Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm \(ax^2 + bx + c = 0\), waarbij \(a \neq 0\). Het aantal wortels wordt bepaald door de discriminant \(D = b^2 - 4ac\), en de wortels zelf worden gevonden met de formule \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Op deze pagina vind je alles over het onderwerp: standaardvorm en coëfficiënten, drie soorten incomplete vergelijkingen, discriminant en drie gevallen, de wortelformule en zijn 'even' variant, genormaliseerde vergelijking en de stelling van Vieta, ontbinden in factoren en bikwadratische vergelijkingen — met stap-voor-stap voorbeelden, analyse van veelvoorkomende fouten en een interactieve trainer.
Wat is een kwadratische vergelijking
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm
waarbij \(x\) de onbekende is en \(a\), \(b\), \(c\) getallen (coëfficiënten), met \(a \neq 0\). Deze notatie wordt de standaardvorm van een kwadratische vergelijking genoemd: links staan de termen in afnemende volgorde van de macht, rechts staat nul.
De voorwaarde \(a \neq 0\) is geen formaliteit. Juist de term \(ax^2\) maakt de vergelijking kwadratisch: als \(a = 0\), blijft \(bx + c = 0\) over, oftewel een gewone lineaire vergelijking met één wortel. Daarom wordt bij opgaven met een parameter eerst gecontroleerd of de hoogste coëfficiënt niet nul wordt.
Een vergelijking naar de standaardvorm brengen is bijna altijd mogelijk: haakjes wegwerken, alle termen naar de linkerkant verplaatsen en gelijke termen samenvoegen. Bijvoorbeeld, \(5x^2 = 3x - 2\) wordt na verplaatsing \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), waaruit \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Het woord 'kwadratische vergelijking' betekent precies hetzelfde — het is gewoon een andere naam.
Volledige en incomplete kwadratische vergelijkingen
Als alle drie de coëfficiënten ongelijk aan nul zijn, wordt de vergelijking volledig genoemd. Als \(b\) of \(c\) (of beide) nul zijn — incompleet. Er zijn precies drie soorten incomplete vergelijkingen, en geen daarvan vereist de discriminant: elk wordt in één of twee regels opgelost, en dit is de snelste manier om tijd te besparen op een toets.
Het kernidee voor \(ax^2 + bx = 0\) is het buiten haakjes halen van de gemeenschappelijke factor. Het product \(x(ax + b)\) is nul dan en slechts dan als ten minste één factor nul is, hieruit volgen direct twee wortels. Voor \(ax^2 + c = 0\) is het idee anders: druk \(x^2\) uit en kijk naar het teken van het resulterende getal — het kwadraat van een reëel getal kan niet negatief zijn.
| Soort vergelijking | Hoe op te lossen |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Breng c naar rechts en deel door a: x2 = −c/a. Neem de wortel, zonder het tweede teken te verliezen.x = 5 en x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Haal x buiten haakjes: x(ax + b) = 0. Een product is nul als een van de factoren nul is.x = 0 en x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Deel door a en neem de wortel van nul. Er is altijd precies één wortel.x = 0 |
Discriminant: hoe te berekenen en hoeveel wortels er zijn
De discriminant is een getal dat wordt berekend uit de coëfficiënten van een volledige vergelijking:
Het woord zelf betekent 'onderscheider': de discriminant lost niets op, hij onderscheidt alleen drie situaties — twee wortels, één wortel of helemaal geen wortels. Daarom wordt de vraag 'hoeveel wortels heeft de vergelijking' opgelost zonder de wortels zelf te vinden.
Bereken \(D\) zorgvuldig: \(b^2\) is altijd positief, zelfs als \(b\) zelf negatief is, en de tekens van \(a\) en \(c\) maken deel uit van het product \(4ac\) zoals ze zijn. Neem \(x^2 + 4x - 5 = 0\): hier is \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), dus \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). De discriminant is positief, en er zullen twee wortels zijn.
Wortelformule van een kwadratische vergelijking
Wanneer \(D \ge 0\), worden de wortels gevonden met de hoofdformule van het onderwerp:
Het teken \(\pm\) betekent twee berekeningen: één keer met optellen, de andere keer met aftrekken. Bij \(D = 0\) geven beide berekeningen hetzelfde getal \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — deze wortel wordt een dubbele wortel genoemd.
De twee plekken waar de meeste fouten worden gemaakt: in de teller staat min \(b\) (voor \(b = -7\) is dit \(+7\)), en in de noemer staat \(2a\), niet zomaar 2. Als \(a = 1\) is het verschil niet zichtbaar, dus de fout komt juist naar voren waar de hoogste coëfficiënt verschilt van één.
