Vieta's sats relaterar rötterna till en kvadratisk ekvation till dess koefficienter: för den normerade ekvationen \(x^2 + px + q = 0\) är summan av rötterna lika med \(-p\), och produkten är lika med \(q\). Detta gör det möjligt att hitta rötterna muntligt – genom gissning, utan diskriminanten. På den här sidan finns exakta formler för den normerade ekvationen och för det allmänna fallet, den omvända Vieta's sats, en algoritm för rotval, lösta exempel och en interaktiv träningssimulator.
Vad är Vieta's sats
Vieta's sats är en regel som relaterar rötterna till en kvadratisk ekvation till dess koefficienter. Den formuleras så här: om \(x_1\) och \(x_2\) är rötterna till den normerade kvadratiska ekvationen \(x^2 + px + q = 0\), då gäller
Med ord: summan av rötterna är lika med den andra koefficienten med ombytt tecken, och produkten av rötterna är lika med den konstanta termen. Minustecknet i summan är den viktigaste punkten i hela ämnet: man skriver just \(-p\), inte \(p\).
För en ekvation av allmän form \(ax^2 + bx + c = 0\) (där \(a \neq 0\)) erhålls formlerna genom division med \(a\):
Satsen fungerar endast när det finns reella rötter, det vill säga när \(D \ge 0\). Om diskriminanten är negativ finns det inget att gissa: det finns inga reella tal med en sådan summa och en sådan produkt.
Normerad ekvation och allmän form: var man ska dividera med a
En kvadratisk ekvation kallas normerad om koefficienten framför \(x^2\) är lika med ett: \(x^2 + px + q = 0\). Det är just för den som Vieta's sats är som kortast, därför börjar man alltid rotvalet med att normera.
Om \(a \neq 1\), dividerar man först ekvationen med \(a\) term för term. Till exempel, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) blir efter division med \(3\) till \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), det vill säga \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Därmed är \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) och \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Samma tanke kan skrivas direkt för den allmänna formen, utan att normera ekvationen: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Det vanligaste felet är att använda de "korta" formlerna \(-p\) och \(q\) för en normerad ekvation och få summan \(10\) istället för \(\frac{10}{3}\).
Omvänd Vieta's sats
Vieta's sats har en omvänd form, och det är den som tillåter att lösa ekvationer genom gissning. Den lyder: om talen \(m\) och \(n\) är sådana att
då är \(m\) och \(n\) rötterna till ekvationen \(x^2 + px + q = 0\).
Skillnaden är principiell. Direkta satsen går från rötterna till koefficienterna: rötterna är redan kända, vi får samband mellan dem. Omvända satsen går från koefficienterna till rötterna: vi har gissat ett par tal med rätt summa och rätt produkt – och har full rätt att kalla dem rötter, inget mer behöver bevisas.
Härifrån följer också en användbar regel: om \(x_1\) och \(x_2\) är rötterna, då kan polynomet faktoriseras som \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Till exempel, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Rotval enligt Vieta's sats: algoritm
Rotval är den viktigaste praktiska tillämpningen av satsen. Den fungerar snabbare än diskriminanten när rötterna är heltal, och består av fem steg.
Tecken på rötter enligt koefficienterna p och q
Redan innan gissningen kan man förstå vilka tecken rötterna kommer att ha – det räcker att titta på tecknen för \(p\) och \(q\). Detta förkortar gissningen avsevärt: man ser genast om man ska leta efter ett par av två positiva tal, två negativa, eller tal med olika tecken.
| p och q | Rötter | Exempel |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | båda > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | båda < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | olika tecken | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 och −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vieta's sats eller diskriminant: vad man ska välja
Formeln för rötter via diskriminanten \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) fungerar alltid, men kräver beräkningar. Vieta's sats fungerar omedelbart, men bara om rötterna kan gissas – vanligtvis är det små heltal.
En praktisk regel är:
- ekvationen är normerad, och \(q\) kan faktoriseras till ett par små faktorer → prova gissning enligt Vieta, svaret fås muntligt;
- koefficienterna är stora eller bråktal, rötterna kan inte gissas på 10–15 sekunder → räkna ut diskriminanten;
- endast antalet rötter eller tecknen på rötterna behövs, själva rötterna behövs inte → \(D\) och teckentabellen ovan räcker.
