Proporc je enakost dveh razmerij, na primer \(2:3 = 8:12\). Za reševanje proporcev potrebujete le eno orodje — osnovno lastnost proporca: produkt skrajnih členov je enak produktu srednjih členov. V šoli temu pravijo pravilo »navzkrižno«. Spodaj — kaj je razmerje in proporc, kako najti neznani člen, po čem se neposredna sorazmernost razlikuje od obratne, razčlenitev nalog o receptih, merilih in cenah, prehod na odstotke in trenažer z 10 nalogami.
Kaj sta razmerje in proporc
Razmerje dveh števil je njuna količina. Razmerje \(2:3\) (bere se »dva proti trem«) pove, kolikokrat je eno število večje od drugega ali kakšen del predstavlja eno od drugega. Zapisati ga je mogoče na dva načina: \(2:3\) ali kot ulomek \(\frac{2}{3}\) — to je isto.
Proporc je enakost dveh razmerij:
V proporcu je skupaj štiri števila in imajo imena. Števila ob robu zapisa so skrajni členi, števila v sredini pa srednji členi. Proporc je pravilen, ko sta obe razmerji enaki isti števili.
Osnovna lastnost proporca: pravilo »navzkrižno«
Osnovna lastnost proporca: produkt skrajnih členov je enak produktu srednjih členov.
Zakaj je tako? Pomnožimo obe strani enakosti \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) z \(b \cdot d\). Na levi strani se bo \(b\) pokrajšal, na desni \(d\), in ostalo bo natančno \(a \cdot d = c \cdot b\). Brez čarovnije — običajna lastnost enakosti.
Prav to učenci imenujejo »reševanje proporcev navzkrižno«: števila se množijo po diagonali, navzkrižno. Lastnost deluje tudi v obratno smer: če za štiri števila (nobeno od njih ni nič) velja \(a \cdot d = b \cdot c\), potem iz njih lahko sestavimo pravilen proporc.
Od tod takoj dve spretnosti: preveriti, ali je proporc pravilen, in poiskati v njem neznano število.
Kako najti neznani člen proporca
Iz osnovne lastnosti izhajata dve kratki pravili:
- neznani skrajni člen = produkt srednjih : znani skrajni;
- neznani srednji člen = produkt skrajnih : znani srednji.
Pomniti jih na pamet ni nujno. Dovolj je en univerzalen postopek: pomnožiti navzkrižno, dobiti enakost oblike »število \(\cdot\, x\) = število« in deliti. To bomo razčlenili po korakih na proporcu \(x : 7 = 12 : 21\).
Zadnji korak — preverjanje — traja pet sekund in ujame skoraj vsako računsko napako, zato ga ne smemo preskočiti.
Neposredna in obratna sorazmernost
Dve količini imenujemo neposredno sorazmerni, če se ob povečanju ene za nekajkrat druga poveča za toliko isto. Kupili smo dvakrat več zvezkov — plačali smo dvakrat več. Takšni količini imata stalno njuno razmerje.
Količini sta obratno sorazmerni, če se ob povečanju ene za nekajkrat druga zmanjša za toliko isto. Dvokrat več delavcev — dvakrat manj dni za isto delo. Takšni količini imata stalno njun produkt.
Glavna razlika je vidna v trenutku, ko zapišemo proporc. Za neposredno odvisnost se sestavi »kot je«: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Za obratno se drugo razmerje obrne: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Zakaj? Za obratno odvisnost je stalen produkt: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Obe strani delimo z \(a_2 \cdot b_1\) — in dobimo ravno \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Torej »prevrnitev« ni čarovnija, ki si jo je treba zapomniti, ampak posledica tega, da je stalen produkt, ne pa razmerje.
| Značilnost | Neposredna | Obrana |
|---|---|---|
| Povezava | več → več | več → manj |
| Stalno | razmerje a : b | produkt a × b |
| Zapis | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Primer | 3 svinčniki — 90 ₽, 5 svinčnikov — 150 ₽ | 4 malarji — 9 dni, 6 malarjev — 6 dni |
Kako sestaviti proporc za nalogo: recept, merilo, cena
Besedilne naloge »na proporc« se rešujejo po enem scenariju:
- Izpišite pogoje v dveh stolpcih tako, da bodo enake količine stale ena pod drugo (porcije pod porcijami, grami pod grami).
- Označite iskano s \(x\).
- Določite vrsto odvisnosti: miselno povečajte prvo količino in poglejte, ali se druga poveča ali zmanjša.
- Sestavite proporc — pri obratni odvisnosti obrnite drugo razmerje.
- Rešite navzkrižno in preverite, ali je dobljeni odgovor razumen.
Pokažimo na receptu. Za 4 porcije palačink potrebujete 300 g moke — koliko moke potrebujete za 6 porcij? Porcij je več, torej je moke več: odvisnost je neposredna, proporc se sestavi »kot je«:
Za 6 porcij potrebujete 450 g moke. Odgovor je razumen: porcij je v poltretje krat več, in moke je potrebne v poltretje krat več.
