Kvadratna enačba je enačba oblike \(ax^2 + bx + c = 0\), kjer je \(a \neq 0\). Število njenih korenov določa diskriminanta \(D = b^2 - 4ac\), same korene pa izračunamo po formuli \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Na tej strani najdeš vse o tej temi: standardna oblika in koeficienti, tri vrste nepopolnih enačb, diskriminanta in trije primeri, formula za korene in njena "soda" različica, normirana enačba in Vietovo pravilo, razstavljanje na faktorje in bikvadratne enačbe – s primeri po korakih, pregledom pogostih napak in interaktivnim vadbiščem.
Kaj je kvadratna enačba
Kvadratna enačba je enačba oblike
kjer je \(x\) neznanka, \(a\), \(b\), \(c\) pa so števila (koeficienti), pri čemer velja \(a \neq 0\). Takšen zapis imenujemo standardna oblika kvadratne enačbe: na levi strani so členi urejeni po padajočih stopnjah, na desni pa je ničla.
Pogoj \(a \neq 0\) ni zgolj formalnost. Prav člen \(ax^2\) naredi enačbo kvadratno: če je \(a = 0\), ostane \(bx + c = 0\), kar je običajna linearna enačba z enim korenom. Zato pri nalogah s parametrom najprej preverimo, ali vodilni koeficient postane nič.
Enačbo lahko skoraj vedno preoblikujemo v standardno obliko: odpravimo oklepaje, prenesemo vse člene na levo stran in seštejemo podobne člene. Na primer, \(5x^2 = 3x - 2\) se po prenosu spremeni v \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), od koder dobimo \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\).
Popolne in nepopolne kvadratne enačbe
Če so vsi trije koeficienti različni od nič, enačbo imenujemo popolna. Če sta \(b\) ali \(c\) (ali oba) enaka nič, je enačba nepopolna. Obstajajo natanko tri vrste nepopolnih enačb in nobena ne zahteva uporabe diskriminante: vsako lahko rešimo v eni ali dveh vrsticah, kar je najhitrejši način za prihranek časa pri preverjanju znanja.
Ključna ideja za \(ax^2 + bx = 0\) je izpostavljanje skupnega faktorja. Produkt \(x(ax + b)\) je enak nič takrat in le takrat, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič, od koder takoj dobimo dva korena. Za \(ax^2 + c = 0\) je ideja drugačna: izrazimo \(x^2\) in preverimo predznak dobljenega števila – kvadrat realnega števila ne more biti negativen.
| Vrsta enačbe | Kako rešiti |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Prenesi c na desno in deli z a: x2 = −c/a. Koreni, ne da bi pozabil na drugi predznak.x = 5 in x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Izpostavi x: x(ax + b) = 0. Produkt je enak nič, ko je eden od faktorjev enak nič.x = 0 in x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Deli z a in koreni ničlo. Koren je vedno natanko eden.x = 0 |
Diskriminanta: kako jo najti in koliko bo korenov
Diskriminanta je število, ki ga izračunamo iz koeficientov popolne enačbe:
Sama beseda pomeni "razlikovalec": diskriminanta ne reši enačbe, le razlikuje tri situacije – dva korena, en koren ali nobenega korena. Zato vprašanje "koliko korenov ima enačba" rešimo brez iskanja samih korenov.
\(D\) moramo izračunati previdno: \(b^2\) je vedno pozitivno, tudi če je sam \(b\) negativen, predznaka \(a\) in \(c\) pa sta vključena v produkt \(4ac\). Vzemimo \(x^2 + 4x - 5 = 0\): tukaj je \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), torej \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminanta je pozitivna, zato bosta dva korena.
Formula za korene kvadratne enačbe
Ko je \(D \ge 0\), korene najdemo po glavni formuli teme:
Znak \(\pm\) pomeni dva izračuna: enkrat s seštevanjem, drugič z odštevanjem. Pri \(D = 0\) oba izračuna dasta isto število \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — ta koren imenujemo dvojni koren.
Dve mesti, kjer se najpogosteje pojavijo napake: v števcu je minus \(b\) (za \(b = -7\) je to \(+7\)), v imenovalcu pa je \(2a\), ne le \(2\). Pri \(a = 1\) razlike ni videti, zato se napaka pojavi prav tam, kjer se vodilni koeficient razlikuje od enice.
Rešimo \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), zato \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) in \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Sod drugi koeficient: formula z D₁
Če je \(b\) sodo število, ga je priročno zapisati kot \(b = 2k\) in izračunati "zmanjšano" diskriminanto:
Števila v izračunih postanejo štirikrat manjša (\(D = 4D_1\)), predznak \(D_1\) pa je enak kot pri \(D\) — torej se sklep o številu korenov ne spremeni.
