Kvadratni koren števila \(a\) je število, katerega kvadrat je enak \(a\), aritmetični kvadratni koren pa je samo njegova nenegativna vrednost: \(\sqrt{25} = 5\). Koren lahko izračunamo samo iz nenegativnih števil, lastnosti korena pa okorne izraze spremenijo v kratke. Na tej strani - definicija in domena, vse lastnosti kvadratnega korena s formulami, tabela kvadratnih korenov od 1 do 20, tehnike izračuna korena in izločanja faktorja, razloženi primeri, pogoste napake in interaktivni vaditelj.
Kaj je kvadratni koren števila
Kvadratni koren števila \(a\) je število, katerega kvadrat je enak \(a\). Izračun korena in potenciranje na kvadrat sta obratni operaciji: iz \(7^2 = 49\) takoj sledi, da je kvadratni koren iz 49 enak 7.
Toda pozitivno število ima točno dva kvadratna korena, ki se razlikujeta le po predznaku: \(5^2 = 25\) in \((-5)^2 = 25\), torej sta kvadratna korena iz 25 tako \(5\) kot \(-5\). Da bi zapis \(\sqrt{25}\) označeval samo eno samo število, smo se dogovorili: znak \(\sqrt{\phantom{a}}\) zapisuje samo nenegativni koren. Temu pravimo aritmetični.
Zapis ima svoja imena: znak \(\sqrt{\phantom{a}}\) je radikal, število ali izraz pod njim pa podkorenski izraz.
Aritmetični kvadratni koren: definicija in domena
Aritmetični kvadratni koren iz nenegativnega števila \(a\) je nenegativno število, katerega kvadrat je enak \(a\). Označujemo ga z \(\sqrt{a}\) in ga beremo »koren iz a«.
V definiciji sta skriti dve pogoj, oba sta enako pomembna:
- podkorenski izraz je nenegativen: \(a \ge 0\);
- vrednost korena je nenegativna: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Od tod takoj dobimo: \(\sqrt{25} = 5\), ne \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); zapis \(\sqrt{-9}\) v realnih številih nima pomena - ni števila, katerega kvadrat bi bil negativen.
Prvi pogoj določa domeno izraza s korenom. Na primer, \(\sqrt{x-7}\) ima smisel pri \(x - 7 \ge 0\), torej pri \(x \ge 7\): katerakoli manjša vrednost \(x\) bo pod koren potisnila negativno število.
Iz definicije sledi tudi enakost \((\sqrt{a})^2 = a\) pri \(a \ge 0\): potenciranje korena na kvadrat vrne podkorensko število. Deluje celo takrat, ko samega korena ne moremo natančno izračunati: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabela kvadratnih korenov: kvadrati števil od 1 do 20
Koren se izračuna celo samo takrat, ko je podkorensko število točen kvadrat. Zato tabela kvadratov deluje tudi kot tabela kvadratnih korenov: bere se v obe smeri - \(14^2 = 196\), torej \(\sqrt{196} = 14\).
Tabela pomaga ne samo pri celih številih:
- decimalne ulomke: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), ker \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- navadne ulomke: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - koren se izračuna posebej iz številca in posebej iz imenovalca;
- okrogla števila: \(\sqrt{2500} = 50\), saj \(2500 = 25 \cdot 100\), koren vsakega faktorja pa je znan.
Lastnosti kvadratnega korena
Lastnosti kvadratnega korena omogočajo računanje izrazov brez izračuna vsakega korena posebej in poenostavitev odgovora.
Koren produkta je enak produktu korenov: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) pri \(a \ge 0\) in \(b \ge 0\). Na primer, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - enak odgovor kot \(\sqrt{144}\).
Koren kvocienta je enak kvocientu korenov: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pri \(a \ge 0\) in \(b > 0\). Na primer, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Pogoj \(b > 0\) je strog: z ničlo ne smemo deliti.
Koren kvadrata je enak modulu: \(\sqrt{a^2} = |a|\), in to velja za vsako število \(a\). Tukaj je glavna tankost celotne teme. Če je \(a \ge 0\), se nič ne spremeni: \(\sqrt{7^2} = 7\). Toda pri negativnem \(a\) se znak »izravna«: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), ne \(-6\) - ker aritmetični koren ne more biti negativen.
Kvadrat korena vrne podkorensko število: \((\sqrt{a})^2 = a\) pri \(a \ge 0\).
Za vsoto in razliko pa podobnih lastnosti ni: koren vsote ni enak vsoti korenov. To je najpogostejša napaka teme, razlaga - spodaj.
| Lastnost in pogoj | Primer |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpri a ≥ 0 in b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpri a ≥ 0 in b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|pri kateremkoli a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apri a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpri b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Kako izračunati kvadratni koren števila
Kalkulator ni vedno pri roki, šolska naloga pa je skoraj vedno tako izbrana, da se koren izračuna. Vrstni red dejanj je naslednji.
- Preverite po tabeli kvadratov. Če je število v tabeli, je odgovor pripravljen: \(\sqrt{289} = 17\).
