De Stelling van Vieta legt een verband tussen de wortels van een kwadratische vergelijking en de coëfficiënten ervan: voor de gereduceerde vergelijking \(x^2 + px + q = 0\) is de som van de wortels gelijk aan \(-p\), en het product gelijk aan \(q\). Dit maakt het mogelijk om de wortels mondeling te vinden — door te raden, zonder de discriminant. Op deze pagina vind je de exacte formules voor de gereduceerde vergelijking en voor de algemene vorm, de omgekeerde stelling van Vieta, het algoritme voor het raden van wortels, uitgewerkte voorbeelden en een interactieve trainer.
Wat is de Stelling van Vieta
De Stelling van Vieta is een regel die de wortels van een kwadratische vergelijking verbindt met de coëfficiënten ervan. De formulering is als volgt: als \(x_1\) en \(x_2\) de wortels zijn van de gereduceerde kwadratische vergelijking \(x^2 + px + q = 0\), dan geldt:
Met woorden: de som van de wortels is gelijk aan de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de constante term. Het minteken bij de som is het allerbelangrijkste punt van het hele onderwerp: er staat expliciet \(-p\), niet \(p\).
Voor een vergelijking van de algemene vorm \(ax^2 + bx + c = 0\) (waarbij \(a \neq 0\)) worden de formules verkregen door te delen door \(a\):
De stelling werkt alleen als er reële wortels zijn, dat wil zeggen bij \(D \ge 0\). Als de discriminant negatief is, is er niets te raden: er bestaan geen reële getallen met zo'n som en zo'n product.
Gereduceerde vergelijking en algemene vorm: waar te delen door a
Een kwadratische vergelijking wordt gereduceerd genoemd als de coëfficiënt van \(x^2\) gelijk is aan één: \(x^2 + px + q = 0\). Juist voor deze vergelijking is de stelling van Vieta het kortst, daarom begint het raden van wortels altijd met het reduceren.
Als \(a \neq 1\), wordt de vergelijking eerst term voor term gedeeld door \(a\). Bijvoorbeeld, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) wordt na deling door \(3\) omgezet in \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), dus \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Hieruit volgt \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) en \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Dezelfde gedachte kan direct voor de algemene vorm worden opgeschreven, zonder de vergelijking te reduceren: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). De meest gemaakte fout is het toepassen van de 'korte' formules \(-p\) en \(q\) op een niet-gereduceerde vergelijking en een som van 10 te krijgen in plaats van \(\frac{10}{3}\).
Omgekeerde stelling van Vieta
De stelling van Vieta heeft een omgekeerde stelling, en deze maakt het mogelijk om vergelijkingen door te raden op te lossen. De formulering is als volgt: als de getallen \(m\) en \(n\) zodanig zijn dat
dan zijn \(m\) en \(n\) de wortels van de vergelijking \(x^2 + px + q = 0\).
Het verschil is principieel. De directe stelling gaat van de wortels naar de coëfficiënten: de wortels zijn al bekend, we krijgen verbanden ertussen. De omgekeerde stelling gaat van de coëfficiënten naar de wortels: we raden een paar getallen met de juiste som en het juiste product — en we hebben het volste recht om ze wortels te noemen, er hoeft niets meer bewezen te worden.
Hieruit volgt ook een nuttige regel: als \(x_1\) en \(x_2\) de wortels zijn, dan kan de polynoom worden ontbonden in factoren \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Bijvoorbeeld, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Wortels raden met de stelling van Vieta: algoritme
Het raden van wortels is de belangrijkste praktische toepassing van de stelling. Het werkt sneller dan de discriminant wanneer de wortels gehele getallen zijn, en bestaat uit vijf stappen.
Tekens van de wortels volgens de coëfficiënten p en q
Zelfs vóór het raden kun je bepalen welke tekens de wortels zullen hebben — je hoeft alleen maar naar de tekens van \(p\) en \(q\) te kijken. Dit verkort het raden aanzienlijk: je ziet meteen of je moet zoeken naar een paar van twee positieve getallen, twee negatieve getallen of getallen met verschillende tekens.
| p en q | Wortels | Voorbeeld |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | beide > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | beide < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | verschillende tekens | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 en −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Stelling van Vieta of discriminant: wat te kiezen
De formule voor de wortels via de discriminant \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) werkt altijd, maar vereist berekeningen. De stelling van Vieta werkt onmiddellijk, maar alleen als de wortels te raden zijn — meestal zijn dit kleine gehele getallen.
Een praktische regel is als volgt:
- de vergelijking is gereduceerd, en \(q\) kan worden ontbonden in een paar kleine factoren → probeer raden met Vieta, het antwoord is mondeling te vinden;
- de coëfficiënten zijn groot of gebroken, de wortels zijn niet binnen 10–15 seconden te raden → bereken de discriminant;
- alleen het aantal wortels of de tekens van de wortels zijn nodig, de wortels zelf niet → \(D\) en de tekentabel hierboven zijn voldoende.
