Рациональное неравенство — это неравенство вида \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены, а вместо знака \(>\) может стоять \(<\), \(\ge\) или \(\le\). Решают такие неравенства методом интервалов: переносят всё в левую часть, раскладывают на множители, отмечают на числовой оси нули числителя и нули знаменателя и расставляют знаки. Ниже — определение, полный алгоритм, правило выколотых точек, кратность корней, разобранные примеры и тренажёр с проверкой.
Что такое рациональное неравенство
Рациональное неравенство — это неравенство, обе части которого записаны рациональными выражениями, то есть многочленами и дробями из многочленов. После переноса всего в одну часть оно всегда сводится к виду
где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены, а на месте \(\vee\) стоит один из знаков \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Справа обязательно нуль — это условие, без которого метод интервалов не работает.
Рациональные неравенства делятся на два вида. Если переменная встречается только в числителе, неравенство называют целым рациональным: делить не на что, и подходят любые значения \(x\). Если переменная есть в знаменателе, неравенство дробно-рациональное (его же называют дробным неравенством или неравенством с дробью) — и тогда сразу появляется ограничение \(Q(x) \neq 0\).
Почему нельзя умножать обе части на знаменатель
Самое сильное искушение при решении неравенства с дробью — «избавиться от знаменателя», умножив на него обе части. С уравнениями так делать можно, с неравенствами — нет. Причина простая: при умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается, а знак выражения \(Q(x)\) заранее неизвестен — он зависит от \(x\).
Посмотрим на неравенство \(\frac{5}{x-3} < 1\). Умножим обе части на \(x - 3\), как будто это положительное число: получится \(5 < x - 3\), то есть \(x > 8\). Проверим ответ подстановкой \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — неравенство верное, значит нуль тоже решение, но в ответ \(x > 8\) он не попал. Ответ потерян.
Правильный путь — перенести всё влево и привести к одной дроби:
На последнем шаге мы умножили обе части на \(-1\) и перевернули знак — это законно, потому что \(-1\) отрицательно всегда. Дальше работает метод интервалов, и ответ получается \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — в нём есть и потерянный нуль.
Запомнить проще всего так: умножать обе части на выражение с переменной нельзя, переносить слагаемые — можно всегда. Перенос знак неравенства не меняет.
Метод интервалов: алгоритм решения по шагам
Метод интервалов опирается на одно свойство: между соседними нулями рационального выражения его знак постоянен. Значит, достаточно найти все точки, где числитель или знаменатель обращается в нуль, разбить ими числовую ось и определить знак на каждом куске — по одной пробной точке или по кратности корней.
Выколотые и закрашенные точки: ОДЗ и знак неравенства
Ошибка в одной скобке превращает верное решение в неверный ответ, поэтому правило про точки стоит выучить отдельно. Работают ровно два соображения.
Первое — область допустимых значений. Нуль знаменателя выкалывается всегда, при любом знаке неравенства. В этой точке дробь просто не существует: делить на нуль нельзя, поэтому число не может быть решением, даже если знак нестрогий.
Второе — строгий знак или нестрогий. Нули числителя обращают дробь в нуль. При нестрогом знаке (\(\le\) или \(\ge\)) равенство нулю нас устраивает, значит точка закрашивается и входит в ответ квадратной скобкой. При строгом знаке (\(<\) или \(>\)) нуль не подходит, и точка выкалывается.
Например, у неравенства \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) точка \(x = 6\) закрашивается (нуль числителя, знак нестрогий), а точка \(x = -1\) выкалывается (нуль знаменателя). Ответ: \(x \in (-1; 6]\).
| Что за точка | Как отмечаем |
|---|---|
| Нуль знаменателя, Q(x) = 0 | выколотая всегда, при любом знаке — точки нет в ОДЗ |
| Нуль числителя, знак строгий < или > | выколотая дробь равна нулю, а нужен строго другой знак |
| Нуль числителя, знак нестрогий ≤ или ≥ | закрашенная равенство нулю подходит, точка входит в ответ |
Кратность корней: где знак меняется, а где нет
Знаки на промежутках не обязаны просто чередоваться — это самое частое заблуждение в теме. Чередование работает только тогда, когда все скобки входят в первой степени. Правило точнее звучит через кратность корня — показатель степени соответствующей скобки.