Laten we \(2x^2 - 9x - 5 = 0\) oplossen: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), dus \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) en \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Even tweede coëfficiënt: formule met D₁
Als \(b\) een even getal is, is het handig om het te schrijven als \(b = 2k\) en de 'verminderde' discriminant te berekenen:
De getallen in de berekeningen worden vier keer kleiner (\(D = 4D_1\)), en het teken van \(D_1\) is hetzelfde als dat van \(D\) — dus de conclusie over het aantal wortels verandert niet.
Voorbeeld: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Hier is \(b = 8\), dus \(k = 4\), en \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Dan \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) en \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Met de gewone formule zou je met \(D = 100\) moeten werken — hetzelfde resultaat, maar meer rekenwerk.
Genormaliseerde vergelijking en de stelling van Vieta
Een vergelijking met \(a = 1\) wordt genormaliseerd genoemd en geschreven als \(x^2 + px + q = 0\). Elke kwadratische vergelijking kan tot deze vorm worden gereduceerd door te delen door \(a\): bijvoorbeeld, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) wordt na deling door 4 \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
De genormaliseerde vorm is waardevol omdat de stelling van Vieta ervoor geldt: de som van de wortels is gelijk aan \(-p\), en het product is gelijk aan \(q\). Voor \(x^2 - 7x + 10 = 0\) zijn twee getallen nodig met een som van 7 en een product van 10 — dat zijn 2 en 5, en de discriminant hoefde niet berekend te worden.
Het raden van wortels met Vieta is handig als de wortels gehele getallen zijn en klein, en het controleert ook gratis het antwoord gevonden via de discriminant: de som moet \(-p\) zijn, het product \(q\). Formules voor de algemene vorm, de omgekeerde stelling en het algoritme voor raden worden besproken in een apart materiaal — stelling van Vieta.
Ontbinden van een kwadratische trinoom in factoren
Als de wortels \(x_1\) en \(x_2\) zijn gevonden, wordt de kwadratische trinoom ontbonden in factoren:
De factor \(a\) mag niet vergeten worden — zonder deze is de gelijkheid niet meer correct. Het controleren van de ontbinding is altijd eenvoudig: werk de haakjes weg en vergelijk met de oorspronkelijke trinoom. Zeg, voor \(x^2 + 2x - 8\) zijn de wortels 2 en \(-4\), dus \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Het omgekeerde werkt ook: als de trinoom mondeling ontbonden kon worden, zijn de wortels direct zichtbaar en is de discriminant niet nodig. Hierbij helpen merkwaardige producten — bijvoorbeeld, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) geeft direct de wortels \(4\) en \(-4\).
Een derde methode om zonder de wortelformule te werken is het kwadraat afsplitsen. In \(x^2 + 6x + 5 = 0\) worden de eerste twee termen aangevuld tot een kwadraat van een som: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), dus \((x + 3)^2 = 4\), waaruit \(x + 3 = \pm 2\) en \(x = -1\) of \(x = -5\). Juist met deze methode wordt de wortelformule in algemene vorm afgeleid.
Vergelijkingen die te herleiden zijn tot kwadratische: bikwadratische
Een bikwadratische vergelijking heeft de vorm \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): de machten zijn alleen even. Het wordt opgelost door de substitutie \(t = x^2\), met de voorwaarde \(t \ge 0\) — het kwadraat van een reëel getal kan niet negatief zijn.
Na de substitutie ontstaat een gewone kwadratische vergelijking \(at^2 + bt + c = 0\). Deze wordt opgelost met de discriminant, en vervolgens wordt voor elke niet-negatieve wortel \(t\) teruggegaan naar \(x = \pm\sqrt{t}\). Vandaar het aantal wortels: tot vier.
Bijvoorbeeld, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) wordt na substitutie \(t^2 - 5t + 4 = 0\) met wortels \(t = 1\) en \(t = 4\). Beide zijn positief, dus \(x = \pm 1\) en \(x = \pm 2\) — vier wortels in totaal. Als een van de \(t\)-waarden negatief zou zijn, zou deze simpelweg worden weggelaten.
Met dezelfde methode worden breuk-rationale vergelijkingen (na reductie tot een gemeenschappelijke noemer en het weglaten van verboden waarden) en vergelijkingen met substituties van de vorm \(t = x^2 + 3x\) opgelost.
Voorbeelden van het oplossen van kwadratische vergelijkingen
Voorbeeld 1. Volledige vergelijking, D > 0
Los op \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Stap 1. De vergelijking is al in standaardvorm: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Stap 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — er zijn twee wortels.
Stap 3. \(\sqrt{D} = 5\), dus \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Stap 4. Controle door substitutie. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Antwoord: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Voorbeeld 2. Discriminant is nul
Los op \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Stap 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Stap 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — er is één wortel.
Stap 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Stap 4. Controle. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Antwoord: \(x = 1{,}5\). Merk op: het linkerlid is een volkomen kwadraat \((2x - 3)^2\), dus de wortel is één.