Een combinatie is ook nuttig: bereken de discriminant en vind de wortels — controleer het antwoord met Vieta. De som moet \(-p\) zijn, het product \(q\). Zo'n controle duurt een paar seconden en vangt bijna elke rekenfout.
Voorbeelden van oplossingen met de stelling van Vieta
Voorbeeld 1. Wortels raden: beide wortels zijn positief
Los op \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Stap 1. De vergelijking is gereduceerd: \(p = -9\), \(q = 20\).
Stap 2. We controleren de discriminant: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — er zijn twee wortels.
Stap 3. We schrijven de verbanden op: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Stap 4. We doorlopen de ontbindingen van het getal 20: \(1\cdot 20\) (som 21), \(2\cdot 10\) (som 12), \(4\cdot 5\) (som 9) — het laatste paar past. Beide factoren zijn positief, omdat \(q > 0\) en \(p < 0\).
Stap 5. Controle door substitutie. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Antwoord: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Voorbeeld 2. Wortels met verschillende tekens
Los op \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Stap 1. De vergelijking is gereduceerd: \(p = 3\), \(q = -28\).
Stap 2. \(q < 0\), dus de wortels hebben verschillende tekens en de discriminant is gegarandeerd positief: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Stap 3. Verbanden: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Stap 4. Ontbindingen van 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Een verschil van 3 is nodig — het paar 4 en 7 past. Omdat de som negatief is, nemen we de wortel met de grootste absolute waarde met een minteken: \(4\) en \(-7\).
Stap 5. Controle. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Antwoord: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Voorbeeld 3. Vergelijking van algemene vorm (a ≠ 1)
Los op \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Stap 1. De coëfficiënt \(a = 3\), dus de 'korte' formules \(-p\) en \(q\) kunnen niet worden toegepast. We gebruiken de algemene vorm: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Stap 2. Het product is 1 — dus de wortels zijn wederzijds omgekeerd: als de ene \(t\) is, is de andere \(\tfrac{1}{t}\). De som \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) suggereert \(t = 3\), want \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Stap 3. Controle door substitutie. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Antwoord: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Voorbeeld 4. Stel een vergelijking op uit zijn wortels
Opdracht. Stel een gereduceerde kwadratische vergelijking op waarvan de wortels \(-4\) en \(6\) zijn.
Stap 1. We berekenen de som en het product: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Stap 2. Volgens de omgekeerde stelling van Vieta zijn de coëfficiënten \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) en \(q = x_1 x_2 = -24\). Hier zit de belangrijkste valkuil: \(p\) is de som met het tegenovergestelde teken.
Stap 3. We schrijven de vergelijking op: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Stap 4. Controle door substitutie. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Antwoord: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Dezelfde uitkomst geeft de ontbinding \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Voorbeeld 5. Controleer een antwoord van iemand anders met de stelling van Vieta
Opdracht. Een leerling heeft de vergelijking \(x^2 + 5x + 6 = 0\) opgelost en het antwoord genoteerd: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Controleer of hij geen fout heeft gemaakt.
Stap 1. Volgens Vieta moet gelden \(x_1 + x_2 = -p = -5\) en \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Stap 2. Bij het voorgestelde antwoord klopt het product (\(2\cdot 3 = 6\)), maar de som niet: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Dus het antwoord is onjuist: het minteken is vergeten.
Stap 3. We zoeken het juiste paar: getallen met een product van 6 en een som van \(-5\) — dat zijn \(-2\) en \(-3\) (beide negatief, omdat \(q > 0\) en \(p > 0\)).
Stap 4. Controle door substitutie. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Antwoord: de juiste wortels zijn \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Veelvoorkomende fouten bij het werken met de stelling van Vieta
-
Het minteken bij de som wordt vergeten: er wordt $x_1 + x_2 = p$ geschreven in plaats van $x_1 + x_2 = -p$.
Het minteken staat alleen bij de som, het product wordt met hetzelfde teken genomen: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Controleer met de eenvoudige vergelijking \(x^2 - 5x + 6 = 0\): hier is \(p = -5\), de som van de wortels is 5, en de wortels zijn inderdaad 2 en 3.
-
Formules $-p$ en $q$ toepassen op een niet-gereduceerde vergelijking: voor $2x^2 - 9x + 4 = 0$ zeggen ze 'som 9, product 4'.
Zolang \(a \neq 1\), gelden de formules van de algemene vorm: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). De wortels hier zijn 4 en \(\tfrac{1}{2}\), niet 4 en 1. Of deel eerst de gehele vergelijking door \(a\).
-
Wortels raden zonder de discriminant te controleren: bij $x^2 + x + 1 = 0$ proberen ze een paar getallen te vinden met een som van $-1$ en een product van $1$.
