Привет! 👋 Давай решим это неравенство вместе. Вот пошаговое решение:
Задание 14
Решим неравенство: $\frac{25x^2 - 10x + 1}{5x^2 + 9x - 2} \le 0$.
- Разложим числитель и знаменатель на множители:
- Числитель: $25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2$
-
Знаменатель: $5x^2 + 9x - 2$. Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$.
$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$
Следовательно, $5x^2 + 9x - 2 = 5(x - \frac{1}{5})(x + 2) = (5x - 1)(x + 2)$
-
Перепишем неравенство с учетом разложения на множители:
$\frac{(5x - 1)^2}{(5x - 1)(x + 2)} \le 0$
-
Сократим дробь (с учетом ОДЗ):
Обратим внимание, что $x = \frac{1}{5}$ является нулем числителя и знаменателя. Поэтому рассмотрим два случая:
-
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
- $5x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$
- $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:
- $(-\infty; -2)$: Возьмем $x = -3$. Тогда $\frac{5(-3) - 1}{-3 + 2} = \frac{-16}{-1} = 16 > 0$
- $(-2; \frac{1}{5})$: Возьмем $x = 0$. Тогда $\frac{5(0) - 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} < 0$
- $(\frac{1}{5}; +\infty)$: Возьмем $x = 1$. Тогда $\frac{5(1) - 1}{1 + 2} = \frac{4}{3} > 0$
Таким образом, неравенство $\frac{5x - 1}{x + 2} \le 0$ выполняется на интервале $(-2; \frac{1}{5}]$.
-
Учтем, что $x = \frac{1}{5}$ является решением исходного неравенства:
Поскольку при $x = \frac{1}{5}$ исходное неравенство также выполняется, то включаем эту точку в решение.
-
Запишем окончательный ответ:
$x \in (-2; \frac{1}{5})$
Но так как в знаменателе $(5x-1)(x+2)$, то $x \ne \frac{1}{5}$ и $x \ne -2$. Однако, $(5x-1)^2$ в числителе, поэтому $x = \frac{1}{5}$ является решением.
Итак, решением является интервал $(-2; \frac{1}{5}) \cup {\frac{1}{5}}$. Это можно записать как $(-2; \frac{1}{5}]$.
Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{5}]$
