Tecken på delbarhet är regler som gör det möjligt att veta om ett tal är jämnt delbart utan att utföra divisionen: det räcker att titta på de sista siffrorna eller att summera alla siffror i talet. Den här sidan samlar en tabell över tecken på delbarhet för 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 och 25, en tydlig genomgång av tecknen för 3 och 9 via siffersumman, exempel med lösningar, vanliga misstag och en interaktiv övning där du omedelbart kan testa dig själv.
Vad är ett tecken på delbarhet
Ett tecken på delbarhet är en regel som gör det möjligt att veta om ett tal är jämnt delbart med ett annat tal, utan att utföra själva divisionen. Det räcker att titta på de sista siffrorna eller att summera alla siffror i talet.
Tecken på delbarhet är användbara överallt där man snabbt behöver förstå ett tals "struktur":
- vid förkortning av bråk — man ser direkt vad man kan förkorta täljare och nämnare med;
- vid primtalsfaktorisering av ett tal;
- vid sökning av gemensam delare och gemensamt multipel;
- vid snabb kontroll av svar i exempel och uppgifter.
Det är viktigt att inte blanda ihop två olika frågor. "Är 3726 delbart med 9?" — det är vad tecknet på delbarhet svarar på: siffersumman 3 + 7 + 2 + 6 = 18 är delbar med 9, alltså ja. Och "hur mycket blir det?" — det är själva divisionen: 3726 : 9 = 414. Tecknet ger bara svaret "ja" eller "nej", men det går omedelbart och i huvudet.
Tabell över tecken på delbarhet
Alla skolans tecken på delbarhet är praktiska att ha framför ögonen i en enda tabell. Färgen indikerar vart man ska titta: på den sista siffran, på siffersumman, på "svansen" av två-tre sista siffror eller direkt på två tecken.
| För vad | Tecken på delbarhet | Exempel |
|---|---|---|
| 2 | sista siffran 0, 2, 4, 6 eller 8 | 3726 → 6 |
| 3 | siffersumman är delbar med 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | två sista siffrorna bildar ett tal delbart med 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | sista siffran 0 eller 5 | 1435 → 5 |
| 6 | delbart med både 2 och 3 samtidigt | 5124 → 4 och 12 |
| 8 | tre sista siffrorna bildar ett tal delbart med 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | siffersumman är delbar med 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | sista siffran 0 | 2340 → 0 |
| 11 | siffror från slutet med växelvis + och −; summan är delbar med 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | två sista siffrorna 00, 25, 50 eller 75 | 1875 → 75 |
Tecken på delbarhet för 2, 5 och 10
Den enklaste gruppen: vi tittar bara på sista siffran, resten är oviktigt.
- tal som slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8 är delbara med 2;
- tal som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5;
- tal som slutar på 0 är delbara med 10.
Talets längd spelar ingen roll: 987 654 320 är delbart med både 2, 5 och 10 eftersom det slutar på noll. Och 1435 är delbart med 5 (sista siffran 5), men inte med 2 eller 10 — talet är udda.
Härifrån följer en användbar slutsats: de tal som är delbara med 10 är exakt de tal som är delbara både med 2 och med 5 samtidigt.
Tecken på delbarhet för 3 och 9: siffersumman
Här spelar sista siffran ingen roll — summan av alla siffror i talet är det som gäller:
- ett tal är delbart med 3 om summan av dess siffror är delbar med 3;
- ett tal är delbart med 9 om summan av dess siffror är delbar med 9.
Om summan blir stor kan man tillämpa tecknet igen: för talet 899 991 är siffersumman 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, och för 45 är summan 4 + 5 = 9 — alltså är ursprungstalet delbart med både 9 och 3.
Tecknen är lika, men ersätter inte varandra. Alla tal som är delbara med 9 är också delbara med 3 — eftersom nio i sig är delbart med tre. Det omvända gäller inte: siffersumman kan vara delbar med 3 men inte med 9, och då uppfyller talet bara ett av de två tecknen. Båda fallen behandlas nedan.
Tecken på delbarhet för 4, 8 och 25: titta på talets svans
En enda sista siffra räcker inte här — en "svans" av flera sista siffror behövs:
- ett tal är delbart med 4 om de två sista siffrorna bildar ett tal som är delbart med 4;
- ett tal är delbart med 8 om de tre sista siffrorna bildar ett tal som är delbart med 8;
- ett tal är delbart med 25 om de två sista siffrorna bildar 00, 25, 50 eller 75.
Varför svansen räcker: 100 är delbart med både 4 och 25, och 1000 är delbart med 8. Därför är allt som står till vänster redan delbart med det önskade talet och påverkar inte resultatet.
Härifrån följer en viktig slutsats: jämnhet räcker inte för fyra och åtta. Ett tal kan vara jämnt, men om dess svans av två eller tre siffror inte är jämnt delbar, så är inte heller hela talet det. Genomgång av svansar — i infogningen nedan.