Voorbeeld 3. Negatieve discriminant
Los op \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Stap 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Stap 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Stap 3. De discriminant is negatief, dus \(\sqrt{D}\) kan niet getrokken worden binnen de reële getallen. De wortelformule hoeft niet toegepast te worden — de oplossing is hier beëindigd.
Antwoord: geen reële wortels. Dit is een volledig antwoord, geen teken van een fout: de grafiek van de functie \(y = 2x^2 + 3x + 5\) snijdt de x-as simpelweg niet.
Voorbeeld 4. Incomplete vergelijking van de vorm ax² + c = 0
Los op \(3x^2 - 27 = 0\).
Stap 1. Verplaats de constante term: \(3x^2 = 27\).
Stap 2. Deel door 3: \(x^2 = 9\).
Stap 3. Het kwadraat is 9 voor twee getallen: \(x = 3\) en \(x = -3\). Het tweede teken wordt het vaakst vergeten.
Stap 4. Controle. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Antwoord: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Vergelijk met de vergelijking \(2x^2 + 8 = 0\): daar is \(x^2 = -4\), en er zijn geen reële wortels.
Voorbeeld 5. Incomplete vergelijking van de vorm ax² + bx = 0
Los op \(5x^2 - 15x = 0\).
Stap 1. Haal de gemeenschappelijke factor buiten haakjes: \(5x(x - 3) = 0\).
Stap 2. Het product is nul als een van de factoren nul is: \(5x = 0\) of \(x - 3 = 0\).
Stap 3. Hieruit volgt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Stap 4. Controle. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Antwoord: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Als je de oorspronkelijke vergelijking deelt door \(x\), blijft alleen \(x = 3\) over — de wortel \(x = 0\) gaat verloren. Delen door een uitdrukking met een onbekende is niet toegestaan.
Voorbeeld 6. Even tweede coëfficiënt
Los op \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Stap 1. \(b = -22\) is even, dus \(k = -11\), en \(a = 5\), \(c = 8\).
Stap 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Stap 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Stap 4. Controle. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Antwoord: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). De gewone discriminant zou \(D = 324\) geven — hetzelfde antwoord, maar het zou langer duren om te berekenen.
Voorbeeld 7. Eerst naar standaardvorm brengen
Los op \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Stap 1. Werk de haakjes weg: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), dus \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Stap 2. Verplaats de negen naar links: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Pas nu kunnen we de coëfficiënten opschrijven: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Stap 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Stap 4. Controle in de oorspronkelijke vergelijking. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Antwoord: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Een veelvoorkomende fout hier is om elke haakjes gelijk te stellen aan 9: de regel 'het product is nul' geldt alleen voor nul.
Voorbeeld 8. Ontbinden van een trinoom in factoren
Ontbind \(2x^2 - 5x - 3\) in factoren.
Stap 1. Stel de trinoom gelijk aan nul en vind de wortels: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Stap 2. Substitueer in de formule \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Stap 3. Het is handig om de twee in de tweede haakjes te brengen: \((x - 3)(2x + 1)\).
Stap 4. Controle door haakjes weg te werken. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Antwoord: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Voorbeeld 9. Bikwadratische vergelijking
Los op \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Stap 1. Substitutie \(t = x^2\), waarbij \(t \ge 0\). De vergelijking wordt \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Stap 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Stap 3. Beide waarden zijn niet-negatief, dus we gaan terug naar \(x\): uit \(x^2 = 9\) krijgen we \(x = \pm 3\), uit \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Stap 4. Controle. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Voor negatieve waarden geven even machten dezelfde getallen.
Antwoord: \(x = \pm 2\) en \(x = \pm 3\) — vier wortels.
Veelvoorkomende fouten bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen
-
De discriminant berekenen zonder de vergelijking naar standaardvorm te brengen: voor $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ nemen ze direct $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Eerst alles naar links verplaatsen en gelijke termen samenvoegen: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), dus \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Pas hieruit volgt \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). De wortelformule werkt uitsluitend met de standaardvorm.
-
Het teken verliezen bij het kwadrateren van $b$: voor $x^2 - 9x + 14 = 0$ schrijven ze $D = -81 - 56$.
Het kwadraat van elk getal is niet-negatief: \((-9)^2 = 81\), niet \(-81\). Correct is \(D = 81 - 56 = 25\), wortels \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), dus 7 en 2. Controle: \(49 - 63 + 14 = 0\) en \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
In de teller $b$ laten staan in plaats van $-b$: voor $x^2 + 5x - 6 = 0$ berekenen ze $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
In de formule staat \(-b\), dus bij \(b = 5\) in de teller staat \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), waaruit \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Substitutie bevestigt: \(1 + 5 - 6 = 0\) en \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Bij $D = 0$ schrijven 'geen wortels': bij $x^2 + 14x + 49 = 0$ is de discriminant nul, en de oplossing wordt afgebroken.
