Ang mga Formula ng Pinaikling Pagpaparami (FSU) ay mga nakahandang algebraic identity na nagbibigay-daan sa pag-expand ng mga parenthesis at pag-factor ng mga expression nang hindi na kailangang mag-multiply nang matagal. Sa pahinang ito, makikita ang talahanayan ng lahat ng pitong formula: square ng sum at difference, difference ng squares, cube ng sum at difference, at sum at difference ng cubes. Sinusuri natin ang bawat formula kasama ang derivation at mga halimbawa, at sa dulo ay may interactive na pagsasanay kung saan maaari mong subukan agad ang paggamit ng FSU.
Ano ang mga formula ng pinaikling pagpaparami
Ang mga formula ng pinaikling pagpaparami ay mga identity na nakukuha kung i-multiply mo nang maayos ang mga polynomial nang isang beses at tandaan ang resulta. Pagkatapos nito, hindi mo na kailangang i-expand ang mga parenthesis sa bawat pagkakataon: sapat na kilalanin ang "pattern" at ipalit ang iyong mga numero o titik.
Sa kurikulum ng algebra sa Grade 7, ang FSU ay gumagana sa dalawang direksyon:
- mula kaliwa pakanan — upang mabilis na i-expand ang mga parenthesis at i-square o i-cube ang isang expression;
- mula kanan pakaliwa — upang i-factor ang isang polynomial (kailangan ito para sa pag-simplify ng mga fraction at paglutas ng mga equation).
May kabuuang pitong formula ang dapat tandaan. Sa ibaba ay ang talahanayan-gabay, at pagkatapos ay ang pagsusuri sa bawat formula nang hiwalay.
Talahanayan ng mga formula ng pinaikling pagpaparami
Maginhawang makita ang lahat ng pitong formula ng pinaikling pagpaparami sa isang talahanayan. Ang mga titik na \(a\) at \(b\) dito ay anumang expression: numero, variable, o isang buong monomial tulad ng \(2x\).
| Formula | Pagsulat |
|---|---|
| Square ng sum | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Square ng difference | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Difference ng squares | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Cube ng sum | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Cube ng difference | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Sum ng cubes | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Difference ng cubes | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Square ng sum at square ng difference
Ang square ng sum ay nakukuha kung i-multiply ang \((a+b)\) sa sarili nito:
Sa madaling salita: ang square ng sum ay katumbas ng square ng unang expression plus ang doble ng produkto ng una at pangalawa plus ang square ng pangalawa. Ganito rin ang derivation ng square ng difference — ang sign ng gitnang term ay nagiging minus:
Ang pinakamahalaga ay huwag kalimutan ang gitnang term na \(2ab\): dahil dito, ang \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Ang square ng sum at square ng difference ay nagkakaiba lamang sa sign bago ang \(2ab\), habang ang mga dulo na term na \(a^2\) at \(b^2\) ay laging may plus sign.
Halimbawa. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Ang square ng sum ay may malinaw na geometric na kahulugan: ito ang area ng isang malaking square na may side na \((a+b)\).
Difference ng squares
Kung i-multiply ang sum at difference ng parehong mga expression, ang mga gitnang term ay nagkakansela:
Nakukuha ang formula ng difference ng squares: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ito ang pinakagamiting FSU para sa factoring: sa sandaling makakita ka ng difference ng dalawang square, i-factor agad ito bilang produkto.
Halimbawa (pag-expand). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Halimbawa (factoring). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Mahalaga: ang sum ng squares na \(a^2 + b^2\) ay hindi ma-factor gamit ang formula na ito — ang difference lamang ang gumagana.
Cube ng sum, cube ng difference, sum at difference ng cubes
Ang cube ng sum at cube ng difference ay naglalaman na ng apat na term:
Sa cube ng difference, ang mga sign ay salit-salit: \(+\,-\,+\,-\). At muli, isang madalas na bitag: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — hindi mo maaaring "ipamahagi" lang ang exponent, ang mga gitnang term na \(3a^2b\) at \(3ab^2\) ay hindi dapat mawala.
Halimbawa. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Hiwalay ang sum at difference ng cubes — sila naman ang nag-fa-factor ng expression:
Ang pangalawang factor ay tinatawag na incomplete square ng sum o difference. Ang sign sa gitnang term nito ay laging kabaligtaran ng sign sa unang parenthesis: sa sum ng cubes — \(-ab\), sa difference ng cubes — \(+ab\).
Halimbawa. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Mga halimbawa ng paggamit ng mga formula ng pinaikling pagpaparami
Halimbawa 1. I-expand ang mga parenthesis: square ng sum
Gawain. I-square ang \((2x+5)^2\).
