Aritmetična sredina, mediana, modus in razpon so štirje načini za opis nabora števil. Trije od njih — aritmetična sredina, mediana in modus — so mere središčnic: povedo vam, kakšna je "tipična" vrednost. Četrta, razpon, meri, kako razpršeni so podatki. Na tej strani boste našli jasno definicijo vsakega, natančen postopek izračuna (vključno z zapleteno mediano pri sodem številu vrednosti), kdaj uporabiti katero, rešene primere, pogoste napake in interaktivni kviz za vajo.
Kaj so aritmetična sredina, mediana, modus in razpon?
Vsaka mera odgovori na drugačno vprašanje o vaših podatkih:
- Aritmetična sredina — povprečje. Vse vrednosti uravnoteži v eno število.
- Mediana — srednja vrednost, ko so števila urejena po velikosti.
- Modus — vrednost, ki se najpogosteje pojavi.
- Razpon — razlika, od najmanjše do največje vrednosti.
Spodnja tabela prikazuje, kaj je vsaka od njih in kako jo izračunamo. Opazite, da se le modus nanaša na pogostost in le razpon opisuje razpršenost namesto središčne vrednosti.
| Mera | Kaj je | Kako izračunamo |
|---|---|---|
| Aritmetična sredina | Povprečna vrednost | Seštejemo vsa števila in delimo s številom vrednosti |
| Mediana | Srednja vrednost po vrsti | Uredimo števila po velikosti; izberemo srednjo. Če sta dve srednji, izračunamo njuno povprečje |
| Modus | Najpogostejša vrednost | Poiščemo vrednost, ki se pojavi največkrat. Lahko ga ni, je eden ali več |
| Razpon | Razpršenost podatkov | Od največje vrednosti odštejemo najmanjšo |
Kako izračunati aritmetično sredino, mediano in modus
Izračunajmo vse štiri za isti nabor podatkov, da vidite razliko. Vzemimo števila 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (sedem vrednosti).
Aritmetična sredina. Seštejemo jih: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Vrednosti je 7, zato je aritmetična sredina 42 ÷ 7 = 6.
Mediana. Najprej uredimo: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Pri 7 vrednostih je srednja četrta po vrsti, zato je mediana 6. (Vedno uredite po velikosti, preden izberete srednjo vrednost — to je najpogostejša napaka.)
Modus. Vrednost 8 se pojavi trikrat, večkrat kot katera koli druga, zato je modus 8.
Razpon. Največja vrednost je 8, najmanjša pa 3, zato je razpon 8 − 3 = 5.
En nabor podatkov, štirje različni odgovori — zato imamo štiri različne mere.
Kdaj uporabiti katero mero
Mere ne tekmujejo med seboj — vsaka je najboljša za drugo vrsto vprašanja.
- Aritmetična sredina je vsakdanje "povprečje" in je odlična, ko so vrednosti dokaj enakomerne, na primer pri povprečnih ocenah ali dnevnih temperaturah. Njena slabost: ena sama zelo velika ali zelo majhna vrednost (ekstremna vrednost) jo lahko močno odmakne od sredine.
- Mediana je srednja vrednost, zato je ekstremne vrednosti skoraj ne premaknejo. Zato se cene hiš in dohodki običajno poročajo kot mediane — ena graščina ne bo popačila tipične vrednosti.
- Modus je edina mera, ki deluje za stvari, ki jih ne morete povprečiti, na primer najpogostejša prodana številka čevljev ali najljubša barva v razredu. Nabor podatkov ima lahko en modus, več modusov ali pa sploh nobenega.
- Razpon sploh ne opisuje tipične vrednosti — pove vam, kako razpršeni so podatki. Majhen razpon pomeni, da so vrednosti blizu skupaj; velik razpon pomeni, da so daleč narazen.
Rešeni primeri: korak za korakom
Primer 1. Vse štiri mere za en nabor podatkov
Nabor podatkov: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1. korak — Uredite števila. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2. korak — Aritmetična sredina. Seštejte jih: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Vrednosti je 7, zato je aritmetična sredina 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
3. korak — Mediana. Pri 7 vrednostih je srednja četrta v urejenem seznamu: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Mediana je 6.
4. korak — Modus. Vrednost 3 se pojavi trikrat, večkrat kot katera koli druga, zato je modus 3.
5. korak — Razpon. Največja minus najmanjša: 10 − 3 = 7.
Odgovor: aritmetična sredina ≈ 5,57, mediana = 6, modus = 3, razpon = 7.
Primer 2. Mediana pri sodem številu vrednosti
Nabor podatkov: 12, 5, 8, 20 (štiri vrednosti — sodo število).
1. korak — Uredite. 5, 8, 12, 20.
