En aritmetisk talföljd är en talföljd där varje efterföljande term är större än den föregående med ett och samma tal \(d\) (talföljdens differens). Varje term hittas med formeln \(a_n = a_1 + (n-1)d\), och summan av de första \(n\) termerna med formeln \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). På den här sidan går vi igenom definitionen och differensen, båda summformlerna, den karakteristiska egenskapen, hur man kontrollerar om ett tal ingår i talföljden, skillnaden mot geometriska talföljder, typiska uppgifter för högstadiet samt en interaktiv övningsmodul för självtest.
Vad är en aritmetisk talföljd
En aritmetisk talföljd är en talföljd där varje efterföljande term erhålls genom att addera ett och samma tal till den föregående termen. Detta tal kallas talföljdens differens och betecknas med bokstaven \(d\).
Definition med en formel: talföljden \(a_1, a_2, a_3, \dots\) kallas en aritmetisk talföljd om likheten gäller för varje nummer \(n\)
Vi tar talföljden 3, 7, 11, 15, 19, … Den första termen här är \(a_1 = 3\) och differensen \(d = 4\): varje efterföljande tal är exakt 4 större än det föregående. Därför är nästa term 23, och före trean (om vi fortsätter bakåt) skulle det ha stått en etta med minustecken.
Hela talföljden bestäms av endast två tal — den första termen \(a_1\) och differensen \(d\). Genom att känna till detta par kan man ange vilken term som helst, beräkna summan av hur många första termer som helst och kontrollera om ett givet tal förekommer i talföljden. Talföljden betecknas med symbolen \((a_n)\), och dess termer med \(a_1, a_2, a_3\) och så vidare, där det nedre indexet alltid anger numret, inte värdet.
Differensen i en aritmetisk talföljd: hur man hittar d
Differensen är alltid nästa term minus föregående:
Subtraktionsordningen är viktig: om du subtraherar i omvänd ordning blir tecknet på differensen det motsatta. För talföljden 20, 17, 14, 11, 8 är differensen \(17 - 20 = -3\), inte \(+3\).
Tecknet på \(d\) avgör helt talföljdens beteende:
- \(d > 0\) — talföljden är växande, termerna ökar;
- \(d < 0\) — talföljden är avtagande, termerna minskar;
- \(d = 0\) — alla termer är lika, till exempel 6, 6, 6, 6, … Detta är också en aritmetisk talföljd, bara en konstant sådan.
Om två termer med olika nummer är kända, hittas differensen med formeln
Exempel. Låt \(a_4 = 30\) och \(a_{10} = 6\). Då är \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), och den första termen är \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Vi kontrollerar början av talföljden: 42, 38, 34, 30 — den fjärde termen är verkligen 30.
Differensen behöver inte vara ett heltal: för talföljden 1; 1,5; 2; 2,5 är differensen 0,5, och detta är en fullvärdig aritmetisk talföljd.
Formel för n:te termen i en aritmetisk talföljd
Ämnets huvudformel gör det möjligt att hitta vilken term som helst utan att skriva upp alla föregående:
Varifrån kommer \(n - 1\)? För att komma från den första termen till den \(n\):te termen adderas differensen inte \(n\) gånger, utan en gång mindre: till den andra termen — ett steg, till den tredje — två, till den tjugonde — nitton.
Exempel. För talföljden 3, 7, 11, 15, 19, … har vi \(a_1 = 3\) och \(d = 4\), vilket betyder
En sådan förenklad form är mycket bekväm: man ser direkt att \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), och \(a_{100} = 399\). Samtidigt avslöjar den differensen: för varje aritmetisk talföljd är formeln för den \(n\):te termen linjär, av typen \(a_n = dn + c\), och koefficienten framför \(n\) är just differensen.
Ibland är den första termen okänd, men en annan är given. Då fungerar samma idé i allmän form: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Karakteristisk egenskap hos en aritmetisk talföljd
Varje term i talföljden, utom den första, är lika med det aritmetiska medelvärdet av sina grannar:
Det är just därför talföljden kallas aritmetisk. Denna likhet fungerar även åt andra hållet: om varje mittenterm i en talföljd är lika med medelvärdet av grannarna, så är talföljden en aritmetisk talföljd. Ett sådant påstående kallas ett kriterium för en aritmetisk talföljd, och i uppgifter används det för att bevisa att tre tal bildar en talföljd.
Exempel. Talen 7, \(x\), 23 är tre på varandra följande termer i en talföljd. Då är \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Kontroll: 7, 15, 23 — differenserna är 8 och 8, allt stämmer.