При переходе через корень нечётной кратности (степень 1, 3, 5) знак выражения меняется. При переходе через корень чётной кратности (степень 2, 4) знак не меняется: скобка в чётной степени неотрицательна и знака выражения не портит. Считается кратность одинаково и для числителя, и для знаменателя.
Возьмём \((x-9)^2(x+3) > 0\). Корни: \(x = 9\) кратности 2 и \(x = -3\) кратности 1. Справа от девятки выражение положительно. Переходим через \(9\) — кратность чётная, знак сохраняется, на промежутке \((-3; 9)\) тоже плюс. Переходим через \(-3\) — кратность нечётная, знак меняется на минус. Ответ строгого неравенства: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), точка \(9\) выколота, потому что там выражение равно нулю. А у нестрогого \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) ответ уже другой: \(x \in [-3; +\infty)\) — девятка закрашивается и «склеивает» два промежутка в один.
| Кратность корня | Знак при переходе |
|---|---|
| Нечётная: (x − a), (x − a)3 | меняется |
| Чётная: (x − a)2, (x − a)4 | не меняется |
Числовая ось на примере: расставляем знаки
Соберём всё вместе на неравенстве \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Нули числителя: \(x = -7\). Нули знаменателя: \(x = 2\) и \(x = 5\), они же задают ОДЗ. Все три скобки в первой степени, поэтому знаки чередуются. Пробная точка \(x = 10\) в самом правом промежутке даёт \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — начинаем с плюса и идём влево, меняя знак на каждой точке.
Примеры решения рациональных неравенств
Пример 1. Простое дробное неравенство
Решить \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Шаг 1. Справа уже нуль, дробь уже одна — переносить и приводить нечего.
Шаг 2. ОДЗ. \(x + 5 \neq 0\), то есть \(x \neq -5\).
Шаг 3. Нули. Числитель равен нулю при \(x = 3\), знаменатель — при \(x = -5\).
Шаг 4. Точки на оси. \(x = 3\) закрашиваем (нуль числителя, знак нестрогий), \(x = -5\) выкалываем (нуль знаменателя).
Шаг 5. Знаки. Пробная точка \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — справа плюс. Обе скобки в первой степени, значит знаки чередуются: на \((-5; 3)\) минус, на \((-\infty; -5)\) плюс. Проверим: при \(x = -6\) получаем \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — сходится.
Шаг 6. Ответ. Нужен знак «плюс или нуль»: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Пример 2. Справа не нуль — переносим
Решить \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Шаг 1. Переносим единицу влево. Умножать на \(x - 4\) нельзя, знак этого выражения неизвестен:
Шаг 2. Приводим к одной дроби.
Шаг 3. ОДЗ. \(x \neq 4\).
Шаг 4. Точки. \(x = -5\) — нуль числителя, знак нестрогий, закрашиваем. \(x = 4\) — нуль знаменателя, выкалываем.
Шаг 5. Знаки. При \(x = 5\) дробь равна \(\frac{10}{1} > 0\). Значит на \((4; +\infty)\) плюс, на \((-5; 4)\) минус, на \((-\infty; -5)\) плюс.
Шаг 6. Ответ. \(x \in [-5; 4)\). Проверка граничных точек: при \(x = -5\) дробь равна нулю — подходит для \(\le\); при \(x = 4\) дроби нет — не подходит.
Пример 3. Корень чётной кратности и изолированная точка
Решить \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Шаг 1. ОДЗ. \(x \neq 9\).
Шаг 2. Нули и кратности. \(x = 2\) — кратность 2 (чётная), \(x = -6\) — кратность 1, \(x = 9\) — кратность 1 в знаменателе.
Шаг 3. Точки. \(x = 2\) и \(x = -6\) закрашиваем (нули числителя при нестрогом знаке), \(x = 9\) выкалываем.
Шаг 4. Знаки. Пробная точка \(x = 10\): числитель положителен, знаменатель равен 1 — плюс. Идём влево. Через \(9\) (кратность нечётная) знак меняется: на \((2; 9)\) минус. Через \(2\) (кратность чётная) знак не меняется: на \((-6; 2)\) тоже минус. Через \(-6\) (кратность нечётная) знак меняется: на \((-\infty; -6)\) плюс.
