Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak naslednji člen večji od prejšnjega za isto število \(d\) (razlika progresije). Vsak njen člen najdemo po formuli \(a_n = a_1 + (n-1)d\), vsoto prvih \(n\) členov pa po formuli \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Na tej strani so razloženi definicija in razlika, obe formuli za vsoto, značilnostna lastnost, preverjanje vključenosti števila v progresijo, razlika od geometrijske progresije, tipične naloge OGE in interaktivni vadbeni poligon za samopreverjanje.
Kaj je aritmetična progresija
Aritmetična progresija je številska zaporedja, v katerem vsak naslednji člen dobimo iz prejšnjega s prištevanjem istega števila. To število imenujemo razlika progresije in ga označujemo s črko \(d\).
Definicija z eno formulo: zaporedje \(a_1, a_2, a_3, \dots\) imenujemo aritmetična progresija, če za vsako naravno število \(n\) velja enakost
Vzemimo zaporedje 3, 7, 11, 15, 19, … Prvi člen je tu \(a_1 = 3\), razlika pa \(d = 4\): vsako naslednje število je za 4 večje od prejšnjega. Zato je naslednji člen 23, pred trojko (če bi nadaljevali nazaj) pa bi bilo število minus ena.
Celotna progresija je določena s samo dvema številoma — prvim členom \(a_1\) in razliko \(d\). Če poznamo ta par, lahko poimenujemo katerikoli člen, izračunamo vsoto poljubnega števila prvih členov in preverimo, ali se v zaporedju nahaja določeno število. Progresijo označujemo s simbolom \((a_n)\), njene člene pa z \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) in tako naprej, kjer spodnji indeks vedno pomeni številko, ne vrednosti.
Razlika aritmetične progresije: kako najti d
Razlika je vedno naslednji člen minus prejšnji:
Vrsti odštevanja je pomembna: če odštejemo narobe, bo predznak razlike obraten. Za zaporedje 20, 17, 14, 11, 8 je razlika \(17 - 20 = -3\), ne \(+3\).
Predznak \(d\) v celoti določa obnašanje progresije:
- \(d > 0\) — progresija je naraščajoča, členi se povečujejo;
- \(d < 0\) — progresija je padajoča, členi se zmanjšujejo;
- \(d = 0\) — vsi členi so enaki, na primer 6, 6, 6, 6, … To je tudi aritmetična progresija, le konstantna.
Če sta znana dva člena z različnima številkama, razliko najdemo po formuli
Primer. Naj bo \(a_4 = 30\) in \(a_{10} = 6\). Potem je \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), prvi člen pa je \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Preverimo začetek progresije: 42, 38, 34, 30 — četrti člen je res 30.
Razlika ni nujno celo število: zaporedje 1; 1,5; 2; 2,5 ima razliko 0,5 in je polnopravna aritmetična progresija.
Formula za n-ti člen aritmetične progresije
Glavna formula teme omogoča izračun poljubnega člena, ne da bi morali izpisati vse predhodne:
Od kod se vzame \(n - 1\)? Da pridemo od prvega člena do \(n\)-tega, razliko prištejemo ne \(n\)-krat, ampak enkrat manj: do drugega člena — en korak, do tretjega — dva, do dvajsetega — devetnajst.
Primer. Za progresijo 3, 7, 11, 15, 19, … imamo \(a_1 = 3\) in \(d = 4\), torej
Takšna skrajšana oblika je zelo priročna: takoj je videti, da je \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), in \(a_{100} = 399\). Hkrati nam pove razliko: vsaka aritmetična progresija ima formulo \(n\)-tega člena linearno, oblike \(a_n = dn + c\), in koeficient pred \(n\) je razlika.
Včasih prvi člen ni znan, je pa znan kakšen drug. Takrat deluje enaka ideja v splošni obliki: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Značilnostna lastnost aritmetične progresije
Vsak člen progresije, razen prvega, je enak povprečju svojih sosedov:
Prav zaradi tega se progresija imenuje aritmetična. Ta enakost velja tudi v obratni smeri: če je v zaporedju vsak srednji člen enak polovičnemu seštevku sosedov, je zaporedje aritmetična progresija. Takšna trditev se imenuje značilnostna lastnost aritmetične progresije in jo v nalogah uporabljajo, da dokažejo, da tri števila tvorijo progresijo.
Primer. Števila 7, \(x\), 23 so trije zaporedni členi progresije. Potem je \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Preveritev: 7, 15, 23 — razliki sta 8 in 8, vse se ujema.