Zorg er eerst voor dat er wortels zijn: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), er zijn geen reële wortels, dus raden is niet mogelijk. De stelling van Vieta werkt alleen bij \(D \ge 0\).
-
Een paar raden alleen op basis van het product, zonder de som te controleren: voor $x^2 - 8x + 12 = 0$ nemen ze 3 en 4, omdat hun product 12 is.
Beide verbanden moeten tegelijkertijd worden gecontroleerd. Voor \(x^2 - 8x + 12 = 0\) geven paren (1; 12), (2; 6), (3; 4) het product 12, maar alleen het paar 2 en 6 geeft de som 8. Controle: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) en \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Bij het opstellen van een vergelijking uit wortels, wordt $p$ gelijkgesteld aan de som: voor wortels 2 en 5 schrijven ze $x^2 + 7x + 10 = 0$.
De coëfficiënt \(p\) is gelijk aan de som met het tegenovergestelde teken: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), dus \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Substitutie bevestigt dit: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Denken dat de stelling van Vieta alleen geldt voor gehele wortels, en deze niet gebruiken om een antwoord te controleren.
De verbanden \(x_1 + x_2 = -p\) en \(x_1 x_2 = q\) gelden voor alle reële wortels — gehele, gebroken en irrationale. Mondeling raden is alleen handig voor gehele getallen, maar voor de andere blijft de stelling een snelle manier om een met de discriminant gevonden antwoord te controleren.
Vragen en antwoorden
Hoe luidt de stelling van Vieta in eenvoudige bewoordingen?
Als een gereduceerde kwadratische vergelijking \(x^2 + px + q = 0\) wortels heeft, dan is hun som gelijk aan de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, en het product is gelijk aan de constante term: \(x_1 + x_2 = -p\) en \(x_1 x_2 = q\).
Wat zijn de som en het product van de wortels van de vergelijking $ax^2 + bx + c = 0$?
Voor een vergelijking van de algemene vorm is de som van de wortels \(-\dfrac{b}{a}\), en het product \(\dfrac{c}{a}\). Deze formules worden verkregen uit het gereduceerde geval door de gehele vergelijking te delen door \(a\).
Hoe verschilt de omgekeerde stelling van Vieta van de directe stelling?
De directe stelling gaat van de wortels naar de coëfficiënten: als je de wortels kent, krijg je de som \(-p\) en het product \(q\). De omgekeerde stelling gaat andersom: als een paar getallen de juiste som en het juiste product oplevert, dan zijn deze getallen de wortels van de vergelijking. Juist de omgekeerde stelling maakt het mogelijk om vergelijkingen door te raden op te lossen.
Hoe raad je wortels met de stelling van Vieta?
Breng de vergelijking naar de vorm \(x^2 + px + q = 0\), zorg ervoor dat \(D \ge 0\), schrijf \(x_1 + x_2 = -p\) en \(x_1 x_2 = q\) op, doorloop de ontbindingen van het getal \(q\) in paren van factoren en kies het paar waarvan de som gelijk is aan \(-p\). Bijvoorbeeld, voor \(x^2 + 6x + 8 = 0\) zijn getallen nodig met een product van 8 en een som van \(-6\) — dat zijn \(-2\) en \(-4\).
Werkt de stelling van Vieta als de coëfficiënt van $x^2$ niet gelijk is aan één?
Ja, maar in de vorm van de algemene vergelijking: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). De korte formules \(-p\) en \(q\) zijn alleen geldig voor de gereduceerde vergelijking, dus bij \(a \neq 1\) wordt de vergelijking eerst gedeeld door \(a\).
Wat te doen als de wortels met de stelling van Vieta niet te raden zijn?
Dat betekent dat de wortels geen gehele getallen zijn of helemaal niet bestaan. Bereken de discriminant: bij \(D < 0\) zijn er geen reële wortels, en bij \(D \ge 0\) vind je de wortels met de formule \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) en controleer daarna het antwoord met de stelling van Vieta.
Hoe bepaal je de tekens van de wortels zonder de vergelijking op te lossen?
Aan de hand van de tekens van \(p\) en \(q\) bij \(D \ge 0\): als \(q > 0\) en \(p < 0\) — beide wortels zijn positief; als \(q > 0\) en \(p > 0\) — beide wortels zijn negatief; als \(q < 0\) — de wortels hebben verschillende tekens; als \(q = 0\) — één van de wortels is nul.
In welke klas wordt de stelling van Vieta behandeld?
In de 8e klas tijdens algebra lessen, direct na kwadratische vergelijkingen en de discriminant. Daarna wordt deze gebruikt bij het ontbinden van een kwadratische trinoom in factoren \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), bij het onderzoeken van wortels met een parameter en in opgaven voor het OGE en EGE.
