Kvadratroten ur ett tal \(a\) är ett tal vars kvadrat är \(a\), och den aritmetiska kvadratroten kallas endast dess icke-negativa värde: \(\sqrt{25} = 5\). Man kan bara dra roten ur icke-negativa tal, men rotens egenskaper förvandlar klumpiga uttryck till korta. På den här sidan - definition och definitionsmängd, alla egenskaper hos kvadratroten med formler, tabell över kvadratrötter från 1 till 20, metoder för att dra ut roten och ta ut en faktor, lösta exempel, vanliga misstag och en interaktiv träningssimulator.
Vad är kvadratroten ur ett tal
Kvadratroten ur ett tal \(a\) är ett tal vars kvadrat är \(a\). Att dra roten och att kvadrera är varandra omvända operationer: från \(7^2 = 49\) följer omedelbart att kvadratroten ur 49 är 7.
Men ett positivt tal har exakt två kvadratrötter, och de skiljer sig bara åt i tecken: \(5^2 = 25\) och \((-5)^2 = 25\), det vill säga kvadratrötterna ur 25 är både \(5\) och \(-5\). För att notationen \(\sqrt{25}\) ska beteckna ett enda tal, har man kommit överens om: tecknet \(\sqrt{\phantom{a}}\) används endast för den icke-negativa roten. Den kallas aritmetisk.
Notationerna har sina namn: tecknet \(\sqrt{\phantom{a}}\) är radikal, och talet eller uttrycket under det är radikand.
Aritmetisk kvadratrot: definition och definitionsmängd
Den aritmetiska kvadratroten ur ett icke-negativt tal \(a\) kallas det icke-negativa tal vars kvadrat är \(a\). Den betecknas \(\sqrt{a}\) och läses "roten ur a".
I definitionen finns två villkor, och båda är lika viktiga:
- radikanden är icke-negativ: \(a \ge 0\);
- rotens värde är icke-negativt: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Härifrån får vi omedelbart: \(\sqrt{25} = 5\), inte \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); och notationen \(\sqrt{-9}\) har ingen mening i reella tal - det finns inget tal vars kvadrat är negativ.
Det första villkoret definierar definitionsmängden för uttrycket med roten. Till exempel har \(\sqrt{x-7}\) mening för \(x - 7 \ge 0\), det vill säga för \(x \ge 7\): alla mindre värden på \(x\) placerar ett negativt tal under roten.
Från definitionen följer också likheten \((\sqrt{a})^2 = a\) för \(a \ge 0\): att kvadrera roten återför talet under roten. Det fungerar även när vi inte kan beräkna roten exakt: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabell över kvadratrötter: kvadrater av tal från 1 till 20
Roten dras ut jämnt endast när talet under roten är en perfekt kvadrat. Därför fungerar tabellen över kvadrater även som en tabell över kvadratrötter: den läses åt båda håll - \(14^2 = 196\), alltså \(\sqrt{196} = 14\).
Tabellen hjälper inte bara med heltal:
- decimaltal: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), eftersom \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- vanliga bråk: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - roten dras ut separat ur täljaren och separat ur nämnaren;
- jämna tal: \(\sqrt{2500} = 50\), eftersom \(2500 = 25 \cdot 100\), och roten ur varje faktor är känd.
Egenskaper hos kvadratrot
Egenskaperna hos kvadratroten gör det möjligt att beräkna uttryck utan att dra roten ur varje term separat, och att förenkla svaret.
Roten ur en produkt är produkten av rötterna: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) för \(a \ge 0\) och \(b \ge 0\). Till exempel, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - samma svar som \(\sqrt{144}\).
Roten ur en kvot är kvoten av rötterna: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) för \(a \ge 0\) och \(b > 0\). Till exempel, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Villkoret \(b > 0\) är strikt: man får inte dividera med noll.
Roten ur en kvadrat är absolutbeloppet: \(\sqrt{a^2} = |a|\), och detta gäller för alla tal \(a\). Här är den största finessen i hela ämnet. Om \(a \ge 0\), ändras inget: \(\sqrt{7^2} = 7\). Men om \(a\) är negativt, "rätnas" tecknet ut: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), inte \(-6\) - eftersom den aritmetiska roten inte kan vara negativ.
Kvadraten av roten återför talet under roten: \((\sqrt{a})^2 = a\) för \(a \ge 0\).
Men för summa och differens finns inga liknande egenskaper: roten ur en summa är inte lika med summan av rötterna. Detta är det vanligaste misstaget i ämnet, en genomgång - nedan.
| Egenskap och villkor | Exempel |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bför a ≥ 0 och b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bför a ≥ 0 och b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|för alla a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aför a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bför b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Hur man drar ut kvadratroten ur ett tal
En kalkylator är inte alltid till hands, och skoluppgifter är nästan alltid utformade så att roten kan dras ut. Ordningen på stegen är som följer.
- Kontrollera i tabellen över kvadrater. Om talet finns i tabellen är svaret klart: \(\sqrt{289} = 17\).
