De rekenkundige vierkantswortel van een getal \(a\) is het getal waarvan het kwadraat gelijk is aan \(a\), en de rekenkundige vierkantswortel is alleen de niet-negatieve waarde ervan: \(\sqrt{25} = 5\). Je kunt alleen de wortel trekken uit niet-negatieve getallen, maar de eigenschappen van de wortel maken omslachtige uitdrukkingen kort. Op deze pagina — definitie en domein, alle eigenschappen van de vierkantswortel met formules, tabel van vierkantswortels van 1 tot 20, methoden om de wortel te trekken en een factor naar buiten te halen, uitgewerkte voorbeelden, veelvoorkomende fouten en een interactieve trainer.
Wat is de vierkantswortel van een getal
De vierkantswortel van een getal \(a\) is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan \(a\). Het trekken van een wortel en het kwadrateren zijn wederzijds omgekeerde bewerkingen: uit \(7^2 = 49\) volgt direct dat de vierkantswortel van 49 gelijk is aan 7.
Maar een positief getal heeft precies twee vierkantswortels, die alleen van elkaar verschillen door het teken: \(5^2 = 25\) en \((-5)^2 = 25\), dus de vierkantswortels van 25 zijn zowel \(5\) als \(-5\). Om ervoor te zorgen dat de notatie \(\sqrt{25}\) één enkel getal aanduidt, is afgesproken: het teken \(\sqrt{\phantom{a}}\) geeft alleen de niet-negatieve wortel aan. Dit wordt de rekenkundige wortel genoemd.
De notatie heeft eigen namen: het teken \(\sqrt{\phantom{a}}\) is de radicaal, en het getal of de uitdrukking eronder is de radicand.
Rekenkundige vierkantswortel: definitie en domein
De rekenkundige vierkantswortel van een niet-negatief getal \(a\) is het niet-negatieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan \(a\). Het wordt genoteerd als \(\sqrt{a}\) en gelezen als 'wortel van a'.
De definitie bevat twee voorwaarden, en beide zijn even belangrijk:
- de radicand is niet-negatief: \(a \ge 0\);
- de waarde van de wortel is niet-negatief: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Hieruit volgt direct: \(\sqrt{25} = 5\), en niet \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); en de notatie \(\sqrt{-9}\) heeft geen betekenis in de reële getallen — er is geen getal waarvan het kwadraat negatief is.
De eerste voorwaarde bepaalt het domein van de uitdrukking met de wortel. Bijvoorbeeld, \(\sqrt{x-7}\) is zinvol als \(x - 7 \ge 0\), dus als \(x \ge 7\): elke kleinere waarde van \(x\) plaatst een negatief getal onder de wortel.
Uit de definitie volgt ook de gelijkheid \((\sqrt{a})^2 = a\) voor \(a \ge 0\): het kwadrateren van de wortel geeft het getal onder de wortel terug. Dit geldt zelfs als we de wortel zelf niet precies kunnen berekenen: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabel van vierkantswortels: kwadraten van getallen van 1 tot 20
Een wortel wordt precies uitgetrokken als de radicand een perfect kwadraat is. Daarom werkt de kwadrattabel ook als een tabel van vierkantswortels: je leest hem in beide richtingen — \(14^2 = 196\), dus \(\sqrt{196} = 14\).
De tabel helpt niet alleen met gehele getallen:
- decimale breuken: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), omdat \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- gewone breuken: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — de wortel wordt apart uit de teller en apart uit de noemer getrokken;
- ronde getallen: \(\sqrt{2500} = 50\), want \(2500 = 25 \cdot 100\), en de wortel van elke factor is bekend.
Eigenschappen van de vierkantswortel
De eigenschappen van de vierkantswortel maken het mogelijk om uitdrukkingen te berekenen zonder elke wortel afzonderlijk te trekken, en om het antwoord te vereenvoudigen.
De wortel van een product is gelijk aan het product van de wortels: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) voor \(a \ge 0\) en \(b \ge 0\). Bijvoorbeeld, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — hetzelfde antwoord als \(\sqrt{144}\).