- Izločite okrogli faktor. Pri številih z ničlami je priročno izločiti \(100\), \(10\,000\) itd.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Razcepite na praštevila. To je univerzalni postopek: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), eksponente delimo na polovico in dobimo \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Decimalni ulomek spremenite v navadnega. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Hkrati to reši pred izgubo mesta.
- Če ni točnega kvadrata - koren je iracionalen. Takrat ga pustimo v odgovoru s simbolom (tako tudi pišemo: \(\sqrt{30}\)), ali pa ga ocenimo med sosednjima kvadratoma.
Preverjanje traja sekundo: dobljeno število potenciramo na kvadrat in pogledamo, ali se je podkorensko število vrnilo. \(24^2 = 576\) - pravilno.
Izločanje faktorja izpod znaka korena
Koren redko pustijo »surov« - iz njega izločijo vse, kar se izračuna. Deluje lastnost \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) pri \(b \ge 0\): iščemo največji kvadratni delitelj podkorenskega števila.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Obratno dejanje - vnašanje faktorja pod koren: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) pri \(a \ge 0\). Na primer, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Z negativnim faktorjem je potrebna previdnost: minus pod koren ne gre in ostane zunaj. Pravilen zapis je \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), ne \(\sqrt{12}\).
Zakaj je to potrebno: po izločitvi faktorja postanejo koreni z enakim podkorenskim izrazom podobni seštevanci, ki jih lahko seštevamo. Vnašanje faktorja pod koren pa je najhitrejši način za primerjavo dveh izrazov s koreni.
Koliko je kvadratni koren, ki se ne izračuna
Če podkorensko število ni točen kvadrat, je koren iracionalno število: njegova decimalna predstavitev je neskončna in neperiodična. Na primer, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), in točna vrednost se zapiše samo s simbolom \(\sqrt{2}\). Zaokrožen odgovor napišemo samo, ko to zahteva naloga.
Tak koren lahko ocenimo brez kalkulatorja: najdemo dva sosednja točna kvadrata, med katerima leži podkorensko število. Deluje pravilo primerjave: za \(a \ge 0\) in \(b \ge 0\) iz \(a < b\) sledi \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - večjemu podkorenskemu številu ustreza večji koren.
Primeri izračunov s kvadratnimi koreni
Primer 1. Vrednost izraza s koreni
Izračunaj \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Korak 1. \(\sqrt{121} = 11\), ker \(11^2 = 121\).
Korak 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), ker \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Korak 3. Koren ulomka izračunamo po številcu in imenovalcu: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Korak 4. Seštejemo: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Odgovor: 11.
Primer 2. Koren produkta
Izračunaj \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Korak 1. Posebej se ta korena ne izračunata, zato ju združimo v enega: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Korak 2. Izračunamo produkt pod korenom: \(8 \cdot 18 = 144\).
Korak 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Drugi način - izločimo faktorje vnaprej: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) in \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), nato \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Odgovora sta se ujemala.
Odgovor: 12.
Primer 3. Izračun korena z razcepom na faktorje
Izračunaj \(\sqrt{576}\) in \(\sqrt{6400}\).
Korak 1. Števila 576 ni v tabeli kvadratov, zato ga razcepimo na praštevila: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Korak 2. Eksponente delimo na polovico: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Korak 3. Preveritev. \(24^2 = 576\) - pravilno.
Korak 4. Pri številu 6400 je priročneje izločiti okrogli faktor: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Preveritev: \(80^2 = 6400\).
Odgovor: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Primer 4. Izločanje faktorja in priprava podobnih členov
Poenostavi \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Korak 1. Izločimo faktorje izpod vsakega korena: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), torej \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Korak 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Korak 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Korak 4. Seštevati smemo samo korene z enakim podkorenskim izrazom: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), člen z \(\sqrt{3}\) pa ostane posebej.
Odgovor: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Primer 5. Koren kvadrata s spremenljivko
Poenostavi \(\sqrt{(x-4)^2}\) pri \(x < 4\).
Korak 1. Po lastnosti korena iz kvadrata \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - takoj zapišemo modul, ne \(x - 4\).
Korak 2. Odpravimo modul po pogoju. Če je \(x < 4\), je razlika \(x - 4\) negativna, modul negativnega števila pa je nasprotno število: \(|x-4| = 4 - x\).
Korak 3. Preveritev. Vzemimo \(x = 1\): na levi \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), na desni \(4 - 1 = 3\) - ujema se.
Odgovor: \(4 - x\). Za primerjavo, pri \(x \ge 4\) bi bil odgovor \(x - 4\).
Primer 6. Primerjava izrazov s koreni
Primerjaj \(3\sqrt{5}\) in \(5\sqrt{2}\).
Korak 1. Obe števili sta pozitivni, zato vnesemo faktor pod koren: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Korak 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Korak 3. Primerjamo podkorenski števili: \(45 < 50\), večjemu podkorenskemu številu pa ustreza večji koren.