- Separera jämna faktorer. För tal med nollor är det praktiskt att separera \(100\), \(10\,000\) och så vidare: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Faktorisera till primtal. Detta är en universell metod: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), exponenterna delas med två och vi får \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Omvandla decimaltal till bråk. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Detta hjälper också till att undvika att tappa en decimalplats.
- Om det inte finns en perfekt kvadrat - roten är irrationell. Då lämnas den antingen kvar i svaret med symbol (man skriver alltså: \(\sqrt{30}\)), eller så uppskattas den mellan närliggande kvadrater.
Kontrollen tar en sekund: det erhållna talet kvadreras och man ser om talet under roten återkommer. \(24^2 = 576\) - korrekt.
Att ta ut en faktor ur rottecknet
Roten lämnas sällan "rå" - allt som kan dras ut tas ut ur den. Egenskapen \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) för \(b \ge 0\) gäller: vi letar efter den största kvadratiska delaren till talet under roten.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Den omvända operationen är att föra in en faktor under roten: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) för \(a \ge 0\). Till exempel, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Med en negativ faktor krävs försiktighet: minustecknet går inte in under roten och förblir utanför. Korrekt notation är \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), inte \(\sqrt{12}\).
Varför är detta nödvändigt: efter att ha tagit ut en faktor blir rötter med samma uttryck under roten liknande termer, och de kan adderas. Att föra in en faktor under roten är det snabbaste sättet att jämföra två uttryck med rötter.
Vad är kvadratroten som inte kan dras ut
Om talet under roten inte är en perfekt kvadrat, är roten ett irrationellt tal: dess decimalutveckling är oändlig och icke-periodisk. Till exempel, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), och det exakta värdet skrivs endast med symbolen \(\sqrt{2}\). Ett avrundat svar ges endast om det efterfrågas i uppgiften.
Man kan uppskatta en sådan rot utan kalkylator: hitta två närliggande perfekta kvadrater som talet under roten ligger mellan. Jämförelseregeln gäller: för \(a \ge 0\) och \(b \ge 0\) gäller att om \(a < b\) så är \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - ett större tal under roten motsvarar en större rot.
Exempel på beräkningar med kvadratrötter
Exempel 1. Värdet av ett uttryck med rötter
Beräkna \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Steg 1. \(\sqrt{121} = 11\), eftersom \(11^2 = 121\).
Steg 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), eftersom \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Steg 3. Roten ur bråket dras ut ur täljaren och nämnaren: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Steg 4. Vi adderar: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Svar: 11.
Exempel 2. Roten ur en produkt
Beräkna \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Steg 1. Var för sig kan dessa rötter inte dras ut, så vi kombinerar dem till en: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Steg 2. Vi beräknar produkten under roten: \(8 \cdot 18 = 144\).
Steg 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Annan väg - att ta ut faktorer i förväg: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) och \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), då blir \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Svaren överensstämmer.
Svar: 12.
Exempel 3. Utdragning av rot genom faktorisering
Beräkna \(\sqrt{576}\) och \(\sqrt{6400}\).
Steg 1. Talet 576 finns inte i tabellen över kvadrater, så vi faktoriserar det till primtal: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Steg 2. Vi delar exponenterna med två: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Steg 3. Kontroll. \(24^2 = 576\) - korrekt.
Steg 4. För talet 6400 är det enklare att separera en jämn faktor: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Kontroll: \(80^2 = 6400\).
Svar: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Exempel 4. Utdragning av faktor och sammanslagning av liknande termer
Förenkla \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Steg 1. Vi drar ut faktorer ur varje rot: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), alltså \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Steg 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Steg 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Steg 4. Vi kan bara addera rötter med samma uttryck under roten: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), och termen med \(\sqrt{3}\) förblir separat.
Svar: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Exempel 5. Rot ur ett tal i kvadrat med variabel
Förenkla \(\sqrt{(x-4)^2}\) för \(x < 4\).
Steg 1. Enligt egenskapen för roten ur en kvadrat är \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - vi skriver omedelbart absolutbeloppet, inte \(x - 4\).
Steg 2. Vi tar bort absolutbeloppet enligt villkoret. Om \(x < 4\), är differensen \(x - 4\) negativ, och absolutbeloppet av ett negativt tal är det motsatta talet: \(|x-4| = 4 - x\).
Steg 3. Kontroll. Vi väljer \(x = 1\): vänster sida \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), höger sida \(4 - 1 = 3\) - stämmer.
Svar: \(4 - x\). Som jämförelse, för \(x \ge 4\) skulle svaret vara \(x - 4\).
Exempel 6. Jämförelse av uttryck med rötter
Jämför \(3\sqrt{5}\) och \(5\sqrt{2}\).
Steg 1. Båda talen är positiva, så vi för in faktorn under roten: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Steg 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Steg 3. Vi jämför talen under roten: \(45 < 50\), och ett större tal under roten motsvarar en större rot.