Шаг 5. Ответ. Берём промежутки со знаком «плюс» плюс все точки, где выражение равно нулю. Точка \(x = 2\) лежит внутри минусового промежутка, но само выражение там равно нулю, значит она входит в ответ отдельно:
Такая «одинокая» точка в ответе — верный признак корня чётной кратности при нестрогом знаке.
Пример 4. Сокращение дроби: ловушка с ОДЗ
Решить \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Шаг 1. Раскладываем на множители. Числитель — полный квадрат: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Для знаменателя считаем дискриминант: \(D = 81 + 40 = 121\), корни \(x_1 = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = -2\), поэтому \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Шаг 2. ОДЗ — до всякого сокращения. \(5x - 1 \neq 0\) и \(x + 2 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{1}{5}\) и \(x \neq -2\).
Шаг 3. Сокращаем. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), но только при \(x \neq \frac{1}{5}\) — сокращение не возвращает выколотую точку обратно.
Шаг 4. Решаем \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Нули: \(\frac{1}{5}\) и \(-2\). При \(x = 1\) дробь равна \(\frac{4}{3} > 0\). Значит на \((\frac{1}{5}; +\infty)\) плюс, на \((-2; \frac{1}{5})\) минус, на \((-\infty; -2)\) плюс.
Шаг 5. Возвращаем ОДЗ. Промежуток \((-2; \frac{1}{5}]\) подошёл бы по знаку, но точка \(\frac{1}{5}\) выколота: в исходном неравенстве знаменатель \(5x^2+9x-2\) при \(x = \frac{1}{5}\) обращается в нуль, дроби там не существует.
Ответ: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — обе скобки круглые.
Пример 5. Квадратный трёхчлен в числителе
Решить \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Шаг 1. Раскладываем числитель. По теореме Виета сумма корней равна 7, произведение 10, значит \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Неравенство принимает вид \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Шаг 2. ОДЗ. \(x \neq -4\).
Шаг 3. Точки. Все три точки выколоты: \(-4\) — нуль знаменателя, \(2\) и \(5\) — нули числителя при строгом знаке.
Шаг 4. Знаки. Пробная точка \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Все скобки в первой степени, поэтому знаки чередуются: на \((5; +\infty)\) плюс, на \((2; 5)\) минус, на \((-4; 2)\) плюс, на \((-\infty; -4)\) минус.
Шаг 5. Ответ. Нужен строгий минус: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Контроль подстановкой: при \(x = -5\) получаем \(\frac{70}{-1} < 0\), при \(x = 3\) получаем \(\frac{-2}{7} < 0\) — оба промежутка подходят.
Частые ошибки при решении рациональных неравенств
-
Умножают обе части на знаменатель: из $\frac{3}{x-8} > 1$ делают $3 > x - 8$ и пишут $x < 11$.
Знак выражения \(x - 8\) заранее неизвестен, а при умножении на отрицательное неравенство переворачивается. Проверка: \(x = 0\) даёт \(\frac{3}{-8} < 1\) — нуль не решение, хотя попал в ответ \(x < 11\). Правильно: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), то есть \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), откуда \(x \in (8; 11)\).
-
Закрашивают нуль знаменателя, потому что знак нестрогий: у $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ пишут ответ с квадратной скобкой у семёрки.
Нуль знаменателя выкалывается всегда, при любом знаке: в этой точке дроби просто не существует. Верный ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — у единицы скобка квадратная, у семёрки круглая.
-
Сокращают дробь и теряют ОДЗ: из $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ получают $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ и включают в ответ точку $x = -3$.
ОДЗ выписывают до сокращения, по исходному знаменателю: \(x \neq -3\) и \(x \neq 5\). Сокращённая дробь \(\frac{x+3}{x-5}\) неположительна на \([-3; 5)\) — при \(x = 0\) она равна \(-0{,}6\), что и требуется для знака \(\le\). Но точка \(-3\) выколота по ОДЗ, поэтому ответ — \((-3; 5)\), а не \([-3; 5)\).