Tecken på delbarhet för 6
Sexan har inget eget separat tecken: 6 = 2 · 3, och faktorerna är relativt prima. Därför är tecknet sammansatt — ett tal är delbart med 6 om det är delbart med både 2 och 3.
Låt oss kontrollera 5124: sista siffran är 4 — talet är jämnt, alltså delbart med 2; siffersumman 5 + 1 + 2 + 4 = 12 är delbar med 3. Båda villkoren är uppfyllda → 5124 : 6 = 854.
Jämnhet räcker inte: 1000 är jämnt, men dess siffersumma är 1 och inte delbar med 3, därför är talet inte delbart med 6. Inte heller den omvända halvan fungerar: för 4521 är siffersumman 12 delbar med 3, men talet självt är udda — det är inte heller delbart med 6.
På exakt samma sätt sammansätts andra sammansatta tecken: för 12 — delbart med 3 och 4, för 15 — med 3 och 5, för 18 — med 2 och 9, för 45 — med 5 och 9.
Tecken på delbarhet för 11
Tecknet på delbarhet för 11 använder en växelvis tecknad siffersumma. Siffrorna summeras, med början från den sista, med omväxlande tecken: plus, minus, plus, minus. Om resultatet är delbart med 11 (inklusive noll), så är hela talet också delbart med 11.
Samma tecken formuleras ofta annorlunda: skillnaden mellan summan av siffrorna på udda platser och summan av siffrorna på jämna platser ska vara delbar med 11. Det är samma regel.
Exempel på tecken på delbarhet
Exempel 1. Vilka tal är 7254 delbart med?
Uppgift. Bestäm vilka av talen 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 som 7254 är delbart med.
Steg 1. Med 2. Sista siffran är 4 — jämnt. Delbart: 7254 : 2 = 3627.
Steg 2. Med 5 och 10. Talet slutar på 4, inte på 0 eller 5. Inte delbart med varken 5 eller 10.
Steg 3. Med 3 och 9. Siffersumman: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Den är delbar med både 3 och 9. Alltså är 7254 : 3 = 2418 och 7254 : 9 = 806.
Steg 4. Med 6. Talet är delbart med både 2 och 3 — alltså är det delbart med 6: 7254 : 6 = 1209.
Steg 5. Med 4. De två sista siffrorna bildar 54, och 54 är inte delbart med 4. Inte delbart.
Svar. 7254 är delbart med 2, 3, 6 och 9.
Exempel 2. Är 4715 delbart med 3 och 9?
Uppgift. Kontrollera om talet 4715 är delbart med 3 och 9.
Steg 1. Summera siffrorna: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Steg 2. Med 3. 17 är inte delbart med 3 (närmaste multiplar är 15 och 18). Alltså är inte heller 4715 delbart med 3.
Steg 3. Med 9. 17 är inte ens delbart med 9. Alltså är 4715 inte heller delbart med 9.
Vad talet faktiskt kan. Sista siffran är 5 → talet är delbart med 5: 4715 : 5 = 943. Inte delbart med 2 och 10 — det är udda.
Svar. 4715 är varken delbart med 3 eller 9.
Exempel 3. Delbarhet med 4 och 8: talet 6248
Uppgift. Kontrollera om 6248 är delbart med 4 och 8.
Steg 1. Med 4. Ta de två sista siffrorna: 48. Talet 48 är delbart med 4 (48 : 4 = 12), alltså är även 6248 delbart: 6248 : 4 = 1562.
Steg 2. Med 8. Ta de tre sista siffrorna: 248. Dividera: 248 : 8 = 31 — delbart. Alltså är 6248 : 8 = 781.
Var försiktig med omvända resonemang. Delbarhet med 4 medför inte delbarhet med 8: för talet 6244 är svansen 44 delbar med 4 (6244 : 4 = 1561), men de tre sista siffrorna 244 är inte delbara med 8 — talet är inte delbart med 8.
Svar. 6248 är delbart med både 4 och 8.
Exempel 4. Tecken på delbarhet för 11: talet 2926
Uppgift. Kontrollera om 2926 är delbart med 11.
Steg 1. Skriv siffrorna och placera tecken från slutet: sista siffran med plus, sedan omväxlande minus och plus.
Steg 2. Räkna den växelvis tecknade summan: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Steg 3. Resultatet 11 är delbart med 11 → hela talet är också delbart.
Kontroll genom division. 2926 : 11 = 266.
Svar. 2926 är delbart med 11.
Exempel 5. Förkorta bråket med tecken på delbarhet
Uppgift. Förkorta bråket 270/378.
Steg 1. Räkna siffersummorna: 2 + 7 + 0 = 9 och 3 + 7 + 8 = 18. Båda är delbara med 9 → både täljare och nämnare är delbara med 9.
Steg 2. Förkorta med 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Vi får 30/42.