Er zijn geen wortels alleen bij \(D < 0\). Bij \(D = 0\) is er precies één wortel: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Controle: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
De vergelijking $4x^2 - 9x = 0$ delen door $x$ en één wortel $x = 2{,}25$ krijgen.
Delen door een uitdrukking met een onbekende is niet toegestaan: \(x\) kan nul zijn, en de wortel \(x = 0\) gaat verloren. Correct is de factor buiten haakjes halen: \(x(4x - 9) = 0\), waaruit \(x_1 = 0\) en \(x_2 = 2{,}25\). Controle: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
In de vergelijking $x^2 = 16$ alleen $x = 4$ noteren.
Het kwadraat is 16 ook voor het getal \(-4\). Beide wortels moeten genoteerd worden: \(x = \pm 4\). Betrouwbaarder is het oplossen via de standaardvorm \(x^2 - 16 = 0\), dus \((x - 4)(x + 4) = 0\) — dan zijn beide factoren direct zichtbaar.
-
De voorwaarde $a \neq 0$ in een vergelijking met een parameter niet controleren: in $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ wordt direct de discriminant berekend.
Bij \(m = 2\) wordt de hoogste coëfficiënt nul, en de vergelijking wordt lineair \(3x - 1 = 0\) met één wortel \(x = \dfrac{1}{3}\). De geval \(m = 2\) wordt apart behandeld, en de wortelformule wordt alleen toegepast bij \(m \neq 2\).
Vragen en antwoorden
Wat is een kwadratische vergelijking?
Het is een vergelijking van de vorm \(ax^2 + bx + c = 0\), waarbij \(a\), \(b\), \(c\) getallen zijn en \(a \neq 0\). De onbekende komt erin voor in de tweede macht, dus er kunnen twee, één of geen wortels zijn.
Hoe ziet de standaardvorm van een kwadratische vergelijking eruit?
De standaard (algemene) vorm is \(ax^2 + bx + c = 0\): alle termen zijn links verzameld in afnemende volgorde van de macht, rechts staat nul. Elke kwadratische vergelijking wordt hiertoe herleid voordat de discriminant wordt berekend.
Hoe bereken je de discriminant?
Volgens de formule \(D = b^2 - 4ac\), waarbij de coëfficiënten met hun tekens worden ingevuld. Bijvoorbeeld, voor \(x^2 + 3x - 10 = 0\) krijgen we \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), en de wortels zijn \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), dus 2 en \(-5\).
Wat is de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), of korter \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Deze wordt toegepast bij \(D \ge 0\); in de noemer staat precies \(2a\), niet 2.
Hoeveel wortels kan een kwadratische vergelijking hebben?
Niet meer dan twee. Bij \(D > 0\) zijn er twee wortels, bij \(D = 0\) — één (dubbele wortel), bij \(D < 0\) zijn er geen reële wortels.
Wat is een incomplete kwadratische vergelijking?
Het is een vergelijking waarbij \(b = 0\), \(c = 0\) of beide tegelijk: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Alle drie worden opgelost zonder discriminant — door de term te verplaatsen of \(x\) buiten haakjes te halen.
Hoe los je kwadratische vergelijkingen op zonder discriminant?
Er zijn drie manieren: wortels raden met de stelling van Vieta voor een genormaliseerde vergelijking, ontbinden in factoren en het kwadraat afsplitsen. Het snelst werkt het raden, wanneer de wortels kleine gehele getallen zijn.
Wat te doen als de discriminant negatief is?
Noteer dat er geen reële wortels zijn en beëindig de oplossing. Een negatieve discriminant is een normaal antwoord: de grafiek van de bijbehorende parabool snijdt de x-as niet. Wortels bestaan in dat geval alleen binnen de complexe getallen, en die worden later bestudeerd.
Hoe controleer je de gevonden wortels?
Substitueer elke wortel in de oorspronkelijke vergelijking — er moet een ware gelijkheid uitkomen. Voor een genormaliseerde vergelijking is er ook een snelle controle met de stelling van Vieta: de som van de wortels is \(-p\), het product is \(q\).
Zijn een kwadratische vergelijking en een kwadratische vergelijking hetzelfde?
Ja, het zijn twee namen voor hetzelfde object \(ax^2 + bx + c = 0\). Verwar het niet met de kwadratische functie \(y = ax^2 + bx + c\): de wortels van de vergelijking zijn juist de x-coördinaten van de punten waar de grafiek van de functie de x-as snijdt.
In welk leerjaar worden kwadratische vergelijkingen behandeld?
In de 8e klas algebra: eerst incomplete vergelijkingen, daarna discriminant, wortelformule en stelling van Vieta. Verder komt het onderwerp terug bij kwadratische functies, ongelijkheden, en opgaven voor OGE en EGE.