Det är också användbart att kombinera: räkna ut diskriminanten och hitta rötterna – kontrollera svaret med Vieta's sats. Summan ska ge \(-p\), produkten \(q\). En sådan kontroll tar ett par sekunder och fångar nästan alla aritmetiska fel.
Exempel på lösning med Vieta's sats
Exempel 1. Rotval: båda rötterna är positiva
Lös \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Steg 1. Ekvationen är normerad: \(p = -9\), \(q = 20\).
Steg 2. Vi kontrollerar diskriminanten: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) – det finns två rötter.
Steg 3. Vi skriver ner sambanden: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Steg 4. Vi går igenom faktoruppdelningarna av talet 20: \(1\cdot 20\) (summa 21), \(2\cdot 10\) (summa 12), \(4\cdot 5\) (summa 9) – det sista paret passar. Båda faktorerna är positiva eftersom \(q > 0\) och \(p < 0\).
Steg 5. Kontroll genom insättning. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Svar: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Exempel 2. Rötter med olika tecken
Lös \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Steg 1. Ekvationen är normerad: \(p = 3\), \(q = -28\).
Steg 2. \(q < 0\), vilket betyder att rötterna har olika tecken och diskriminanten är garanterat positiv: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Steg 3. Samband: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Steg 4. Faktoruppdelningar av 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Vi behöver en differens på 3 – paret 4 och 7 passar. Eftersom summan är negativ, tar vi roten med större absolutbelopp med minustecken: \(4\) och \(-7\).
Steg 5. Kontroll. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Svar: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Exempel 3. Ekvation av allmän form (a ≠ 1)
Lös \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Steg 1. Koefficienten \(a = 3\), därför kan de "korta" formlerna \(-p\) och \(q\) inte användas. Vi använder den allmänna formen: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Steg 2. Produkten är 1 – det betyder att rötterna är varandras inverser: om den ena är \(t\), är den andra \(\tfrac{1}{t}\). Summan \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) antyder \(t = 3\), eftersom \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Steg 3. Kontroll genom insättning. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Svar: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Exempel 4. Skapa en ekvation utifrån dess rötter
Uppgift. Skapa en normerad kvadratisk ekvation vars rötter är \(-4\) och \(6\).
Steg 1. Vi beräknar summan och produkten: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Steg 2. Enligt den omvända Vieta's sats är koefficienterna \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) och \(q = x_1 x_2 = -24\). Här döljer sig den största fällan: \(p\) är summan med ombytt tecken.
Steg 3. Vi skriver ner ekvationen: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Steg 4. Kontroll genom insättning. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Svar: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Samma resultat ger faktoriseringen \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Exempel 5. Kontrollera ett andras svar med Vieta's sats
Uppgift. En elev löste ekvationen \(x^2 + 5x + 6 = 0\) och skrev ner svaret: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Kontrollera om eleven gjorde fel.
Steg 1. Enligt Vieta's sats ska \(x_1 + x_2 = -p = -5\) och \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Steg 2. För det föreslagna svaret stämmer produkten (\(2\cdot 3 = 6\)), men inte summan: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Alltså är svaret felaktigt: ett minustecken har missats.
Steg 3. Vi letar efter rätt par: vi behöver tal med produkten \(6\) och summan \(-5\) – det är \(-2\) och \(-3\) (båda negativa eftersom \(q > 0\) och \(p > 0\)).
Steg 4. Kontroll genom insättning. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Svar: de korrekta rötterna är \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Vanliga misstag vid arbete med Vieta's sats
-
Man missar minustecknet i summan: man skriver $x_1 + x_2 = p$ istället för $x_1 + x_2 = -p$.
Minustecknet finns bara vid summan, produkten tas med samma tecken: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Kontrollera med den enkla ekvationen \(x^2 - 5x + 6 = 0\): här är \(p = -5\), summan av rötterna är \(5\), och rötterna är verkligen 2 och 3.
-
Man använder formlerna $-p$ och $q$ för en normerad ekvation: för $2x^2 - 9x + 4 = 0$ säger man "summa 9, produkt 4".
Så länge \(a \neq 1\), gäller formlerna för allmän form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Rötterna här är 4 och \(\tfrac{1}{2}\), inte 4 och 1. Eller så dividerar man först hela ekvationen med \(a\).
-
Man gissar rötter utan att ha kontrollerat diskriminanten: för $x^2 + x + 1 = 0$ försöker man hitta ett par tal med summan $-1$ och produkten $1$.