Svar: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Vanliga misstag vid arbete med kvadratrot
-
Man skriver $\sqrt{a^2} = a$, och glömmer absolutbeloppet.
Den korrekta likheten är \(\sqrt{a^2} = |a|\). För ett negativt tal är detta avgörande: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), inte \(-13\). Den aritmetiska roten kan inte vara negativ, så tecknet under roten "rätnas ut".
-
Man tror att roten ur en summa är lika med summan av rötterna: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Det finns ingen sådan egenskap. Först utför vi operationen under roten: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), inte 7. Egenskaper finns bara för produkter och kvoter: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) och \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Man svarar att $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - den aritmetiska roten är alltid en och den är icke-negativ. Två värden uppstår i en annan uppgift: ekvationen \(x^2 = 49\) har rötterna \(x = 7\) och \(x = -7\). Man får inte förväxla notationen för roten med lösningen av en ekvation.
-
Man skriver $\sqrt{-16} = -4$, och resonerar "minus gånger minus".
Ett negativt tal kan inte stå under roten: \((-4)^2 = 16\), inte \(-16\), så \(\sqrt{-16}\) existerar inte i reella tal. Däremot är uttrycket \(-\sqrt{16} = -4\) helt korrekt - minustecknet står framför roten, inte under den.
-
Man för in en negativ faktor under roten: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Regeln \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) gäller endast för \(a \ge 0\). Minustecknet förblir utanför: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Kontroll med tecken: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), och \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - talen är motsatta.
-
Man tappar en decimalplats för decimaltal: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Kontrollera med omvänd kvadrering: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), stämmer inte. Korrekt är \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), eftersom \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Ett pålitligt sätt är att gå över till ett vanligt bråk: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Man är säker på att roten alltid är mindre än talet självt.
Detta gäller endast för tal större än ett. På intervallet från 0 till 1 är det tvärtom: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), och \(0{,}5\) är större än \(0{,}25\). För 0 och 1 är roten lika med talet självt.
Frågor och svar
Vad är en aritmetisk kvadratrot med enkla ord?
Det är ett icke-negativt tal som, när det kvadreras, ger talet under roten. Man skriver \(\sqrt{a}\), där uttrycket under roten måste vara icke-negativt: \(a \ge 0\). Till exempel, \(\sqrt{64} = 8\), eftersom \(8 \ge 0\) och \(8^2 = 64\).
Vad är skillnaden mellan kvadratrot och aritmetisk kvadratrot?
Ett positivt tal har två kvadratrötter - motsatta i tecken. Den aritmetiska kallas endast den icke-negativa av dem, och det är den som tecknet \(\sqrt{\phantom{a}}\) betecknar. Därför är \(\sqrt{25} = 5\), även om ekvationen \(x^2 = 25\) har två rötter: 5 och \(-5\).
Hur drar man ut kvadratroten ur ett tal utan kalkylator?
Kontrollera först talet i tabellen över kvadrater. Om det inte finns där - faktorisera det och identifiera perfekta kvadrater: \(784 = 16 \cdot 49\), därför är \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Kontrollera alltid svaret med den omvända operationen: \(28^2 = 784\).
Kan man dra ut kvadratroten ur ett negativt tal?
I reella tal - nej: kvadraten av vilket tal som helst är icke-negativ, därför har uttrycket \(\sqrt{-9}\) ingen mening. Det är just från detta villkor man söker definitionsmängden: till exempel, \(\sqrt{x-7}\) existerar endast för \(x \ge 7\).
Vad är roten ur ett tal i kvadrat?
Absolutbeloppet av det talet: \(\sqrt{a^2} = |a|\). För ett icke-negativt \(a\) blir det talet självt, för ett negativt - det motsatta talet: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Hur tar man ut en faktor ur rottecknet?
Hitta den största kvadratiska delaren till talet under roten och använd egenskapen \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Till exempel, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Den omvända operationen är att föra in faktorn under roten: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Vad är kvadratroten ur 2?
Talet \(\sqrt{2}\) är irrationellt: dess decimalutveckling är oändlig och icke-periodisk, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Ett exakt värde i form av ett bråk existerar inte, därför lämnas det kvar som symbolen \(\sqrt{2}\) i svaren, och man avrundar endast om uppgiften kräver det.
Hur jämför man två tal med rötter utan att beräkna dem?
För in faktorerna under roten och jämför talen under roten: ett större tal under roten motsvarar en större rot. Till exempel, \(\sqrt{17}\) och 4: eftersom \(4 = \sqrt{16}\) och \(17 > 16\), så är \(\sqrt{17} > 4\).
Vilken årskurs studerar man kvadratrötter?
I årskurs 8 på algebra-lektionerna: först definitionen av aritmetisk kvadratrot och dess egenskaper, sedan omvandlingar av uttryck med rötter och lösning av ekvationer av typen \(x^2 = a\). Därefter förekommer rötter i diskriminantformeln och i uppgifter för nationella prov (t.ex. OGE och ЕГЭ).