En bekväm form att skriva samma egenskap på: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), det vill säga den dubbla mittentermen är lika med summan av yttertermerna. I denna form är egenskapen lättare att använda när termerna är givna som bokstavsuttryck.
Summan av de första n termerna i en aritmetisk talföljd
Summan \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) beräknas med en av två formler:
Idén med den första formeln är densamma som den som legenden säger att skolpojken Gauss hittade när han adderade talen från 1 till 100. Om man adderar den första termen med den sista, den andra med den näst sista och så vidare, ger alla par samma summa. Därav \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Den andra formeln erhålls från den första genom att sätta in \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — den behövs när den sista termen inte är given och man inte vill beräkna den separat.
Exempel. Vi beräknar summan av de första tjugo termerna i talföljden 3, 7, 11, 15, 19, …
Med den första formeln: \(a_{20} = 79\), därför \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Med den andra: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Svaren stämde överens — det är den bästa kontrollen av beräkningarna.
Hur man vet om ett tal ingår i en aritmetisk talföljd
Frågan "är ett tal en term i talföljden" löses med en ekvation. Ett tal ingår i talföljden om och endast om dess nummer \(n\) blir ett naturligt tal: 1, 2, 3 och så vidare. Ett bråktal eller ett icke-positivt \(n\) innebär att en sådan term inte finns.
Exempel 1. Ingår talet 99 i talföljden 3, 7, 11, 15, 19, …? Formeln för den \(n\):te termen här är \(a_n = 4n - 1\), så vi löser \(4n - 1 = 99\), varifrån \(4n = 100\) och \(n = 25\). Numret är ett naturligt tal — det betyder att 99 finns i talföljden, det är dess tjugofemte term.
Exempel 2. Och talet 2026? Från \(4n - 1 = 2026\) får vi \(4n = 2027\) och \(n = 506{,}75\). Numret är ett bråktal, därför är 2026 inte en term i denna talföljd.
Ett användbart tips för huvudräkning: för en talföljd med formeln \(a_n = 4n - 1\) ger alla termer resten 3 vid division med 4. Talet 2026 ger resten 2, därför "missar" det talföljden.
Typiska uppgifter för högstadiet om aritmetiska talföljder
I matematik på högstadiet förekommer talföljder varje år, och nästan alla uppgifter kan kokas ner till fyra teman.
Hitta term utifrån nummer. Givet \(a_1\) och \(d\) (eller några första termer) — sätt in i \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Hitta nummer utifrån värde. Givet ett tal — sätt formeln för den \(n\):te termen lika med det och lös ekvationen för \(n\).
Hitta summa. Beräkna \(S_n\) med någon av de två formlerna; om \(a_n\) saknas — hitta den först.
Hitta antal termer. Från formeln för den \(n\):te termen får man en bekväm följd: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Separat bör man nämna textuppgifter, där talföljden är gömd i en berättelse. Till exempel: den första dagen tillverkade en arbetare 12 delar, och varje efterföljande dag — 3 delar mer än den föregående; hur många delar tillverkar han på 15 dagar? Här är \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Vi beräknar den sista termen: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Då är \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) delar.
Det viktigaste rådet för sådana uppgifter: skriv först upp på en separat rad vad som är givet (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) och vad som ska hittas. Hälften av felen på prov sker inte på grund av formlerna, utan för att man förväxlat numret med termens värde.
Aritmetisk och geometrisk talföljd: vad är skillnaden
Båda talföljderna är regler för hur man får nästa term från en föregående. Skillnaden ligger i operationen: i en aritmetisk talföljd adderar man ett och samma tal \(d\) till termen, i en geometrisk — multiplicerar man med ett och samma tal \(q\), som kallas talföljdens kvot.
Därav det olika beteendet. En aritmetisk talföljd växer jämnt, "stegvis": 3, 7, 11, 15 — varje steg lägger till 4. En geometrisk växer lavinartat: 3, 6, 12, 24 — varje steg fördubblar talet, och redan efter tio steg kommer termen vara större än ett och ett halvt tusen.
Det är enkelt att kontrollera typen av talföljd: beräkna differenserna mellan närliggande termer och deras kvoter. Samma differenser — aritmetisk talföljd, samma kvoter — geometrisk. Om varken det ena eller det andra stämmer, har du bara en talföljd framför dig: till exempel 1, 4, 9, 16 — detta är kvadrater av naturliga tal, och det är ingen talföljd (differenserna 3, 5, 7 är olika, kvoterna likaså).