Hakbang 1. Kilalanin ang formula ng square ng sum: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), kung saan \(a = 2x\), \(b = 5\).
Hakbang 2. Kalkulahin ang bawat term:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Sagot. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Halimbawa 2. I-condense sa formula ng difference ng squares
Gawain. Hanapin ang produkto ng \((3x-4)(3x+4)\).
Hakbang 1. Ito ay produkto ng difference at sum ng parehong mga expression — ito ay difference ng squares \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), kung saan \(a = 3x\), \(b = 4\).
Hakbang 2. I-square ang bawat expression: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Sagot. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Halimbawa 3. I-factor
Gawain. I-factor ang \(x^2 - 36\) at \(x^3 + 27\).
Difference ng squares. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Sum ng cubes. Mapapansin na \(27 = 3^3\), kaya \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Gamitin ang formula na \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) kung saan \(a = x\), \(b = 3\):
Bigyang-pansin ang sign na \(-3x\) sa incomplete square — sa sum ng cubes, ang gitnang term ay may minus sign.
Halimbawa 4. Cube ng sum
Gawain. I-expand ang \((x+2)^3\).
Hakbang 1. Formula ng cube ng sum: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), kung saan \(a = x\), \(b = 2\).
Hakbang 2. Kalkulahin ang mga term nang sunod-sunod:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Sagot. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Mga madalas na pagkakamali sa paggamit ng FSU
-
Nakalilimutan ang doble ng produkto: isinusulat na $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Sa square ng sum at difference, laging may gitnang term na \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Madaling i-check — i-expand ang \((a+b)(a+b)\) nang patayo, at lalabas ang gitnang term.
-
Nagkakapalit ang mga sign sa square ng difference at sa difference ng squares.
Sa square ng difference, ang minus ay nasa gitnang term lamang: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (ang mga dulo ay may plus). Sa difference ng squares, ang minus ay nasa pagitan ng mga square: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Magkaibang formula ang mga ito.
-
"Ipinapamahagi" ang exponent sa cube: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Hindi ito dapat gawin. Ang cube ng sum ay naglalaman ng apat na term: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Ang formula na \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) ay iba (sum ng cubes), ito ay para sa factoring.
-
Sa incomplete square ng sum/difference ng cubes, inilalagay ang doble ng produkto na $2ab$.
Ang incomplete square ay \(a^2 \pm ab + b^2\), walang doble bago ang \(ab\). Ang sign ay kabaligtaran ng sign sa unang parenthesis: sum ng cubes \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), difference ng cubes \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Sinusubukang i-factor ang sum ng squares na $a^2 + b^2$.
Ang difference ng squares na \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) lamang ang ma-factor. Ang sum ng squares na \(a^2 + b^2\) ay hindi ma-factor sa kurikulum ng paaralan.
Mga tanong at sagot
Ilan lahat ang formula ng pinaikling pagpaparami?
Pito: square ng sum, square ng difference, difference ng squares, cube ng sum, cube ng difference, sum ng cubes, at difference ng cubes. Lahat sila ay nasa talahanayan sa itaas.
Ano ang katumbas ng square ng sum?
Square ng unang expression plus ang doble ng produkto ng una at pangalawa plus ang square ng pangalawa: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Sa square ng difference, ang gitnang term ay may minus sign: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Paano i-factor ang difference ng squares?
Gamit ang formula na \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Halimbawa, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Sapat na makita na ang parehong term ay mga perfect square, at may minus sa pagitan nila.
Bakit ang $(a+b)^2$ ay hindi katumbas ng $a^2 + b^2$?
Dahil sa pag-multiply ng \((a+b)(a+b)\), may lumalabas na dalawa pang magkaparehong term na \(ab\), na nagbibigay ng gitnang term na \(2ab\). Hindi ito dapat mawala: ang tama ay \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Ano ang pagkakaiba ng cube ng sum sa sum ng cubes?
Ang cube ng sum \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) ay pag-expand ng mga parenthesis. Ang sum ng cubes \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) ay kabaligtaran, ito ay factoring ng expression. Magkaibang formula ang mga ito, huwag silang pagpalitin.
Anong grade tinuturo ang mga formula ng pinaikling pagpaparami?
Karaniwan sa Grade 7 sa mga klase sa algebra: una ang square ng sum at difference, difference ng squares, pagkatapos ay ang mga formula para sa cubes. Aktibo itong ginagamit sa pag-simplify ng mga expression, pag-reduce ng mga fraction, at paglutas ng mga equation.
