Förkortade multiplikationsregler är färdiga algebraiska identiteter som gör att du kan utveckla parenteser och faktorisera uttryck utan att behöva multiplicera allt steg för steg. På den här sidan hittar du en tabell med alla sju regler: kvadraten på en summa och differens, konjugatregeln, kuben på en summa och differens, samt summa och differens av kuber. Vi går igenom varje regel med härledning och exempel, och längst ner finns en interaktiv övning där du kan träna direkt.
Vad är förkortade multiplikationsregler
Förkortade multiplikationsregler är identiteter som uppstår när man multiplicerar polynom och memorerar resultatet. Därefter behöver man inte utveckla parenteserna varje gång: det räcker att känna igen mönstret och sätta in sina egna tal eller bokstäver.
I matematikundervisningen i årskurs 7 används dessa regler på två sätt:
- från vänster till höger — för att snabbt utveckla parenteser och kvadrera eller kubera ett uttryck;
- från höger till vänster — för att faktorisera ett polynom (används för att förenkla bråk och lösa ekvationer).
Totalt lär man sig sju regler. Nedan finns en tabell och därefter en genomgång av varje regel.
Tabell över förkortade multiplikationsregler
Alla sju förkortade multiplikationsregler är smidiga att ha samlade i en tabell. Bokstäverna \(a\) och \(b\) här representerar valfria uttryck: ett tal, en variabel eller en hel monom som \(2x\).
| Regel | Formel |
|---|---|
| Kvadrat på summa | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kvadrat på differens | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Konjugatregeln | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kuben på en summa | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kuben på en differens | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Summa av kuber | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Differens av kuber | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kvadrat på summa och kvadrat på differens
Kvadrat på en summa fås genom att multiplicera \((a+b)\) med sig självt:
I ord: kvadraten på en summa är lika med kvadraten på det första uttrycket plus den dubbla produkten av det första och det andra uttrycket plus kvadraten på det andra. På samma sätt härleds kvadraten på en differens — tecknet framför den mellersta termen blir minus:
Det viktigaste är att inte glömma den mellersta termen \(2ab\): det är på grund av den som \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Kvadrat på summa och kvadrat på differens skiljer sig endast åt genom tecknet framför \(2ab\), medan de yttre termerna \(a^2\) och \(b^2\) alltid har plustecken.
Exempel. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kvadrat på en summa har en tydlig geometrisk tolkning: det är arean av en stor kvadrat med sidan \((a+b)\).
Konjugatregeln
Om man multiplicerar summan och differensen av samma uttryck, tar de mellersta termerna ut varandra:
Resultatet är konjugatregeln: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Detta är den mest användbara regeln för faktorisering: så fort du ser en differens av två kvadrater — faktorisera direkt till en produkt.
Exempel (utveckla parenteser). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Exempel (faktorisera). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Obs: en summa av kvadrater \(a^2 + b^2\) kan inte faktoriseras med denna regel — det fungerar bara med differens.
Kuben på en summa, kuben på en differens, summa och differens av kuber
Kuben på en summa och kuben på en differens innehåller fyra termer:
I kuben på en differens växlar tecknen: \(+\,-\,+\,-\). Och återigen en vanlig fälla: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — man kan inte bara "dela ut" potensen, de mellersta termerna \(3a^2b\) och \(3ab^2\) får inte glömmas bort.
Exempel. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Separat har vi summa och differens av kuber — dessa används tvärtom för att faktorisera uttryck:
Den andra faktorn kallas för en ofullständig kvadrat av en summa eller differens. Tecknet i dess mellersta term är alltid motsatt tecknet i den första parentesen: för summa av kuber är det \(-ab\), för differens av kuber är det \(+ab\).
Exempel. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Exempel på tillämpning av förkortade multiplikationsregler
Exempel 1. Utveckla parentesen: kvadrat på summa
Uppgift. Kvadrera \((2x+5)^2\).
Steg 1. Identifiera regeln för kvadrat på summa: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), där \(a = 2x\), \(b = 5\).