I skolans läroplan kommer båda ämnena efter varandra i årskurs 9, så formlerna är lätta att förväxla. Ha detta som stöd: i en aritmetisk talföljd adderar man differensen \(d\), i en geometrisk multiplicerar man med kvoten \(q\). Allt annat är följder.
Exempel på lösning av uppgifter om aritmetiska talföljder
Exempel 1. Hitta första termen och differensen utifrån två termer
Givet. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Hitta \(a_1\), \(d\) och \(a_{20}\).
Steg 1. Från den tredje termen till den sjunde är det exakt \(7 - 3 = 4\) steg, i varje steg adderas \(d\). Det betyder \(a_7 = a_3 + 4d\), det vill säga \(30 = 14 + 4d\), varifrån \(4d = 16\) och \(d = 4\).
Steg 2. Vi går tillbaka till den första termen: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Steg 3. Vi skriver upp formeln för den \(n\):te termen: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Steg 4. Vi beräknar den sökta termen: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Kontroll. Vi skriver upp början av talföljden: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Tredje termen 14, sjunde 30 — det stämde.
Svar: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Exempel 2. Summan av de första 30 termerna (båda formlerna)
Givet. Talföljden \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Hitta \(S_{30}\).
Steg 1. Vi bestämmer parametrarna: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Steg 2. Vi hittar den trettionde termen: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Steg 3. Vi beräknar med den första formeln: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Steg 4. Kontroll med den andra formeln. Först täljaren: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Vidare som i det tredje steget: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Båda vägarna gav 1155 — det betyder att aritmetiken är korrekt.
Svar: \(S_{30} = 1155\).
Exempel 3. Summan av alla tvåsiffriga tal delbara med 7
Uppgift. Hitta summan av alla tvåsiffriga tal som är delbara med 7.
Steg 1. Sådana tal bildar själva en aritmetisk talföljd med differensen 7. Det minsta tvåsiffriga talet delbart med sju är 14, det största är 98 (nästa, 105, är redan tresiffrigt). Vi får \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Steg 2. Vi beräknar antalet termer: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Steg 3. Vi beräknar summan: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Steg 4. Kontroll med den andra formeln. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Svar: 728.
Exempel 4. Kontrollera om ett tal ingår i talföljden
Uppgift. Är talet 145 en term i talföljden \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Och talet 142?
Steg 1. Talföljdens parametrar: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), vilket betyder \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Steg 2. Vi kontrollerar 145: ekvationen \(5n + 2 = 145\) ger \(5n = 143\) och \(n = 28{,}6\). Numret är ett bråktal, därför är 145 inte en term i talföljden.
Steg 3. Vi kontrollerar 142: \(5n + 2 = 142\), varifrån \(5n = 140\) och \(n = 28\). Numret är ett naturligt tal — talet ingår.
Steg 4. Kontroll genom insättning. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Rätt.
Svar: 145 ingår inte i talföljden; 142 ingår och är dess 28:e term.
Exempel 5. Karakteristisk egenskap med bokstavstermer
Uppgift. För vilket värde på \(x\) är talen \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) tre på varandra följande termer i en aritmetisk talföljd?
Steg 1. Enligt den karakteristiska egenskapen är den dubbla mittentermen lika med summan av yttertermerna:
Steg 2. Vi förenklar parenteserna: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Steg 3. Vi löser: \(2 + 4 = 5x - 4x\), det vill säga \(x = 6\).
Steg 4. Kontroll. Vi sätter in \(x = 6\): första termen \(6 - 3 = 3\), andra \(2\cdot 6 + 1 = 13\), tredje \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Differenser: \(13 - 3 = 10\) och \(23 - 13 = 10\) — lika.
Svar: \(x = 6\), talföljden 3, 13, 23 med differensen 10.
Exempel 6. Hur många negativa termer finns i talföljden
Uppgift. Hur många negativa termer finns i talföljden \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Steg 1. Parametrar: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formeln för den \(n\):te termen: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Steg 2. Vi skriver upp villkoret "termen är negativ": \(3n - 24 < 0\), varifrån \(3n < 24\) och \(n < 8\).
Steg 3. Numren är naturliga tal, därför passar \(n = 1, 2, \dots, 7\) — totalt sju termer.
Steg 4. Kontroll av gränsen. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativ. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — noll är inte ett negativt tal, därför räknar vi inte den åttonde termen. \(a_9 = 3\) — positiv.
Svar: sju negativa termer.
Vanliga fel i uppgifter om aritmetiska talföljder
-
I formeln för den n:te termen skriver man $a_n = a_1 + nd$ istället för $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Från den första termen till den n:te görs ett steg mindre än numret. För talföljden \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) är den tionde termen \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), inte 45. Snabb kontroll av formeln: sätt in \(n = 1\) — det bör bli exakt \(a_1\).
