Ang parabola ay hindi kailanman tumatama sa x-axis. Walang real square root ang negatibong numero. |
Paano gamitin ang quadratic formula: mga hakbang
Ang quadratic formula ay laging gumagana sa parehong paraan. Sundin ang limang hakbang na ito nang sunod-sunod at hindi ka mabibigo — ang pinakamahirap na bahagi ay ang tamang pagbasa sa mga coefficient (kasama ang kanilang mga sign).
Mga halimbawa ng quadratic formula (hakbang-hakbang)
Halimbawa 1. Dalawang real root (D > 0)
Lutasin ang \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Hakbang 1–2. Nasa standard form na ito, kaya basahin ang mga coefficient: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Hakbang 3. Discriminant: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Hakbang 4. \(D = 25 > 0\), kaya may dalawang magkaibang real root.
Hakbang 5. I-substitute: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Gamit ang plus sign: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Gamit ang minus sign: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Mga root: \(x = 3\) at \(x = \tfrac{1}{2}\).
Halimbawa 2. Isang paulit-ulit na root (D = 0)
Lutasin ang \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Hakbang 1–2. Nasa standard form na: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Hakbang 3. Discriminant: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Hakbang 4. \(D = 0\), kaya may eksaktong isang real root (isang paulit-ulit na root). Ang \(\pm\) term ay nawawala dahil ang \(\sqrt{0} = 0\).
Hakbang 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Root: \(x = 3\) (ang quadratic na ito ay isang perfect square \((x-3)^2 = 0\)).
Halimbawa 3. Walang real root (D < 0)
Lutasin ang \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Hakbang 1–2. Standard form: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Hakbang 3. Discriminant: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Hakbang 4. \(D = -16 < 0\). Dahil hindi ka makakakuha ng real square root ng negatibong numero, ang equation na ito ay walang real root — ang parabola nito ay hindi kailanman tumatawid sa x-axis.
Hakbang 5. Wala nang kailangang gawin para sa mga real solution. (Kung natutunan mo na ang complex numbers, ang mga root ay \(x = -1 \pm 2i\), ngunit para sa real answer, dito na tayo titigil.)
Mga karaniwang pagkakamali sa quadratic formula
-
Maling pagkuha sa sign ng b, lalo na kapag ang b ay negatibo.
Ang formula ay nagsisimula sa −b. Kung ang b = −7, ang −b = +7 — nagkakansela ang dalawang minus sign. Isulat nang buo ang substitution, hal. −(−7), bago i-simplify.
-
Nakalilimutang isama ang ± at nagrereport lang ng isang root.
Kapag D > 0, ang ± ay nagbubunga ng dalawang sagot: isa na may + at isa na may −. Palaging kalkulahin ang parehong (−b + √D)/(2a) at (−b − √D)/(2a) maliban kung D = 0.
-
Pag-divide lamang sa bahagi ng numerator ng 2a.
Ang buong numerator, −b ± √D, ay dapat i-divide sa 2a — hindi lang ang bahaging √D. Panatilihin itong isang fraction: (−b ± √D) / (2a).
-
Maling pagkalkula sa discriminant kapag ang a o c ay negatibo.
Sa D = b² − 4ac, ang pagbabawas ng 4ac kapag ang a·c ay negatibo ay nagiging pagdaragdag. Para sa 3x² − 2x − 1, ang −4·3·(−1) = +12, kaya D = 4 + 12 = 16, hindi 4 − 12.
-
Paggamit ng formula bago isulat ang equation sa standard form.
Ilipat ang bawat term sa isang panig para ang equation ay maging ax² + bx + c = 0 muna. Halimbawa, ang x² = 5x − 6 ay dapat maging x² − 5x + 6 = 0 bago mo basahin ang a, b, c.
Mga madalas itanong (FAQ)
Ano ang quadratic formula?
Ang quadratic formula ay x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ibinibigay nito ang mga solusyon ng anumang quadratic equation na ax² + bx + c = 0 (kung saan ang a ≠ 0) nang direkta mula sa mga coefficient na a, b, at c.
Paano gamitin ang quadratic formula nang hakbang-hakbang?
Isulat ang equation sa standard form na ax² + bx + c = 0, tukuyin ang a, b, at c kasama ang kanilang mga sign, kalkulahin ang discriminant na D = b² − 4ac, suriin ang sign nito para makita kung ilang root ang mayroon, pagkatapos ay i-substitute sa x = (−b ± √D) / (2a) at i-simplify ang parehong plus at minus na bersyon.
Ano ang discriminant at bakit ito mahalaga?
Ang discriminant ay D = b² − 4ac, ang expression sa ilalim ng square root. Ang sign nito ang nagsasabi sa iyo ng bilang ng mga real root nang hindi tinatapos ang kalkulasyon: ang D > 0 ay nagbibigay ng dalawang real root, ang D = 0 ay nagbibigay ng isang paulit-ulit na root, at ang D < 0 ay nagbibigay ng walang real root.
Kailan ko dapat gamitin ang quadratic formula sa halip na factoring?
Ang factoring ay mabilis kapag ang quadratic ay na-factor gamit ang maliliit na buong numero. Ang quadratic formula ay gumagana para sa bawat quadratic, kabilang ang mga hindi madaling i-factor o may mga irrational o hindi integer na root, kaya ito ang maaasahang paraan kapag hindi halata ang factoring.
Saan nagmula ang quadratic formula?
Nagmula ito sa pag-complete the square sa pangkalahatang equation na ax² + bx + c = 0: i-divide sa a, i-complete the square sa pamamagitan ng pagdaragdag ng (b/2a)², isulat muli ang kaliwang bahagi bilang isang perfect square, at kunin ang square root ng magkabilang panig. Ang resulta ay ang quadratic formula.
Maaari bang walang sagot ang quadratic formula?
Kung ang discriminant ay negatibo (D < 0), walang real solution dahil hindi ka makakakuha ng real square root ng negatibong numero. Ang equation ay mayroon pa ring dalawang complex root, ngunit walang mga real root — sa graph, ang parabola ay hindi kailanman tumatama sa x-axis.