De wortel van een quotiënt is gelijk aan het quotiënt van de wortels: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) voor \(a \ge 0\) en \(b > 0\). Bijvoorbeeld, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). De voorwaarde \(b > 0\) is strikt: delen door nul is niet toegestaan.
De wortel van een kwadraat is gelijk aan de absolute waarde: \(\sqrt{a^2} = |a|\), en dit geldt voor elk getal \(a\). Hier ligt de belangrijkste subtiliteit van het hele onderwerp. Als \(a \ge 0\), verandert er niets: \(\sqrt{7^2} = 7\). Maar bij een negatieve \(a\) wordt het teken 'rechtgetrokken': \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), en niet \(-6\) — want de rekenkundige wortel kan niet negatief zijn.
Het kwadraat van een wortel geeft het getal onder de wortel terug: \((\sqrt{a})^2 = a\) voor \(a \ge 0\).
Maar voor de som en het verschil van vergelijkbare eigenschappen bestaan er niet: de wortel van een som is niet gelijk aan de som van de wortels. Dit is de meest voorkomende fout van het onderwerp, de analyse — hieronder.
| Eigenschap en voorwaarde | Voorbeeld |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bvoor a ≥ 0 en b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bvoor a ≥ 0 en b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|voor elke a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = avoor a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bvoor b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Hoe een vierkantswortel uit een getal te trekken
Een rekenmachine is niet altijd bij de hand, en schoolopdrachten zijn bijna altijd zo gekozen dat de wortel getrokken kan worden. De procedure is als volgt.
- Controleer de kwadrattabel. Als het getal in de tabel staat, is het antwoord klaar: \(\sqrt{289} = 17\).
- Scheid een ronde factor. Bij getallen met nullen is het handig om \(100\), \(10\,000\) enz. af te zonderen: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Ontbind in priemfactoren. Dit is een universele methode: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), deel de exponenten door twee en je krijgt \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Verander een decimale breuk in een gewone breuk. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Tegelijkertijd voorkomt dit verlies van een cijfer.
- Als er geen perfect kwadraat is — de wortel is irrationaal. Dan laat je hem in het antwoord staan met het symbool (zo schrijf je: \(\sqrt{30}\)), of je schat hem tussen twee opeenvolgende kwadraten.
De controle duurt een seconde: kwadrateer het verkregen getal en kijk of het oorspronkelijke getal terugkomt. \(24^2 = 576\) — klopt.
Een factor naar buiten halen onder het wortelteken
Een wortel wordt zelden 'rauw' gelaten — alles wat eruit getrokken kan worden, wordt eruit gehaald. De eigenschap \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) voor \(b \ge 0\) werkt: we zoeken de grootste kwadratische deler van het getal onder de wortel.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
De omgekeerde bewerking — een factor onder de wortel brengen: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) voor \(a \ge 0\). Bijvoorbeeld, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Met een negatieve factor moet je voorzichtig zijn: een minteken gaat niet onder de wortel en blijft ervoor staan. De juiste notatie is \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), en niet \(\sqrt{12}\).
Waarom is dit nodig: na het naar buiten halen van een factor worden wortels met dezelfde radicand gelijksoortige termen, en kun je ze optellen. En het onder de wortel brengen van een factor is de snelste manier om twee uitdrukkingen met wortels te vergelijken.
Wat is de vierkantswortel die niet uitkomt
Als het getal onder de wortel geen perfect kwadraat is, is de wortel een irrationaal getal: de decimale weergave is oneindig en niet-periodiek. Bijvoorbeeld, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), en de exacte waarde wordt alleen met het symbool \(\sqrt{2}\) genoteerd. Een afgerond antwoord wordt alleen gegeven als daarom wordt gevraagd in de opdracht.
Je kunt zo'n wortel zonder rekenmachine schatten: zoek twee opeenvolgende perfecte kwadraten waartussen het getal onder de wortel ligt. De vergelijkingsregel werkt: voor \(a \ge 0\) en \(b \ge 0\) geldt dat uit \(a < b\) volgt \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — een groter getal onder de wortel correspondeert met een grotere wortel.
