Značilnosti deljivosti števil: tabela in primeri

Značilnost deljivosti je pravilo, po katerem lahko ugotovimo, ali je število celo deljivo z drugim številom, ne da bi izvedli samo deljenje. Dovolj je pogledati zadnje števke ali sešteti vse števke števila.

Značilnosti deljivosti pomagajo povsod, kjer je treba hitro razumeti »ustroj« števila:

• pri krajšanju ulomkov — takoj vidimo, s čim lahko krajšamo števec in imenovalec;
• pri razklopu števila na prafaktorje;
• pri iskanju skupnega delitelja in skupnega večkratnika;
• pri hitrem preverjanju odgovora v primerih in nalogah.

Pomembno je, da ne zamenjamo dveh različnih vprašanj. »Ali je 3726 deljivo z 9?« — na to odgovori značilnost deljivosti: vsota števk 3 + 7 + 2 + 6 = 18 je deljiva z 9, torej da. In »koliko bo rezultat?« — to je že samo deljenje: 3726 : 9 = 414. Značilnost da samo odgovor »da« ali »ne«, vendar takoj in v mislih.

Vse šolske značilnosti deljivosti je priročno imeti pred očmi v eni tabeli. Barva nakazuje, kam pogledati: na zadnjo števko, na vsoto števk, na »rep« dveh-treh zadnjih števk ali takoj na obe značilnosti.

Najlažja skupina: gledamo samo zadnjo števko, ostale niso pomembne.

• z 2 so deljiva vsa soda števila — tista, ki se končujejo na 0, 2, 4, 6 ali 8;
• z 5 — števila, ki se končujejo na 0 ali 5;
• z 10 — števila, ki se končujejo na 0.

Dolžina števila ni pomembna: 987 654 320 je deljivo tako z 2, kot z 5, kot z 10, ker se končuje z ničlo. Število 1435 pa je deljivo s 5 (zadnja števka 5), vendar ni deljivo ne z 2, ne z 10 — število je liho.

Od tod koristni sklep: z 10 so deljiva natanko tista števila, ki so deljiva hkrati z 2 in 5.

Tukaj zadnja števka ne odloča — deluje vsota vseh števk števila:

• število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3;
• število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Če je vsota velika, lahko značilnost ponovno uporabiš zanjo: pri številu 899 991 je vsota števk 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, pri 45 pa je vsota 4 + 5 = 9 — torej je izvirno število deljivo tako z 9, kot z 3.

Značilnosti sta si podobni, vendar se ne nadomeščata. Vsako število, ki je deljivo z 9, je deljivo tudi s 3 — saj je sama devetka deljiva s trojko. Obratno pa ne drži: vsota števk je lahko deljiva s 3 in hkrati ne z 9, in takrat število izpolni samo eno od obeh značilnosti. Oba primera sta razložena spodaj.

Ena sama zadnja števka tukaj ni dovolj — potreben je »rep« iz več zadnjih števk:

• s 4 je deljivo število, pri katerem zadnji dve števki tvorita število, deljivo s 4;
• z 8 — če zadnje tri števke tvorijo število, deljivo z 8;
• s 25 — če zadnji dve števki tvorita 00, 25, 50 ali 75.

Zakaj je rep dovolj: 100 je deljivo tako s 4, kot s 25, 1000 pa je deljivo z 8. Zato vse, kar je levo, je že samo deljivo s potrebnim številom in ne vpliva na rezultat.

Od tod pomemben sklep: sodost za štirico in osem ni dovolj. Število je lahko sodo, vendar če njegov rep iz dveh ali treh števk ni celo deljiv, potem tudi celo število ni deljivo. Razlaga repov — v vstavku spodaj.

Šestica nima svoje posebne značilnosti: 6 = 2 · 3, in faktorja sta tuji. Zato je značilnost sestavljena — število je deljivo s 6, če je deljivo hkrati z 2 in 3.

Preverimo 5124: zadnja števka 4 — število je sodo, torej je deljivo z 2; vsota števk 5 + 1 + 2 + 4 = 12 je deljiva s 3. Oba pogoja sta izpolnjena → 5124 : 6 = 854.

Sodost sama ni dovolj: 1000 je sodo, vendar je vsota njegovih števk 1 in ni deljiva s 3, zato število ni deljivo s 6. Ne deluje niti obratna polovica: pri 4521 je vsota števk 12 deljiva s 3, vendar je samo število liho — tudi s 6 ni deljivo.

Na enak način se sestavljajo druge sestavljene značilnosti: z 12 — deljivo s 3 in 4, z 15 — s 3 in 5, z 18 — z 2 in 9, s 45 — s 5 in 9.

Značilnost deljivosti z 11 uporablja izmenično vsoto števk. Števke se seštevajo, začenši z zadnjo, izmenično se menja predznak: plus, minus, plus, minus. Če je rezultat deljiv z 11 (vključno z ničlo), potem je tudi celo število deljivo z 11.

Ista značilnost se pogosto formulira drugače: razlika med vsoto števk na neparnih mestih in vsoto števk na parnih mestih mora biti deljiva z 11. To je enako pravilo.