Först måste man säkerställa att det finns rötter: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), det finns inga reella rötter, gissning är omöjlig. Vieta's sats fungerar endast när \(D \ge 0\).
-
Man gissar ett par endast utifrån produkten, utan att kontrollera summan: för $x^2 - 8x + 12 = 0$ tar man 3 och 4, eftersom deras produkt är 12.
Man måste kontrollera båda sambanden samtidigt. För \(x^2 - 8x + 12 = 0\) ger produkten 12 paren (1; 12), (2; 6), (3; 4), medan summan 8 ges endast av paret 2 och 6. Kontroll: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) och \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
När man skapar en ekvation utifrån rötterna, tar man $p$ lika med summan: för rötterna 2 och 5 skriver man $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koefficienten \(p\) är lika med summan med ombytt tecken: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), det vill säga \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Insättning bekräftar: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Man anser att Vieta's sats endast gäller för heltalsrötter och använder den inte för att kontrollera svaret.
Sambanden \(x_1 + x_2 = -p\) och \(x_1 x_2 = q\) gäller för alla reella rötter – heltal, bråktal och irrationella tal. Endast muntlig gissning är bekväm för heltal, men för övriga är satsen fortfarande ett snabbt sätt att kontrollera ett svar som hittats med diskriminanten.
Frågor och svar
Hur lyder Vieta's sats med enkla ord?
Om en normerad kvadratisk ekvation \(x^2 + px + q = 0\) har rötter, då är deras summa lika med den andra koefficienten med ombytt tecken, och produkten är lika med den konstanta termen: \(x_1 + x_2 = -p\) och \(x_1 x_2 = q\).
Vad är summan och produkten av rötterna till ekvationen $ax^2 + bx + c = 0$?
För en ekvation av allmän form är summan av rötterna \(-\dfrac{b}{a}\), och produkten \(\dfrac{c}{a}\). Dessa formler erhålls från det normerade fallet genom att dividera hela ekvationen med \(a\).
Vad är skillnaden mellan den omvända Vieta's sats och den direkta?
Den direkta satsen går från rötterna till koefficienterna: känner vi till rötterna får vi summan \(-p\) och produkten \(q\). Den omvända går tvärtom: om ett par tal ger rätt summa och rätt produkt, då är dessa tal ekvationens rötter. Det är den omvända satsen som tillåter att lösa ekvationer genom gissning.
Hur gissar man rötter enligt Vieta's sats?
Normera ekvationen till formen \(x^2 + px + q = 0\), säkerställ att \(D \ge 0\), skriv ner \(x_1 + x_2 = -p\) och \(x_1 x_2 = q\), gå igenom faktoruppdelningarna av talet \(q\) i par av faktorer och välj det par vars summa är lika med \(-p\). Till exempel, för \(x^2 + 6x + 8 = 0\) behövs tal med produkten 8 och summan \(-6\) – det är \(-2\) och \(-4\).
Fungerar Vieta's sats om koefficienten framför $x^2$ inte är ett?
Ja, men i formen av allmän form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). De korta formlerna \(-p\) och \(q\) gäller endast för den normerade ekvationen, därför, när \(a \neq 1\), dividerar man först ekvationen med \(a\).
Vad ska man göra om rötterna inte kan gissas enligt Vieta's sats?
Det betyder att rötterna inte är heltal eller att de inte finns alls. Räkna ut diskriminanten: vid \(D < 0\) finns inga reella rötter, och vid \(D \ge 0\) hittar du rötterna med formeln \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) och kontrollerar sedan svaret med Vieta's sats.
Hur bestämmer man tecknen på rötterna utan att lösa ekvationen?
Utifrån tecknen på \(p\) och \(q\) vid \(D \ge 0\): om \(q > 0\) och \(p < 0\) – båda rötterna är positiva; om \(q > 0\) och \(p > 0\) – båda rötterna är negativa; om \(q < 0\) – rötterna har olika tecken; om \(q = 0\) – en av rötterna är noll.
I vilken årskurs behandlas Vieta's sats?
I årskurs 8 på mattelektionerna, direkt efter kvadratiska ekvationer och diskriminanten. Därefter används den vid faktorisering av kvadratiska trinom \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), vid undersökning av rötter med en parameter och i uppgifter för nationella prov (t.ex. OGE och ЕГЭ).