Priročna oblika zapisa iste lastnosti: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), torej dvojni srednji člen je enak vsoti skrajnih. V takšni obliki je lastnost lažje uporabiti, ko so členi podani z algebrskimi izrazi.
Vsota prvih n členov aritmetične progresije
Vsoto \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) izračunamo po eni od dveh formul:
Ideja prve formule je tista, ki naj bi jo po legendi našel šolar Gauss, ko je sešteval števila od 1 do 100. Če seštejemo prvi člen s poslednjim, drugega s predzadnjim in tako naprej, vse pare dajo isto vsoto. Od tod \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Druga formula je dobljena iz prve z vstavljanjem \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — ta je potrebna, ko zadnji člen ni znan in ga ne želimo posebej računati.
Primer. Izračunajmo vsoto prvih dvajsetih členov progresije 3, 7, 11, 15, 19, …
Po prvi formuli: \(a_{20} = 79\), zato \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Po drugi: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Odgovora sta se ujemala — to je najboljša preveritev izračunov.
Kako ugotoviti, ali število spada v aritmetično progresijo
Vprašanje »ali je število član progresije« rešujemo z enačbo. Število spada v progresijo takrat in samo takrat, ko je njegova številka \(n\) naravno število: 1, 2, 3 in tako naprej. Če je \(n\) ulomek ali manj kot ali enako 0, to pomeni, da takšnega člena ni.
Primer 1. Ali število 99 spada v progresijo 3, 7, 11, 15, 19, …? Formula za \(n\)-ti člen je \(a_n = 4n - 1\), zato rešujemo \(4n - 1 = 99\), od koder dobimo \(4n = 100\) in \(n = 25\). Številka je naravna — torej je 99 v progresiji, to je njen dvaindvajseti član.
Primer 2. Kaj pa število 2026? Iz \(4n - 1 = 2026\) dobimo \(4n = 2027\) in \(n = 506{,}75\). Številka je ulomek, zato 2026 ni član te progresije.
Uporabna namiga za hitro oceno: pri progresiji s formulo \(a_n = 4n - 1\) vsi členi pri deljenju s 4 dajejo ostanek 3. Število 2026 daje ostanek 2, zato »zgreši« progresijo.
Tipične naloge OGE iz aritmetične progresije
Na OGE iz matematike se progresije pojavljajo vsako leto, skoraj vse naloge pa se nanašajo na štiri scenarije.
Poišči člen po številki. Dana sta \(a_1\) in \(d\) (ali nekaj prvih členov) — vstavimo v \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Poišči številko po vrednosti. Dana je vrednost števila — izenačimo jo z formulo \(n\)-tega člena in rešimo enačbo glede na \(n\).
Poišči vsoto. Izračunamo \(S_n\) po kateri koli od dveh formul; če manjka \(a_n\) — najprej ga poiščemo.
Poišči število členov. Iz formule za \(n\)-ti člen dobimo priročno posledico: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Posebej velja omeniti besedilno nalogo, kjer je progresija skrita v zgodbi. Na primer: prvi dan je delavec izdelal 12 delov, vsak naslednji dan pa 3 dele več kot prejšnji; koliko delov bo izdelal v 15 dneh? Tu je \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Izračunamo zadnji člen: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Potem \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) delov.
Najboljši nasvet za takšne naloge: najprej si posebej zapišite, kaj je dano (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) in kaj je treba najti. Polovica napak na izpitu se zgodi ne zaradi formul, ampak zato, ker zamenjamo številko s vrednostjo člena.
Aritmetična in geometrijska progresija: v čem je razlika
Obe progresiji sta pravili, po katerih iz enega člena dobimo naslednjega. Razlika je v dejanju: pri aritmetični k členu prištejemo isto število \(d\), pri geometrijski pa pomnožimo s istim številom \(q\), ki ga imenujemo kvocient progresije.
Od tod tudi različno obnašanje. Aritmetična progresija narašča enakomerno, »po stopnicah«: 3, 7, 11, 15 — vsak korak doda 4. Geometrijska pa narašča kot plaz: 3, 6, 12, 24 — vsak korak podvoji število, in že čez deset korakov bo člen večji od tisoč petsto.
Preveriti vrsto zaporedja je enostavno: izračunajte razlike sosednjih členov in njihova razmerja. Enake razlike — aritmetična progresija, enaka razmerja — geometrijska progresija. Če se ne ujema ne eno ne drugo, imate pred seboj samo zaporedje: na primer, 1, 4, 9, 16 — to so kvadrati naravnih števil in ni progresija (razlike 3, 5, 7 so različne, razmerja prav tako).
