Formule za skrajšano množenje (FSM) so pripravljene algebrske enakosti, ki omogočajo hitro odpravljanje oklepajev in razstavljanje izrazov na faktorje brez dolgotrajnega množenja. Na tej strani najdeš tabelo vseh sedmih formul: kvadrat vsote in razlike, razlika kvadratov, kub vsote in razlike, vsota in razlika kubov. Vsako formulo razložimo z izpeljavo in primeri, na koncu pa te čaka interaktivni vadbeni program, kjer lahko takoj vadiš uporabo FSM.
Kaj so formule za skrajšano množenje
Formule za skrajšano množenje so enakosti, ki jih dobimo, če enkrat previdno pomnožimo veččlenike in si zapomnimo rezultat. Potem nam ni treba vsakič znova odpravljati oklepajev: dovolj je, da prepoznamo vzorec in vanj vstavimo svoja števila ali črke.
V šolskem programu algebre v 7. razredu FSM uporabljamo v dveh smereh:
- od leve proti desni — za hitro odpravljanje oklepajev in kvadriranje ali kubiranje izraza;
- od desne proti levi — za razstavljanje veččlenika na faktorje (to potrebujemo za krajšanje ulomkov in reševanje enačb).
Skupaj se naučimo sedem formul. Spodaj je tabela s povzetkom, nato pa sledi podrobna razlaga vsake formule posebej.
Tabela formul za skrajšano množenje
Vseh sedem formul za skrajšano množenje je priročno imeti pred očmi v eni tabeli. Črki \(a\) in \(b\) tukaj predstavljata poljubna izraza: število, spremenljivko ali celoten enočlenik, kot je \(2x\).
| Formula | Zapis |
|---|---|
| Kvadrat vsote | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kvadrat razlike | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Razlika kvadratov | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kub vsote | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kub razlike | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Vsota kubov | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Razlika kubov | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kvadrat vsote in kvadrat razlike
Kvadrat vsote dobimo, če \((a+b)\) pomnožimo samega s seboj:
Z besedami: kvadrat vsote je enak kvadratu prvega izraza plus dvakratnik produkta prvega in drugega plus kvadrat drugega. Na enak način izpeljemo kvadrat razlike — predznak pri srednjem členu postane minus:
Glavno je, da ne pozabimo srednjega člena \(2ab\): prav zaradi njega \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Pri kvadratu vsote in kvadratu razlike se razlikuje le predznak pred \(2ab\), zunanja člena \(a^2\) in \(b^2\) pa sta vedno s plusom.
Primer. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kvadrat vsote ima tudi nazoren geometrijski pomen: to je ploščina velikega kvadrata s stranico \((a+b)\).
Razlika kvadratov
Če pomnožimo vsoto in razliko istih izrazov, se srednja člena izničita:
Dobimo formulo razlike kvadratov: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). To je najbolj uporabna FSM za razstavljanje na faktorje: takoj ko vidiš razliko dveh kvadratov, jo razstavi na produkt.
Primer (odpravljanje oklepajev). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Primer (razstavljanje na faktorje). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Pomembno: vsota kvadratov \(a^2 + b^2\) se po tej formuli ne razstavi — deluje le razlika.
Kub vsote, kub razlike, vsota in razlika kubov
Kub vsote in kub razlike vsebujeta že štiri člene:
Pri kubu razlike se predznaki izmenjujejo: \(+\,-\,+\,-\). In spet pogosta past: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — ne moreš preprosto "razdeliti" stopnje, srednjih členov \(3a^2b\) in \(3ab^2\) ne smeš izgubiti.
Primer. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Ločeno obravnavamo vsoto in razliko kubov — ti formuli, nasprotno, razstavita izraz na faktorje:
Drugi faktor imenujemo nepopolni kvadrat vsote ali razlike. Predznak v njegovem srednjem členu je vedno nasproten predznaku v prvem oklepaju: pri vsoti kubov je \(-ab\), pri razliki kubov pa \(+ab\).
Primer. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Primeri uporabe formul za skrajšano množenje
Primer 1. Odpravljanje oklepajev: kvadrat vsote
Naloga. Kvadriraj \((2x+5)^2\).