2. korak — Poiščite dve srednji vrednosti. Pri sodem številu ni ene same srednje vrednosti. Tukaj sta srednji vrednosti 8 in 12.
3. korak — Izračunajte njuno povprečje. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Mediana je 10 — čeprav 10 ni ena od prvotnih števil. To je običajno za mediano pri sodem številu vrednosti.
Primer 3. Nabor podatkov brez modusa
Nabor podatkov: 2, 5, 9, 11, 14.
Vsaka vrednost se pojavi natanko enkrat, zato se nobena vrednost ne ponovi. Ta nabor podatkov nima modusa — to je veljaven odgovor, ne napaka.
Nasprotno, nabor podatkov 4, 4, 7, 7, 9 ima dva modusa (4 in 7), ker se oba pojavita najpogosteje. Nabor z dvema modusoma imenujemo bimodalni.
Pogoste napake, ki se jim je treba izogniti
-
Iskanje mediane brez predhodnega urejanja števil.
Mediana je srednja vrednost števil po vrsti. Vedno uredite od najmanjšega do največjega, preden izberete sredino. Pri 7, 2, 9 je mediana 7 (urejeno: 2, 7, 9), ne 9.
-
Pri sodem številu vrednosti izberete le eno od dveh srednjih števil.
Pri sodem številu ni ene same sredine. Vzemite dve srednji vrednosti in izračunajte njuno povprečje. Za 5, 8, 12, 20 je mediana (8 + 12) ÷ 2 = 10, ne 8 ali 12.
-
Predpostavka, da mora imeti vsak nabor podatkov natanko en modus.
Nabor podatkov nima modusa (če se nič ne ponovi) ali pa ima več modusov (če si dve ali več vrednosti delita prvo mesto po pogostosti). Oboje je pravilen odgovor — ne vsiljujte enega modusa.
-
Zamenjava aritmetične sredine in mediane, obravnavanje kot enake stvari.
Aritmetična sredina je povprečje (seštej in deli); mediana je srednja vrednost po vrsti. Pogosto sta različni, zlasti če obstaja ekstremna vrednost. Za 2, 3, 4, 100 je aritmetična sredina 27,25, mediana pa le 3,5.
-
Mešanje razpona z modusom ali pozabljanje na odštevanje.
Razpon je mera razpršenosti: največja vrednost minus najmanjša vrednost. To je eno število, ki opisuje razpršenost, ne najpogostejša vrednost. Za 4, 9, 15 je razpon 15 − 4 = 11.
Pogosto zastavljena vprašanja
Kaj so aritmetična sredina, mediana, modus in razpon?
Aritmetična sredina je povprečje (seštejte vse vrednosti in delite s številom vrednosti). Mediana je srednja vrednost, ko so števila urejena. Modus je vrednost, ki se pojavi najpogosteje. Razpon je največja vrednost minus najmanjša vrednost. Aritmetična sredina, mediana in modus opisujejo tipično vrednost; razpon opisuje, kako razpršeni so podatki.
Kako izračunate aritmetično sredino nabora podatkov?
Seštejte vsa števila, da dobite vsoto, nato vsoto delite s številom števil. Na primer, aritmetična sredina števil 4, 6, 8, 2 je (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Kako izračunate mediano, če je število vrednosti sodo?
Uredite števila, nato vzemite dve vrednosti na sredini in izračunajte njuno povprečje (seštejte ju in delite z 2). Za 5, 8, 12, 20 sta srednji vrednosti 8 in 12, zato je mediana (8 + 12) ÷ 2 = 10. Rezultat je lahko število, ki ga ni v prvotnem naboru.
Kakšna je razlika med aritmetično sredino in mediano?
Aritmetična sredina je povprečje vseh vrednosti, zato nanjo vpliva vsako število. Mediana je le srednja vrednost po vrsti, zato nanjo zelo velika ali zelo majhna števila (ekstremne vrednosti) skoraj ne vplivajo. Ko ima nabor podatkov ekstremne vrednosti, mediana pogosto poda bolj tipično vrednost kot aritmetična sredina.
Ali ima lahko nabor podatkov več kot en modus ali nobenega?
Da. Če se nobena vrednost ne ponovi, nabor podatkov nima modusa. Če si dve ali več vrednosti delita prvo mesto po pogostosti, ima nabor več modusov — dva modusa imenujemo bimodalni. Če nabor nima modusa ali ima več modusov, je to povsem veljavno.
Kaj so mere središčnic?
Mere središčnic so števila, ki opisujejo sredino ali tipično vrednost nabora podatkov. Tri glavne so aritmetična sredina, mediana in modus. Razpon ni mera središčnice — namesto tega meri razpršenost.