Voorbeelden van berekeningen met vierkantswortels
Voorbeeld 1. Waarde van een uitdrukking met wortels
Bereken \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Stap 1. \(\sqrt{121} = 11\), omdat \(11^2 = 121\).
Stap 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), omdat \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Stap 3. De wortel van de breuk trekken we uit de teller en de noemer: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Stap 4. Optellen: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Antwoord: 11.
Voorbeeld 2. Wortel van een product
Bereken \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Stap 1. Deze wortels kunnen niet afzonderlijk getrokken worden, dus voegen we ze samen tot één: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Stap 2. Bereken het product onder de wortel: \(8 \cdot 18 = 144\).
Stap 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Andere methode — factoren vooraf naar buiten halen: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) en \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), dan \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). De antwoorden komen overeen.
Antwoord: 12.
Voorbeeld 3. Wortel trekken door ontbinding in factoren
Bereken \(\sqrt{576}\) en \(\sqrt{6400}\).
Stap 1. Het getal 576 staat niet in de kwadrattabel, dus ontbinden we het in priemfactoren: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Stap 2. De exponenten delen we door twee: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Stap 3. Controle. \(24^2 = 576\) — klopt.
Stap 4. Bij het getal 6400 is het handiger om een ronde factor af te zonderen: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Controle: \(80^2 = 6400\).
Antwoord: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Voorbeeld 4. Factor naar buiten halen en gelijksoortige termen combineren
Vereenvoudig \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Stap 1. We halen de factoren onder de wortel vandaan: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), dus \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Stap 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Stap 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Stap 4. Alleen wortels met dezelfde radicand kunnen worden opgeteld: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), en de term met \(\sqrt{3}\) blijft apart.
Antwoord: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Voorbeeld 5. Wortel van een kwadraat met een variabele
Vereenvoudig \(\sqrt{(x-4)^2}\) voor \(x < 4\).
Stap 1. Volgens de eigenschap van de wortel van een kwadraat is \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — we schrijven direct de absolute waarde, niet \(x - 4\).
Stap 2. We heffen de absolute waarde op volgens de voorwaarde. Als \(x < 4\), dan is het verschil \(x - 4\) negatief, en de absolute waarde van een negatief getal is het tegengestelde getal: \(|x-4| = 4 - x\).
Stap 3. Controle. Laten we \(x = 1\) nemen: links \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), rechts \(4 - 1 = 3\) — het klopt.
Antwoord: \(4 - x\). Ter vergelijking, voor \(x \ge 4\) zou het antwoord \(x - 4\) zijn.
Voorbeeld 6. Vergelijken van uitdrukkingen met wortels
Vergelijk \(3\sqrt{5}\) en \(5\sqrt{2}\).
Stap 1. Beide getallen zijn positief, dus brengen we de factor onder de wortel: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Stap 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Stap 3. We vergelijken de getallen onder de wortel: \(45 < 50\), en een groter getal onder de wortel correspondeert met een grotere wortel.
Antwoord: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Veelvoorkomende fouten bij het werken met vierkantswortels
-
Schrijven $\sqrt{a^2} = a$, waarbij de absolute waarde wordt vergeten.
De juiste gelijkheid is \(\sqrt{a^2} = |a|\). Voor een negatief getal is dit cruciaal: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), en niet \(-13\). De rekenkundige wortel kan niet negatief zijn, dus het teken onder de wortel wordt 'rechtgetrokken'.
-
Denken dat de wortel van een som gelijk is aan de som van de wortels: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Zo'n eigenschap bestaat niet. Eerst voeren we de bewerking onder de wortel uit: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), en niet 7. Eigenschappen gelden alleen voor producten en quotiënten: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) en \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Antwoorden dat $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — de rekenkundige wortel is altijd één en niet-negatief. Twee waarden verschijnen in een andere opdracht: de vergelijking \(x^2 = 49\) heeft de oplossingen \(x = 7\) en \(x = -7\). De notatie van de wortel mag niet verward worden met de oplossing van een vergelijking.
-
Schrijven $\sqrt{-16} = -4$, redenerend 'min keer min'.