Odgovor: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Pogoste napake pri delu s kvadratnim korenom
-
Pišejo $\sqrt{a^2} = a$, pozabljajo na modul.
Pravilna enakost je \(\sqrt{a^2} = |a|\). Za negativno število je to ključno: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), ne \(-13\). Aritmetični koren ne more biti negativen, zato se znak pod korenom »izravna«.
-
Štejejo, da je koren vsote enak vsoti korenov: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Takšne lastnosti ni. Najprej izvedemo operacijo pod korenom: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), ne 7. Lastnosti obstajajo samo za produkt in kvocient: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) in \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Odgovarjajo, da je $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - aritmetični koren je vedno eden in je nenegativen. Dve vrednosti se pojavita v drugi nalogi: enačba \(x^2 = 49\) ima korena \(x = 7\) in \(x = -7\). Zapis korena in rešitev enačbe ne smemo mešati.
-
Pišejo $\sqrt{-16} = -4$, razmišljajo »minus na minus«.
Pod korenom ne more biti negativno število: \((-4)^2 = 16\), ne \(-16\), tako da \(\sqrt{-16}\) v realnih številih ne obstaja. Izraz \(-\sqrt{16} = -4\) pa je povsem korekten - minus je pred korenom, ne pod njim.
-
Vnašajo pod koren negativen faktor: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Pravilo \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) deluje samo pri \(a \ge 0\). Minus ostane zunaj: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Preveritev s predznakom: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), in \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - števili sta nasprotni.
-
Izgubijo mesto pri decimalnem ulomku: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Preverite z obratnim potenciranjem na kvadrat: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), ne ustreza. Pravilno je \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), saj \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Zanesljiv način je prehod na navadni ulomek: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Prepričani so, da je koren vedno manjši od samega števila.
To velja samo za števila večja od ena. Na intervalu od 0 do 1 je vse obratno: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), in \(0{,}5\) je večje od \(0{,}25\). Za 0 in 1 pa je koren enak samemu številu.
Vprašanja in odgovori
Kaj je aritmetični kvadratni koren s preprostimi besedami?
To je nenegativno število, ki pri potenciranju na kvadrat da podkorensko število. Zapisujemo \(\sqrt{a}\), pri čemer mora biti podkorenski izraz nenegativen: \(a \ge 0\). Na primer, \(\sqrt{64} = 8\), ker \(8 \ge 0\) in \(8^2 = 64\).
S čim se kvadratni koren razlikuje od aritmetičnega kvadratnega korena?
Kvadratnih korenov pozitivnega števila sta dva - nasprotna po predznaku. Aritmetični pa je samo nenegativni izmed njiju, in prav njega označuje znak \(\sqrt{\phantom{a}}\). Zato je \(\sqrt{25} = 5\), čeprav ima enačba \(x^2 = 25\) dva korena: 5 in \(-5\).
Kako izračunati kvadratni koren števila brez kalkulatorja?
Najprej preverite število po tabeli kvadratov. Če ga tam ni - razcepite ga na faktorje in izločite točne kvadrate: \(784 = 16 \cdot 49\), zato \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Odgovor vedno preverite z obratnim dejanjem: \(28^2 = 784\).
Ali je mogoče izračunati kvadratni koren iz negativnega števila?
V realnih številih - ne: kvadrat kateregakoli števila je nenegativen, zato izraz \(\sqrt{-9}\) nima pomena. Prav iz tega pogoja iščemo domeno: na primer, \(\sqrt{x-7}\) obstaja samo pri \(x \ge 7\).
Koliko je koren kvadrata števila?
Modulu tega števila: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pri nenegativnem \(a\) dobimo samo število, pri negativnem - nasprotno mu: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Kako izločiti faktor izpod znaka korena?
Poiščite največji kvadratni delitelj podkorenskega števila in uporabite lastnost \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Na primer, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Obratno dejanje - vnašanje faktorja pod koren: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Koliko je kvadratni koren iz 2?
Število \(\sqrt{2}\) je iracionalno: njegova decimalna predstavitev je neskončna in neperiodična, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Točne vrednosti v obliki ulomka ni, zato jo v odgovorih pustimo kot simbol \(\sqrt{2}\), zaokrožimo pa samo, če to zahteva pogoj.
Kako primerjati dve števili s koreni, ne da bi jih izračunali?
Vnesite faktorje pod koren in primerjajte podkorenski števili: večjemu podkorenskemu številu ustreza večji koren. Na primer, \(\sqrt{17}\) in 4: ker \(4 = \sqrt{16}\) in \(17 > 16\), je \(\sqrt{17} > 4\).
V katerem razredu se preučujejo kvadratni koreni?
V 8. razredu pri urah algebre: najprej definicija aritmetičnega kvadratnega korena in njegove lastnosti, nato preoblikovanje izrazov s koreni in reševanje enačb oblike \(x^2 = a\). Naprej se koreni pojavljajo v formuli diskriminante in v nalogah OGE in ЕГЭ.