Enako se rešujejo naloge na merilo (razdalja na zemljevidu se nanaša na razdaljo na terenu enako kot 1 proti številu merila) in na ceno (količina blaga se nanaša na količino enako kot vrednost proti vrednosti). Celotne razčlenitve — v primerih spodaj.
Odstotki skozi proporc
Odstotek je stotina dela števila, zato se vsaka preprosta naloga na odstotke spremeni v proporc:
Nekje je eno od štirih števil neznano — to poiščemo z navzkrižnim množenjem.
Poišči del. Koliko je 15% od 240? Sestavimo \(x : 240 = 15 : 100\), torej \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) in \(x = 36\).
Poišči celoto. Število 21 predstavlja 35% nekega števila. Sestavimo \(21 : x = 35 : 100\), torej \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) in \(x = 60\).
Poišči odstotek. Koliko odstotkov predstavlja 18 od 52? Sestavimo \(18 : 52 = p : 100\), torej \(52p = 18 \cdot 100 = 1800\) in \(p = 40\), torej 40%.
En postopek — tri različne vrste nalog, nič dodatnega si ni treba zapomniti. Posebej je le vprašanje »za koliko odstotkov se je količina povečala ali zmanjšala«: tam najprej poiščemo spremembo, nato pa jo delimo s prvotno vrednostjo — to je že formula za odstotno spremembo, ne pa preprost proporc.
Primeri reševanja proporcev z razčlenitvijo po korakih
Primer 1. Neznani srednji člen
Naloga. Poiščite neznani člen proporca \(15 : x = 45 : 24\).
1. korak. Določimo, kje je kateri člen. Skrajna sta 15 in 24, srednja sta \(x\) in 45.
2. korak. Uporabimo osnovno lastnost: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), torej \(360 = 45x\).
3. korak. Delimo: \(x = 360 : 45 = 8\).
Preverjanje. \(15 : 8 = 1{,}875\) in \(45 : 24 = 1{,}875\) — razmerji sta enaki.
Odgovor: \(x = 8\).
Primer 2. Neposredna sorazmernost: cena in količina
Naloga. Šest zvezkov stane 210 ₽. Koliko stane 10 enakih zvezkov?
1. korak. Zvezkov je več — strošek je večji, torej je odvisnost neposredna.
2. korak. Pogoje zapišemo tako, da so enake količine skupaj, in sestavimo proporc »kot je«:
3. korak. Navzkrižno: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), torej \(x = 2100 : 6 = 350\).
Preverjanje. En zvezek stane \(210 : 6 = 35\) ₽, deset pa \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Ujema se.
Odgovor: 350 ₽.
Primer 3. Obratna sorazmernost: delavci in dnevi
Naloga. Osem delavcev opravi naročilo v 15 dneh. V koliko dneh bodo isto naročilo opravili 12 delavcev, če delajo z enako hitrostjo?
1. korak. Delavcev je več — dni bo potrebnih manj. Odvisnost je obratna.
2. korak. Sestavimo proporc, tako da obrnemo drugo razmerje:
Tukaj je \(x\) dni za 12 delavcev, 15 pa dni za 8 delavcev: zamenjala sta si mesti, ker je odvisnost obratna.
3. korak. Navzkrižno: \(8 \cdot 15 = 12x\), torej \(120 = 12x\) in \(x = 10\).
Preverjanje. Stalen produkt: \(8 \cdot 15 = 120\) in \(12 \cdot 10 = 120\). Ujema se, in odgovor je razumen — dni je manj.
Odgovor: 10 dni.
Primer 4. Merilo zemljevida
Naloga. Merilo zemljevida je \(1 : 200\,000\). Razdalja med vasema na zemljevidu je 7 cm. Kakšna je razdalja med njima v resničnosti?
1. korak. Merilo \(1 : 200\,000\) pomeni: 1 cm na zemljevidu ustreza 200 000 cm v resničnosti. To je pripravljeno razmerje.
2. korak. Sestavimo proporc:
3. korak. Navzkrižno: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), torej \(x = 1\,400\,000\) cm.
4. korak. Prevedemo v priročne enote: v enem kilometru je 100 000 cm, zato \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Odgovor: 14 km.
Primer 5. Odstotki skozi proporc
Naloga. V razredu je 25 učencev, na pohod jih je šlo 60% od njih. Koliko ljudi je šlo na pohod?
1. korak. Celota je vseh 25 učencev, tem ustreza 100%. Iskani del je \(x\) ljudi, tem ustreza 60%.
2. korak. Sestavimo proporc »del : celota = odstotek : 100«:
3. korak. Navzkrižno: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), torej \(x = 15\).
Preverjanje. 15 ljudi od 25 je \(15 : 25 = 0{,}6\), torej natanko 60%.
Odgovor: 15 ljudi.