V šolskem učnem načrtu obe temi potekata zaporedoma v 9. razredu, zato je formule lahko zamenjati. Imejte v mislih oporo: pri aritmetični razliko \(d\) odštevamo, pri geometrijski kvocient \(q\) delimo. Vse ostalo so posledice.
Primeri reševanja nalog o aritmetični progresiji
Primer 1. Poišči prvi člen in razliko po dveh členih
Dana. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Poišči \(a_1\), \(d\) in \(a_{20}\).
Korak 1. Od tretjega člena do sedmega je natanko \(7 - 3 = 4\) korakov, na vsakem se prišteje \(d\). Torej \(a_7 = a_3 + 4d\), od koder \(30 = 14 + 4d\), in \(4d = 16\), \(d = 4\).
Korak 2. Vrnitev nazaj k prvemu členu: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Korak 3. Zapišemo formulo za \(n\)-ti člen: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Korak 4. Izračunamo želeni člen: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Preveritev. Izpišimo začetek progresije: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Tretji člen je 14, sedmi 30 — ujemata se.
Odgovor: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Primer 2. Vsota prvih 30 členov (obe formuli)
Dana. Progresija \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Poišči \(S_{30}\).
Korak 1. Določimo parametre: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Korak 2. Poiščemo trideseti člen: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Korak 3. Izračunamo po prvi formuli: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Korak 4. Preveritev po drugi formuli. Najprej števec: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Nato kot v tretjem koraku: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Obe poti sta dali 1155 — torej je aritmetika pravilna.
Odgovor: \(S_{30} = 1155\).
Primer 3. Vsota vseh dvomestnih števil, deljivih s 7
Naloga. Poišči vsoto vseh dvomestnih števil, ki so deljiva s 7.
Korak 1. Takšna števila sama tvorijo aritmetično progresijo z razliko 7. Najmanjše dvomestno število, deljivo s sedmimi, je 14, največje pa 98 (naslednje, 105, je že trimestno). Dobimo \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Korak 2. Izračunamo število členov: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Korak 3. Izračunamo vsoto: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Korak 4. Preveritev z drugo formulo. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Odgovor: 728.
Primer 4. Preveri, ali število spada v progresijo
Naloga. Ali je število 145 član progresije \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Kaj pa število 142?
Korak 1. Parametri progresije: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), torej \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Korak 2. Preverimo 145: enačba \(5n + 2 = 145\) da \(5n = 143\) in \(n = 28{,}6\). Številka je ulomek, zato 145 ni član progresije.
Korak 3. Preverimo 142: \(5n + 2 = 142\), od koder \(5n = 140\) in \(n = 28\). Številka je naravna — število je vključeno.
Korak 4. Preveritev z vstavljanjem. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Pravilno.
Odgovor: 145 ni v progresiji; 142 je v njej in je njen 28. član.
Primer 5. Značilnostna lastnost z algebrskimi izrazi
Naloga. Pri kateri vrednosti \(x\) so števila \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) trije zaporedni členi aritmetične progresije?
Korak 1. Po značilnostni lastnosti je dvojni srednji člen enak vsoti skrajnih:
Korak 2. Odpremo oklepaje: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Korak 3. Rešimo: \(2 + 4 = 5x - 4x\), torej \(x = 6\).
Korak 4. Preveritev. Vstavimo \(x = 6\): prvi člen \(6 - 3 = 3\), drugi \(2\cdot 6 + 1 = 13\), tretji \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Razliki: \(13 - 3 = 10\) in \(23 - 13 = 10\) — enaki.
Odgovor: \(x = 6\), progresija 3, 13, 23 z razliko 10.
Primer 6. Koliko negativnih členov ima progresija
Naloga. Koliko negativnih členov ima progresija \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Korak 1. Parametri: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formula za \(n\)-ti člen: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Korak 2. Zapišemo pogoj »člen je negativen«: \(3n - 24 < 0\), od koder \(3n < 24\) in \(n < 8\).
Korak 3. Številke so naravne, zato ustrezajo \(n = 1, 2, \dots, 7\) — skupaj sedem členov.
Korak 4. Preveritev meje. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativen. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — ničla ni negativno število, zato osmega člena ne štejemo več. \(a_9 = 3\) — pozitiven.
Odgovor: sedem negativnih členov.
Pogoste napake pri nalogah o aritmetični progresiji
-
V formuli za $n$-ti člen pišejo $a_n = a_1 + nd$ namesto $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Od prvega člena do \(n\)-tega je en korak manj kot številka. Za progresijo \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) je deseti člen enak \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), ne 45. Hitra preveritev formule: vstavi \(n = 1\) — dobiti moraš natanko \(a_1\).