Steg 2. Beräkna varje term:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Svar. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Exempel 2. Använd konjugatregeln
Uppgift. Beräkna produkten \((3x-4)(3x+4)\).
Steg 1. Vi har produkten av differensen och summan av samma uttryck — detta är konjugatregeln \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), där \(a = 3x\), \(b = 4\).
Steg 2. Kvadrera varje uttryck: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Svar. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Exempel 3. Faktorisera
Uppgift. Faktorisera \(x^2 - 36\) och \(x^3 + 27\).
Konjugatregeln. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Summa av kuber. Vi noterar att \(27 = 3^3\), vilket betyder \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Vi använder regeln \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) med \(a = x\), \(b = 3\):
Notera minustecknet \(-3x\) i den ofullständiga kvadraten — för summa av kuber har den mellersta termen ett minustecken.
Exempel 4. Kuben på en summa
Uppgift. Utveckla parentesen \((x+2)^3\).
Steg 1. Regeln för kuben på en summa: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), där \(a = x\), \(b = 2\).
Steg 2. Beräkna termerna i ordning:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Svar. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Vanliga fel vid arbete med förkortade multiplikationsregler
-
Man glömmer den dubbla produkten: skriver $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
I kvadraten på en summa och differens finns alltid en mellersta term \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Det är lätt att kontrollera — multiplicera \((a+b)(a+b)\) steg för steg, så dyker den mellersta termen upp.
-
Man blandar ihop tecknen i kvadrat på differens och konjugatregeln.
I kvadrat på differens står minustecknet endast vid den mellersta termen: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (de yttre är positiva). I konjugatregeln står minustecknet mellan själva kvadraterna: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Det är olika regler.
-
Man "delar ut" potensen vid kubering: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Så får man inte göra. Kuben på en summa innehåller fyra termer: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Regeln \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) är något helt annat (summa av kuber), den används för faktorisering.
-
I den ofullständiga kvadraten för summa/differens av kuber sätter man in den dubbla produkten $2ab$.
En ofullständig kvadrat är \(a^2 \pm ab + b^2\), utan tvåan framför \(ab\). Tecknet är motsatt tecknet i den första parentesen: summa av kuber \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), differens av kuber \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Man försöker faktorisera en summa av kvadrater $a^2 + b^2$.
Endast en differens av kvadrater \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) kan faktoriseras. En summa av kvadrater \(a^2 + b^2\) kan inte faktoriseras i grundskolematematiken.
Frågor och svar
Hur många förkortade multiplikationsregler finns det?
Sju: kvadrat på summa, kvadrat på differens, konjugatregeln, kub på summa, kub på differens, summa av kuber och differens av kuber. Alla finns samlade i tabellen ovan.
Vad är kvadraten på en summa?
Kvadraten på det första uttrycket plus den dubbla produkten av det första och det andra plus kvadraten på det andra: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). För kvadrat på differens har den mellersta termen ett minustecken: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Hur faktoriserar man en differens av kvadrater?
Enligt regeln \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Till exempel \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Det räcker att se att båda termerna är fullständiga kvadrater och att det står ett minustecken mellan dem.
Varför är $(a+b)^2$ inte lika med $a^2 + b^2$?
För att när man multiplicerar \((a+b)(a+b)\) uppstår ytterligare två identiska termer \(ab\), som ger den mellersta termen \(2ab\). Den får inte glömmas bort: korrekt är \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Vad är skillnaden mellan kuben på en summa och summan av kuber?
Kuben på en summa \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) är en metod för att utveckla parenteser. Summan av kuber \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) är tvärtom en metod för att faktorisera. Det är olika regler, blanda inte ihop dem.
I vilken årskurs lär man sig förkortade multiplikationsregler?
Vanligtvis i årskurs 7 i algebra: först kvadrat på summa och differens samt konjugatregeln, sedan reglerna för kuber. De används sedan flitigt för att förenkla uttryck, förkorta bråk och lösa ekvationer.