Primer: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Tukaj je \(b = 8\), torej \(k = 4\), in \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Tedaj \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) in \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Z običajno formulo bi morali delati z \(D = 100\) — rezultat je enak, a aritmetike je več.
Normirana enačba in Vietovo pravilo
Enačbo z \(a = 1\) imenujemo normirana in jo zapišemo kot \(x^2 + px + q = 0\). Vsako kvadratno enačbo lahko preoblikujemo v to obliko z deljenjem z \(a\): na primer, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) po deljenju s 4 postane \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Normirana oblika je dragocena, ker zanjo velja Vietovo pravilo: vsota korenov je enaka \(-p\), produkt pa je enak \(q\). Za \(x^2 - 7x + 10 = 0\) potrebujemo dve števili z vsoto 7 in produktom 10 — to sta 2 in 5, zato diskriminante sploh ni bilo treba računati.
Iskanje po Vietovem pravilu pomaga, ko so koreni cela in majhna števila, poleg tega pa brezplačno preveri odgovor, najden prek diskriminante: vsota mora dati \(-p\), produkt pa \(q\). Formule za splošno obliko, obratno pravilo in algoritem iskanja so razloženi v ločenem gradivu – Vietovo pravilo.
Razstavljanje kvadratnega trinoma na faktorje
Če sta korena \(x_1\) in \(x_2\) najdena, kvadratni trinom razstavimo na faktorje:
Faktorja \(a\) ne smemo pozabiti — brez njega enakost ne drži. Razstavljanje lahko vedno preverimo: odpravimo oklepaje in primerjamo s prvotnim trinomom. Recimo, pri \(x^2 + 2x - 8\) sta korena 2 in \(-4\), zato \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Deluje tudi obratna pot: če trinom uspemo razstaviti na pamet, korene vidimo takoj in diskriminanta ni potrebna. Tukaj pomagajo formule za skrajšano množenje — na primer, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) takoj da korena \(4\) in \(-4\).
Tretji način, kako se izogniti formuli za korene, je dopolnjevanje do popolnega kvadrata. Pri \(x^2 + 6x + 5 = 0\) prva dva člena dopolnimo do kvadrata vsote: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), torej \((x + 3)^2 = 4\), od koder \(x + 3 = \pm 2\) in \(x = -1\) ali \(x = -5\). Prav s tem postopkom se izpelje splošna formula za korene.
Enačbe, ki jih lahko prevedemo na kvadratne: bikvadratne
Bikvadratna enačba ima obliko \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): stopnje so le sode. Rešimo jo z uvedbo nove neznanke \(t = x^2\), pri čemer obvezno velja pogoj \(t \ge 0\) — kvadrat realnega števila ne more biti negativen.
Po zamenjavi dobimo običajno kvadratno enačbo \(at^2 + bt + c = 0\). Rešimo jo z diskriminanto, nato pa se za vsak nenegativen koren \(t\) vrnemo k \(x = \pm\sqrt{t}\). Od tod tudi število korenov: do štirih.
Na primer, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) po zamenjavi da \(t^2 - 5t + 4 = 0\) s korenoma \(t = 1\) in \(t = 4\). Oba sta pozitivna, zato \(x = \pm 1\) in \(x = \pm 2\) — skupaj štirje koreni. Če bi bil eden od \(t\) negativen, bi ga preprosto zavrgli.
Z istim postopkom rešujemo ulomljene racionalne enačbe (po preoblikovanju na skupni imenovalec in izločitvi nedovoljenih vrednosti) ter enačbe z zamenjavo oblike \(t = x^2 + 3x\).
Primeri reševanja kvadratnih enačb
Primer 1. Popolna enačba, D > 0
Reši \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
1. korak. Enačba je že v standardni obliki: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
2. korak. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — dva korena.
3. korak. \(\sqrt{D} = 5\), zato \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
4. korak. Preverjanje z vstavljanjem. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Primer 2. Diskriminanta je enaka nič
Reši \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
1. korak. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
2. korak. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — en koren.
3. korak. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
4. korak. Preverjanje. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Odgovor: \(x = 1{,}5\). Opomba: leva stran je popoln kvadrat \((2x - 3)^2\), zato je koren le eden.
Primer 3. Diskriminanta je negativna
Reši \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
1. korak. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
2. korak. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
3. korak. Diskriminanta je negativna, kar pomeni, da \(\sqrt{D}\) med realnimi števili ne obstaja. Formule za korene ni treba uporabiti — reševanje je tu končano.