Steg 3. Båda talen är jämna → förkorta med 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Vi får 15/21.
Steg 4. Siffersummorna 6 och 3 är delbara med 3 → förkorta med 3.
Svar. 270/378 = 5/7.
Vanliga misstag vid tecken på delbarhet
-
Delbarhet med 6 kontrolleras bara genom jämnhet: om talet är jämnt — då är det delbart med 6.
Båda villkoren behövs samtidigt: både med 2 och med 3. Talet 7124 är jämnt, men dess siffersumma 14 är inte delbar med 3, därför är det inte delbart med 6. Och tvärtom: 3471 uppfyller tecknet för tre (summa 15, 3471 : 3 = 1157), men är udda — det är inte heller delbart med 6.
-
För delbarhet med 4 tittar man på en enda sista siffra: "8 är delbart med 4, alltså passar även 9138".
För delbarhet med 4 tar man TVÅ sista siffror. För 9138 är det 38, och 38 är inte delbart med 4. Rätt exempel: för 9136 är svansen 36, 36 : 4 = 9, alltså är 9136 : 4 = 2284. För åtta är svansen ännu längre — tre siffror.
-
Tecknet på delbarhet för 9 kontrolleras med sista siffran: man letar efter tal som slutar på 9 eller 0.
Sista siffran betyder ingenting för nio. Man räknar summan av alla siffror: för 4563 är den 18, summan är delbar med 9 — och talet är delbart (4563 : 9 = 507), även om det slutar på 3.
-
Man tror att om ett tal är delbart med 3, så är det också delbart med 9.
Det fungerar bara åt ett håll: delbart med 9 → delbart med 3. Det omvända gäller inte. För 8241 är siffersumman 15: den är delbar med 3 (8241 : 3 = 2747), men inte med 9.
-
För tecknet för 11 summerar man bara alla siffror, som för 3 och 9.
För elva är summan växelvis tecknad: siffrorna summeras från slutet, med omväxlande tecken. För 6479 är det 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → delbart (6479 : 11 = 589). Den vanliga siffersumman här är 26 och säger inget.
-
Man blandar ihop tecknet på delbarhet med själva divisionen: på frågan "är 5391 delbart med 9" svarar man "ja, 18".
18 är siffersumman, ett mellanresultat av tecknet. Kvoten räknas separat: 5391 : 9 = 599. Tecknet svarar bara "delbart / inte delbart".
Frågor och svar
Vad är ett tecken på delbarhet med enkla ord?
Det är en regel som gör det möjligt att veta om ett tal är jämnt delbart, utan att utföra själva divisionen. Vanligtvis räcker det att titta på talets sista siffror eller att summera alla dess siffror.
Hur vet man om ett tal är delbart med 3?
Summera alla siffror i talet. Om den resulterande summan är delbar med 3, så är även talet självt delbart med 3. Till exempel, för 2571 är siffersumman 2 + 5 + 7 + 1 = 15, och 15 är delbart med 3 → 2571 : 3 = 857.
Vad är skillnaden mellan tecknet på delbarhet för 3 och tecknet för 9?
Regeln är densamma — man räknar siffersumman, men kontrollerar den mot olika tal: för tre ska summan vara delbar med 3, för nio — med 9. Därför är alla tal som är delbara med 9 också delbara med 3, men det omvända gäller inte alltid: för 9420 är siffersumman 15 delbar med 3 (9420 : 3 = 3140), men inte med 9.
Vad gör man om siffersumman blir stor?
Tillämpa tecknet igen — på summan. För talet 777 771 är siffersumman 36, för 36 är summan 3 + 6 = 9. Nio är delbart med 9, alltså är även ursprungstalet delbart med 9 (och därmed även med 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Finns det ett tecken på delbarhet för 7?
Det finns ingen enkel regel som siffersumman för sju, och den inkluderas inte i skolans tabell över tecken på delbarhet. Det finns ett knep: ta bort sista siffran, dubbla den och subtrahera från det kvarvarande talet. Till exempel, för 343: vi tar bort 3, dubblar den — 6, räknar 34 − 6 = 28. Talet 28 är delbart med 7, alltså är även 343 delbart: 343 : 7 = 49.
Vilka är tecknen på delbarhet för 12, 15 och 45?
De är sammansatta — talet måste uppfylla två tecken samtidigt: för 12 — delbart med 3 och 4, för 15 — med 3 och 5, för 45 — med 5 och 9. Det är viktigt att faktorerna är relativt prima: uppdelningen 12 = 2 · 6 är inte giltig, eftersom 18 är delbart med både 2 och 6, men inte med 12.
Vilken årskurs studerar man tecken på delbarhet?
I årskurs 6 på matematikundervisningen: först tecknen för 10, 5 och 2, sedan för 3 och 9. Tecknen för 4, 8, 11 och 25 brukar behandlas ytterligare — de är användbara vid förkortning av bråk och på tävlingar.