1. korak. Prepoznamo formulo za kvadrat vsote: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), kjer je \(a = 2x\), \(b = 5\).
2. korak. Izračunamo vsak člen:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Odgovor. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Primer 2. Uporaba formule za razliko kvadratov
Naloga. Izračunaj produkt \((3x-4)(3x+4)\).
1. korak. Pred nami je produkt razlike in vsote istih izrazov — to je razlika kvadratov \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), kjer je \(a = 3x\), \(b = 4\).
2. korak. Kvadriramo vsak izraz: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Odgovor. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Primer 3. Razstavljanje na faktorje
Naloga. Razstavi na faktorje \(x^2 - 36\) in \(x^3 + 27\).
Razlika kvadratov. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Vsota kubov. Opazimo, da je \(27 = 3^3\), torej \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Uporabimo formulo \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) pri \(a = x\), \(b = 3\):
Pozoren bodi na predznak \(-3x\) v nepopolnem kvadratu — pri vsoti kubov je srednji člen z minusom.
Primer 4. Kub vsote
Naloga. Odpravi oklepaje \((x+2)^3\).
1. korak. Formula za kub vsote: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), kjer je \(a = x\), \(b = 2\).
2. korak. Izračunamo člene po vrsti:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Odgovor. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Pogoste napake pri delu s FSM
-
Pozabijo na dvakratnik produkta: pišejo $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Pri kvadratu vsote in razlike je vedno prisoten srednji člen \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Preveriti je preprosto — pomnoži \((a+b)(a+b)\) po členih in srednji člen se bo pojavil sam.
-
Zamenjajo predznake pri kvadratu razlike in razliki kvadratov.
Pri kvadratu razlike je minus le pri srednjem členu: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (zunanja člena sta s plusom). Pri razliki kvadratov pa je minus med samima kvadratoma: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). To sta različni formuli.
-
"Razdelijo" stopnjo pri kubu: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Tega ne smeš početi. Kub vsote vsebuje štiri člene: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Formula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) je nekaj povsem drugega (vsota kubov), ta se uporablja za razstavljanje na faktorje.
-
V nepopolnem kvadratu pri vsoti/razliki kubov dodajo dvakratnik produkta $2ab$.
Nepopolni kvadrat je \(a^2 \pm ab + b^2\), brez dvojke pred \(ab\). Predznak je nasproten predznaku v prvem oklepaju: vsota kubov \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), razlika kubov \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Poskušajo razstaviti vsoto kvadratov $a^2 + b^2$ na faktorje.
Na faktorje se razstavi le razlika kvadratov \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Vsota kvadratov \(a^2 + b^2\) se v šolskem programu ne razstavi na faktorje.
Vprašanja in odgovori
Koliko je skupaj formul za skrajšano množenje?
Sedem: kvadrat vsote, kvadrat razlike, razlika kvadratov, kub vsote, kub razlike, vsota kubov in razlika kubov. Vse so zbrane v tabeli zgoraj.
Čemu je enak kvadrat vsote?
Kvadratu prvega izraza plus dvakratnik produkta prvega in drugega plus kvadrat drugega: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Pri kvadratu razlike je srednji člen z minusom: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Kako razstaviti razliko kvadratov na faktorje?
Po formuli \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Na primer, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Dovolj je videti, da sta oba člena popolna kvadrata in da je med njima minus.
Zakaj $(a+b)^2$ ni enako $a^2 + b^2$?
Ker se pri množenju \((a+b)(a+b)\) pojavita še dva enaka člena \(ab\), ki tvorita srednji člen \(2ab\). Tega ne smeš izgubiti: pravilno je \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
V čem se razlikujeta kub vsote in vsota kubov?
Kub vsote \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) je odpravljanje oklepajev. Vsota kubov \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) pa je nasprotno, razstavljanje izraza na faktorje. To sta različni formuli, ne zamenjaj ju.
V katerem razredu se učimo formule za skrajšano množenje?
Običajno v 7. razredu pri algebri: najprej kvadrat vsote in razlike, razlika kvadratov, nato formule za kube. Aktivno jih uporabljamo kasneje pri poenostavljanju izrazov, krajšanju ulomkov in reševanju enačb.