Odgovor: realnih korenov ni. To je popoln odgovor, ne znak napake: graf funkcije \(y = 2x^2 + 3x + 5\) preprosto ne seka osi \(x\).
Primer 4. Nepopolna enačba oblike ax² + c = 0
Reši \(3x^2 - 27 = 0\).
1. korak. Prenesemo prosti člen: \(3x^2 = 27\).
2. korak. Delimo s 3: \(x^2 = 9\).
3. korak. Kvadrat je enak 9 pri dveh številih: \(x = 3\) in \(x = -3\). Drugi predznak se najpogosteje pozabi.
4. korak. Preverjanje. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Primerjaj z enačbo \(2x^2 + 8 = 0\): tam je \(x^2 = -4\), zato realnih korenov ni.
Primer 5. Nepopolna enačba oblike ax² + bx = 0
Reši \(5x^2 - 15x = 0\).
1. korak. Izpostavimo skupni faktor: \(5x(x - 3) = 0\).
2. korak. Produkt je enak nič, ko je eden od faktorjev enak nič: \(5x = 0\) ali \(x - 3 = 0\).
3. korak. Od tod \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
4. korak. Preverjanje. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Če bi prvotno enačbo krajšali z \(x\), bi ostalo le \(x = 3\) — koren \(x = 0\) bi izginil. Deljenje z izrazom, ki vsebuje neznanko, ni dovoljeno.
Primer 6. Sod drugi koeficient
Reši \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
1. korak. \(b = -22\) — sodo, zato \(k = -11\), \(a = 5\), \(c = 8\).
2. korak. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
3. korak. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
4. korak. Preverjanje. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Običajna diskriminanta bi dala \(D = 324\) — enak odgovor, a računanje bi trajalo dlje.
Primer 7. Najprej preoblikuj v standardno obliko
Reši \((x - 3)(x + 5) = 9\).
1. korak. Odpravimo oklepaje: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), torej \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
2. korak. Prenesemo devetico na levo: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Šele zdaj lahko izpišemo koeficiente: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
3. korak. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
4. korak. Preverjanje v prvotni enačbi. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Odgovor: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Pogosta napaka je, da vsak oklepaj enačimo z 9: pravilo "produkt je enak nič" velja le za ničlo.
Primer 8. Razstavljanje trinoma na faktorje
Razstavi \(2x^2 - 5x - 3\) na faktorje.
1. korak. Trinom enačimo z nič in poiščemo korene: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
2. korak. Vstavimo v formulo \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
3. korak. Dvojko je priročno vnesti v drugi oklepaj: \((x - 3)(2x + 1)\).
4. korak. Preverjanje z odpravljanjem oklepajev. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Odgovor: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Primer 9. Bikvadratna enačba
Reši \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
1. korak. Zamenjava \(t = x^2\), kjer \(t \ge 0\). Enačba postane \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
2. korak. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
3. korak. Obe vrednosti sta nenegativni, zato se vrnemo k \(x\): iz \(x^2 = 9\) dobimo \(x = \pm 3\), iz \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
4. korak. Preverjanje. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Za negativne vrednosti sode stopnje dajo ista števila.
Odgovor: \(x = \pm 2\) in \(x = \pm 3\) — štirje koreni.
Pogoste napake pri reševanju kvadratnih enačb
-
Računajo diskriminanto, ne da bi enačbo preoblikovali v standardno obliko: za $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ takoj vzamejo $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Najprej prenesemo vse na levo in seštejemo podobne člene: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), torej \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Šele od tod \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Formula za korene deluje izključno s standardno obliko.
-
Izgubijo predznak pri kvadriranju $b$: za $x^2 - 9x + 14 = 0$ zapišejo $D = -81 - 56$.
Kvadrat kateregakoli števila je nenegativen: \((-9)^2 = 81\), ne \(-81\). Pravilno je \(D = 81 - 56 = 25\), korena sta \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), torej 7 in 2. Preverjanje: \(49 - 63 + 14 = 0\) in \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
V števcu pustijo $b$ namesto $-b$: za $x^2 + 5x - 6 = 0$ računajo $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
V formuli je \(-b\), zato pri \(b = 5\) v števcu dobimo \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), od koder \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Vstavljanje potrdi: \(1 + 5 - 6 = 0\) in \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Pri $D = 0$ zapišejo "korenov ni": pri $x^2 + 14x + 49 = 0$ je diskriminanta ničelna, oni pa reševanje prekinejo.