Pogoste napake pri reševanju proporcev
-
Množijo števila »po dolžini«, ne pa navzkrižno: v proporcu 5 : 2 = 20 : 8 izračunajo 5 · 2 in 20 · 8.
Osnovna lastnost povezuje skrajne člene s srednjimi, torej števila po diagonali: 5 · 8 = 40 in 2 · 20 = 40. Produkta sta se ujemala — proporc je pravilen. Medtem ko 5 · 2 in 20 · 8 nista enaka in ne povesta ničesar.
-
Pri nalogi na obratno odvisnost sestavijo »neposredno« proporc. Šest črpalk napolni rezervoar v 10 urah; zapis 6 : 15 = 10 : x da 25 ur za 15 črpalk.
Črpalk je več — časa bi moralo biti manj, izšlo pa je več: torej proporc ni bil sestavljen pravilno. Drugo razmerje je treba obrniti: 6 : 15 = x : 10, potem 15x = 60 in x = 4 ure. Vedno preverite odgovor z zdravo pametjo.
-
Po »navzkrižnem množenju« delijo narobe: iz enakosti 8x = 96 dobijo x = 8 : 96.
Če želite poiskati x, produkt delite z množiteljem, ki stoji ob x: x = 96 : 8 = 12. Koristna navada je, da najdeno število vstavite nazaj: 8 · 12 = 96, vse je pravilno.
-
Ne uskladijo enot merjenja. V nalogi z merilom 1 : 50 000 pri 3 cm na zemljevidu napišejo odgovor »1,5« brez enot ali ga imenujejo metri.
Najprej izračunamo v enotah, v katerih je dano merilo: 3 · 50 000 = 150 000 cm. In šele nato prevedemo: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Enote v odgovoru so prav tako pomembne kot samo število.
-
Zamenjujejo razmerje in proporc: na prošnjo, da bi sestavili proporc, napišejo eno razmerje »12 : 4«.
Razmerje je ena količina: 12 : 4 = 3. Proporc je enakost dveh razmerij, v njem so nujno štiri števila in znak enakosti: 12 : 4 = 30 : 10 (preverimo: 12 · 10 = 120 in 4 · 30 = 120).
Vprašanja in odgovori
S čim se razmerje razlikuje od proporca?
Razmerje je količina dveh števil, na primer 12 : 4. Proporc je enakost dveh razmerij, v njem so štiri števila: 12 : 4 = 30 : 10. Razmerje odgovarja na vprašanje »kolikokrat«, proporc pa trdi, da dve taki primerjavi dajeta enak rezultat.
Kaj so skrajni in srednji členi proporca?
V zapisu a : b = c : d so skrajni členi tisti, ki stojijo ob robu, torej a in d. Srednji so tisti, ki stojijo v sredini, torej b in c. Če je proporc zapisan z ulomki, so skrajni členi števec prvega ulomka in imenovalec drugega, srednji pa imenovalec prvega in števec drugega.
Kako preveriti, ali je proporc pravilen?
Pomnožiti navzkrižno in primerjati produkte. Na primer, za 9 : 12 = 15 : 20 izračunamo 9 · 20 = 180 in 12 · 15 = 180 — števila sta se ujemala, torej je proporc pravilen. Če sta produkta različna, proporc ni pravilen.
Ali je mogoče zamenjati člene proporca?
Da, če to storite po pravilih. V pravilnem proporcu lahko zamenjate skrajna člena, lahko zamenjate srednja člena, lahko pa obe strani takoj obrnete — proporc bo ostal pravilen. Iz 4 : 6 = 10 : 15 dobimo 4 : 10 = 6 : 15 ali 6 : 4 = 15 : 10 — produkt po diagonali je povsod enak 60. Vendar pa samo enega števila ne smete zamenjati.
Kaj pomeni »reševati proporc navzkrižno«?
To je pogovorno ime za osnovno lastnost proporca. Števila se množijo po diagonali, navzkrižno: skrajni s skrajnim in srednji s srednjim. Dobimo enačbo z enim neznanim, ki se reši z enim deljenjem. Nobene posebne »metode navzkrižno« poleg osnovne lastnosti ne obstaja.
Kako razumeti, ali je odvisnost v nalogi neposredna ali obratna?
Miselno povečajte prvo količino za dvakrat in poglejte drugo. Če se je tudi ta povečala dvakrat — odvisnost je neposredna, proporc se sestavi »kot je«. Če se je zmanjšala dvakrat — odvisnost je obratna, drugo razmerje je treba obrniti. Še en znak: pri neposredni odvisnosti je razmerje količin konstantno, pri obratni pa njun produkt.
Kako reševati naloge na odstotke skozi proporc?
Sestavite proporc »del : celota = odstotek : 100« in poiščite neznano z navzkrižnim množenjem. Na primer, 12% od 350: dobimo x : 350 = 12 : 100, torej 100x = 4200 in x = 42. Na enak način iščemo tudi celoto po znanem delu in sam odstotek.