-
Считают, что знаки на промежутках всегда чередуются, и для $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ ставят минус справа от единицы.
Чередование верно только при скобках в первой степени. Корень \(x = 1\) имеет кратность 2, значит знак через него не меняется. Выражение положительно на всём \((-4; +\infty)\), кроме самой единицы, где оно равно нулю. Ответ: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Меняют знак неравенства при переносе слагаемого: из $\frac{x}{x-2} \le 3$ делают $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Перенос слагаемого из одной части в другую знак неравенства не меняет — меняется только знак самого слагаемого. Знак переворачивается лишь при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Верно: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), дальше \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), то есть \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Отмечают на оси только нули числителя, а знаменатель проверяют «потом»: для $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ ставят одну точку $-11$.
На оси отмечают все нули сразу — и числителя, и знаменателя, иначе промежутки получатся неверные. Здесь \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), поэтому точек три: \(-11\), \(-4\) и \(4\), а не одна. Все выколоты (знак строгий), ответ: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Вопросы и ответы
Что такое рациональное неравенство?
Это неравенство, обе части которого — рациональные выражения (многочлены и дроби из многочленов). После переноса всего в левую часть оно сводится к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены, а вместо \(>\) может стоять \(<\), \(\le\) или \(\ge\).
Как решать рациональные неравенства?
Методом интервалов за шесть шагов: перенести всё влево, чтобы справа остался нуль; свести к одной дроби и разложить числитель и знаменатель на множители; выписать ОДЗ (\(Q(x) \neq 0\)); отметить на числовой оси нули числителя и знаменателя; расставить знаки на промежутках по пробной точке и кратности корней; выписать в ответ промежутки с нужным знаком.
Чем дробно-рациональное неравенство отличается от целого рационального?
У целого рационального переменная стоит только в числителе, например \((x-1)(x+4) > 0\), и ОДЗ — все действительные числа. У дробно-рационального переменная есть в знаменателе, например \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), и появляется ограничение \(x \neq -4\). Алгоритм при этом один и тот же — меняются только выколотые точки.
Как решать неравенства с дробью?
Так же, как любое рациональное: сначала перенести всё в левую часть и привести к одной дроби, а не избавляться от знаменателя. Например, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) превращается в \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), то есть \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Числитель постоянный и отрицательный, значит дробь неотрицательна только при отрицательном знаменателе: \(x + 2 < 0\). Ответ: \(x \in (-\infty; -2)\).
Почему нельзя умножать обе части неравенства на знаменатель?
Потому что знак знаменателя зависит от \(x\): при умножении на положительное выражение знак неравенства сохраняется, а при умножении на отрицательное — переворачивается. Заранее неизвестно, какой случай перед вами, поэтому часть решений теряется, а часть добавляется лишними. Переносить слагаемые можно всегда — перенос знак неравенства не меняет.
Как найти ОДЗ в неравенстве?
Для рационального неравенства ОДЗ — это все значения \(x\), при которых знаменатель не обращается в нуль. Приравняйте знаменатель к нулю, решите уравнение и исключите найденные числа. Выписывать ОДЗ нужно по исходному знаменателю, до сокращения дроби, — иначе выколотые точки потеряются.
Какие точки выколотые, а какие закрашенные?
Нули знаменателя выколоты всегда, при любом знаке неравенства. Нули числителя закрашиваются при нестрогом знаке (\(\le\) или \(\ge\)) и выкалываются при строгом (\(<\) или \(>\)). В записи ответа выколотой точке соответствует круглая скобка, закрашенной — квадратная.
Что такое кратность корня и зачем она нужна в методе интервалов?
Кратность — это степень, в которой скобка входит в разложение. При переходе через корень нечётной кратности знак выражения меняется, при переходе через корень чётной кратности — сохраняется. Именно поэтому знаки не всегда просто чередуются: у \((x-9)^2(x+3)\) в точке \(9\) знак остаётся прежним.
В каком классе проходят рациональные неравенства?
В 9 классе на уроках алгебры, после квадратных неравенств и разложения многочленов на множители. Метод интервалов дальше используется для показательных, логарифмических и иррациональных неравенств, а также в заданиях ОГЭ и профильного ЕГЭ.