Korenov ni le pri \(D < 0\). Pri \(D = 0\) je koren natanko eden: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Preverjanje: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Krajšajo enačbo $4x^2 - 9x = 0$ z $x$ in dobijo edini koren $x = 2{,}25$.
Deljenje z izrazom, ki vsebuje neznanko, ni dovoljeno: \(x\) je lahko nič, zato se koren \(x = 0\) izgubi. Pravilno je izpostaviti faktor: \(x(4x - 9) = 0\), od koder \(x_1 = 0\) in \(x_2 = 2{,}25\). Preverjanje: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Pri enačbi $x^2 = 16$ zapišejo le $x = 4$.
Kvadrat je enak 16 tudi pri število \(-4\). Zapisati je treba oba korena: \(x = \pm 4\). Bolj zanesljivo je reševati prek standardne oblike \(x^2 - 16 = 0\), torej \((x - 4)(x + 4) = 0\) — takrat sta oba faktorja vidna takoj.
-
Ne preverijo pogoja $a \neq 0$ pri enačbi s parametrom: pri $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ takoj računajo diskriminanto.
Pri \(m = 2\) vodilni koeficient postane nič in enačba postane linearna \(3x - 1 = 0\) z edinim korenom \(x = \dfrac{1}{3}\). Primer \(m = 2\) obravnavamo ločeno, formulo za korene pa uporabimo le pri \(m \neq 2\).
Vprašanja in odgovori
Kaj je kvadratna enačba?
To je enačba oblike \(ax^2 + bx + c = 0\), kjer so \(a\), \(b\), \(c\) števila in \(a \neq 0\). Neznanka je v njej na drugo potenco, zato sta lahko korena dva, eden ali nobeden.
Kako izgleda standardna oblika kvadratne enačbe?
Standardna (splošna) oblika je \(ax^2 + bx + c = 0\): vsi členi so zbrani na levi po padajočih stopnjah, na desni je ničla. Pred izračunom diskriminante vsako kvadratno enačbo preoblikujemo v to obliko.
Kako najti diskriminanto?
Po formuli \(D = b^2 - 4ac\), pri čemer vstavimo koeficiente skupaj z njihovimi predznaki. Na primer, za \(x^2 + 3x - 10 = 0\) dobimo \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), korena pa sta \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), torej 2 in \(-5\).
Kakšna je formula za korene kvadratne enačbe?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), ali krajše \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Uporabimo jo pri \(D \ge 0\); v imenovalcu je natanko \(2a\), ne 2.
Koliko korenov ima lahko kvadratna enačba?
Največ dva. Pri \(D > 0\) sta korena dva, pri \(D = 0\) je eden (dvojni), pri \(D < 0\) realnih korenov ni.
Kaj je nepopolna kvadratna enačba?
To je enačba, pri kateri je \(b = 0\), \(c = 0\) ali oboje hkrati: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Vse tri rešimo brez diskriminante — s prenosom člena ali izpostavljanjem \(x\).
Kako reševati kvadratne enačbe brez diskriminante?
Obstajajo tri poti: iskanje korenov po Vietovem pravilu za normirano enačbo, razstavljanje na faktorje in dopolnjevanje do popolnega kvadrata. Najhitreje deluje iskanje, ko so koreni majhna cela števila.
Kaj storiti, če je diskriminanta negativna?
Zapiši, da realnih korenov ni, in končaj reševanje. Negativna diskriminanta je normalen odgovor: graf ustrezne parabole ne seka osi \(x\). Koreni v takem primeru obstajajo le med kompleksnimi števili, ki pa se jih uči kasneje.
Kako preveriti najdene korene?
Vstavi vsak koren v prvotno enačbo — dobiti moraš pravilno enakost. Za normirano enačbo obstaja tudi hitro preverjanje po Vietovem pravilu: vsota korenov je \(-p\), produkt je \(q\).
Ali sta kvadratna in kvadratična enačba isto?
Da, to sta dve poimenovanji za isti objekt \(ax^2 + bx + c = 0\). Ne zamenjaj je s kvadratno funkcijo \(y = ax^2 + bx + c\): koreni enačbe so pravzaprav abscise točk, kjer graf funkcije seka os \(x\).
V katerem razredu se učijo kvadratne enačbe?
V 8. razredu pri algebri: najprej nepopolne enačbe, nato diskriminanta, formula za korene in Vietovo pravilo. Kasneje se tema pojavi pri kvadratni funkciji, neenačbah, nalogah na NPZ in maturi.