-
Razliko računajo narobe: $d = a_1 - a_2$, in predznak je obraten.
Razlika je naslednji člen minus prejšnji: \(d = a_2 - a_1\). Za progresijo \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) je pravilno \(d = 34 - 40 = -6\). Predznak minus tu ni napaka, ampak znak padajoče progresije.
-
V formuli za vsoto pozabijo deliti z 2 ali pomnožiti z $n$: pišejo $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Seštevajo pare »prvi s poslednjim«, teh je natanko \(\dfrac{n}{2}\), zato je deljenje z 2 obvezno. Za progresijo \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) imamo \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) in \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), ne 670.
-
Pri preverjanju vključenosti števila dobijo $n = 0$ ali negativno $n$ in vseeno odgovorijo »vključen«.
Številka člena je naravno število, štetje se začne z ena. Na primer, za progresijo \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) enačba \(10 + 4(n-1) = 6\) da \(n = 0\), kar pomeni, da 6 ni v progresiji: to število bi stalo pred prvim členom.
-
Zamenjujejo, kaj je bilo najdeno: vrednost člena vstavijo tja, kjer je potrebna njegova številka, in obratno.
\(a_n\) je vrednost, \(n\) je zaporedna številka. Če naloga sprašuje »kateri po vrsti je član enak 142«, je odgovor 28, ne 142. Uporabna navada: pred reševanjem si izpišite vrstico »dano: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), najti: \(n\)«.
-
Mislijo, da mora progresija naraščati in biti sestavljena iz celih števil.
Razlika je lahko negativna (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), ulomek (1; 1,5; 2; 2,5) ali celo nič (8, 8, 8, …). Vsi trije primeri so zakonite aritmetične progresije, vse formule zanje pa delujejo nespremenjeno.
Vprašanja in odgovori
Kaj je aritmetična progresija s preprostimi besedami?
To je zaporedje števil, v katerem vsako naslednje število dobimo iz prejšnjega s prištevanjem istega števila \(d\) — razlike progresije. Na primer, 3, 7, 11, 15, 19, … je progresija s prvim členom 3 in razliko 4.
Kakšna je formula za n-ti člen aritmetične progresije?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), kjer je \(a_1\) prvi člen, \(d\) razlika, \(n\) številka. Če ni znan prvi, ampak kakšen drug člen, velja splošna oblika \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Kako najti razliko aritmetične progresije?
Odštej od kateregakoli člena prejšnjega: \(d = a_n - a_{n-1}\). Če sta dana dva člena z različnima številkama, uporabite \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Na primer, pri \(a_5 = 23\) in \(a_9 = 43\) dobimo \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), prvi člen pa je \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Kako najti prvi člen aritmetične progresije?
Iz formule za \(n\)-ti člen: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Na primer, če je \(a_{12} = 60\) in \(d = 4\), potem je \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Preveritev: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Kako najti vsoto prvih n členov aritmetične progresije?
Po formuli \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), če je znan zadnji člen, ali po formuli \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), če sta znana samo prvi člen in razlika. Obe dajeta enak rezultat, zato je drugo priročno uporabiti kot preveritev prve.
Kako najti število členov aritmetične progresije?
Iz formule za \(n\)-ti člen: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Na primer, v progresiji \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) je razlika 5, zato je \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) členov.
S čim se aritmetična progresija razlikuje od geometrijske?
Pri aritmetični k vsakemu členu prištevamo razliko \(d\), pri geometrijski pa vsak člen množimo s kvocientom \(q\). Formuli za \(n\)-ti člen: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) proti \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Za določitev vrste izračunajte razlike sosednjih členov in njihova razmerja: enake razlike — aritmetična, enaka razmerja — geometrijska.
Je lahko razlika negativna ali enaka nič?
Da. Pri \(d < 0\) progresija pada (na primer, 20, 17, 14, 11), pri \(d = 0\) so vsi členi enaki (6, 6, 6, …) — to je konstantna progresija. Razlika je lahko tudi ulomek: 1; 1,5; 2; 2,5 — tudi aritmetična progresija.
V katerem razredu se preučuje aritmetična progresija?
V 9. razredu pri urah algebre, skupaj z geometrijsko progresijo in števskimi zaporedji. Naloge o progresijah so vključene v OGE: običajno je treba najti člen po številki, številko po vrednosti, število členov ali vsoto prvih \(n\) členov.