-
Differensen beräknas i omvänd ordning: $d = a_1 - a_2$, och tecknet blir det motsatta.
Differensen är nästa term minus föregående: \(d = a_2 - a_1\). För talföljden \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) är det korrekt att \(d = 34 - 40 = -6\). Minustecknet här är inte ett fel, utan ett tecken på en avtagande talföljd.
-
I summformeln glömmer man att dividera med 2 eller multiplicera med $n$: man skriver $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Man summerar par "första med sista", det finns exakt \(\dfrac{n}{2}\) stycken, därför är det obligatoriskt att dividera med 2. För talföljden \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) har vi \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) och \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), inte 670.
-
Vid kontroll av om ett tal ingår får man $n = 0$ eller ett negativt $n$ och svarar ändå "ingår".
Termens nummer är ett naturligt tal, räkningen börjar med ett. Till exempel, för talföljden \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) ger ekvationen \(10 + 4(n-1) = 6\) att \(n = 0\), vilket betyder att 6 inte ingår i talföljden: detta tal skulle ha stått före den första termen.
-
Man förväxlar vad som har hittats: man sätter in termens värde där dess nummer behövs, och vice versa.
\(a_n\) — är värdet, \(n\) — är ordningsnumret. Om uppgiften frågar "vilken i ordningen är termen som är lika med 142", blir svaret 28, inte 142. En användbar vana: skriv upp raden "givet: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), hitta: \(n\)" före lösningen.
-
Man tror att talföljden måste växa och bestå av heltal.
Differensen kan vara negativ (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), ett bråktal (1; 1,5; 2; 2,5) och till och med noll (8, 8, 8, …). Alla tre fallen är giltiga aritmetiska talföljder, och alla formler för dem fungerar utan ändringar.
Frågor och svar
Vad är en aritmetisk talföljd med enkla ord?
Det är en talföljd där varje efterföljande tal erhålls genom att addera ett och samma tal \(d\) — talföljdens differens — till det föregående. Till exempel 3, 7, 11, 15, 19, … — en talföljd med första termen 3 och differensen 4.
Vilken är formeln för den n:te termen i en aritmetisk talföljd?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), där \(a_1\) är den första termen, \(d\) är differensen, \(n\) är numret. Om inte den första termen är känd, utan någon annan, fungerar den allmänna formen \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Hur hittar man differensen i en aritmetisk talföljd?
Subtrahera den föregående termen från vilken term som helst: \(d = a_n - a_{n-1}\). Om två termer med olika nummer är givna, använd \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Till exempel, vid \(a_5 = 23\) och \(a_9 = 43\) får vi \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), och den första termen är \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Hur hittar man den första termen i en aritmetisk talföljd?
Från formeln för den \(n\):te termen: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Till exempel, om \(a_{12} = 60\) och \(d = 4\), så är \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Kontroll: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Hur hittar man summan av de första n termerna i en aritmetisk talföljd?
Med formeln \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), om den sista termen är känd, eller med formeln \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), om endast den första termen och differensen är kända. Båda ger samma resultat, därför är den andra bekväm att använda som kontroll av den första.
Hur hittar man antalet termer i en aritmetisk talföljd?
Från formeln för den \(n\):te termen: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Till exempel, i talföljden \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) är differensen 5, därför är \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) termer.
Vad skiljer en aritmetisk talföljd från en geometrisk?
I en aritmetisk talföljd adderar man differensen \(d\) till varje term, medan man i en geometrisk multiplicerar varje term med kvoten \(q\). Formler för den \(n\):te termen: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) mot \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). För att bestämma typen, beräkna differenserna mellan närliggande termer och deras kvoter: samma differenser — aritmetisk, samma kvoter — geometrisk.
Kan differensen vara negativ eller lika med noll?
Ja. Vid \(d < 0\) avtar talföljden (till exempel 20, 17, 14, 11), vid \(d = 0\) är alla termer lika (6, 6, 6, …) — detta är en konstant talföljd. Differensen kan också vara ett bråktal: 1; 1,5; 2; 2,5 — också en aritmetisk talföljd.
I vilken årskurs studerar man aritmetiska talföljder?
I årskurs 9 på algebratimmar, tillsammans med geometriska talföljder och talföljder. Uppgifter om talföljder ingår i högstadiets nationella prov: vanligtvis krävs det att man hittar en term utifrån nummer, nummer utifrån värde, antal termer eller summan av de första \(n\) termerna.