Een negatief getal kan niet onder de wortel staan: \((-4)^2 = 16\), en niet \(-16\), dus \(\sqrt{-16}\) bestaat niet in de reële getallen. Maar de uitdrukking \(-\sqrt{16} = -4\) is volkomen correct — het minteken staat voor de wortel, niet eronder.
-
Brengen een negatieve factor onder de wortel: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
De regel \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) geldt alleen voor \(a \ge 0\). Het minteken blijft ervoor staan: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Controle met tekens: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), en \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — de getallen zijn tegengesteld.
-
Verliezen een cijfer bij een decimale breuk: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Controleer met de omgekeerde kwadratuur: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), klopt niet. Correct is \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), want \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Een betrouwbare methode is overstappen op een gewone breuk: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Zijn ervan overtuigd dat de wortel altijd kleiner is dan het getal zelf.
Dit geldt alleen voor getallen groter dan één. Op het interval van 0 tot 1 is het omgekeerde waar: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), en \(0{,}5\) is groter dan \(0{,}25\). En voor 0 en 1 is de wortel gelijk aan het getal zelf.
Vragen en antwoorden
Wat is de rekenkundige vierkantswortel in eenvoudige bewoordingen?
Het is een niet-negatief getal dat, wanneer het gekwadrateerd wordt, het getal onder de wortel oplevert. Het wordt genoteerd als \(\sqrt{a}\), waarbij de radicand niet-negatief moet zijn: \(a \ge 0\). Bijvoorbeeld, \(\sqrt{64} = 8\), omdat \(8 \ge 0\) en \(8^2 = 64\).
Wat is het verschil tussen een vierkantswortel en een rekenkundige vierkantswortel?
Een positief getal heeft twee vierkantswortels — tegengesteld van teken. De rekenkundige wortel is alleen de niet-negatieve ervan, en dit is wat het teken \(\sqrt{\phantom{a}}\) aangeeft. Daarom is \(\sqrt{25} = 5\), hoewel de vergelijking \(x^2 = 25\) twee oplossingen heeft: 5 en \(-5\).
Hoe trek je een vierkantswortel uit een getal zonder rekenmachine?
Controleer eerst het getal in de kwadrattabel. Als het er niet in staat — ontbind het in factoren en isoleer perfecte kwadraten: \(784 = 16 \cdot 49\), dus \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Controleer het antwoord altijd met de omgekeerde bewerking: \(28^2 = 784\).
Kun je een vierkantswortel uit een negatief getal trekken?
In de reële getallen — nee: het kwadraat van elk getal is niet-negatief, dus de uitdrukking \(\sqrt{-9}\) heeft geen betekenis. Juist vanuit deze voorwaarde wordt het domein gezocht: bijvoorbeeld, \(\sqrt{x-7}\) bestaat alleen als \(x \ge 7\).
Wat is de wortel van het kwadraat van een getal?
De absolute waarde van dat getal: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Voor een niet-negatieve \(a\) krijg je het getal zelf, voor een negatieve \(a\) het tegengestelde ervan: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Hoe haal je een factor naar buiten onder het wortelteken?
Zoek de grootste kwadratische deler van het getal onder de wortel en pas de eigenschap \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) toe. Bijvoorbeeld, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). De omgekeerde bewerking is het onder de wortel brengen van een factor: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Wat is de vierkantswortel van 2?
Het getal \(\sqrt{2}\) is irrationaal: de decimale weergave is oneindig en niet-periodiek, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Een exacte waarde als breuk bestaat niet, dus in antwoorden laat je het staan als het symbool \(\sqrt{2}\), en rond je alleen af als de opdracht dat vereist.
Hoe vergelijk je twee getallen met wortels zonder ze te berekenen?
Breng de factoren onder de wortel en vergelijk de getallen onder de wortel: een groter getal onder de wortel correspondeert met een grotere wortel. Bijvoorbeeld, \(\sqrt{17}\) en 4: omdat \(4 = \sqrt{16}\) en \(17 > 16\), geldt \(\sqrt{17} > 4\).
In welke klas worden vierkantswortels behandeld?
In de 8e klas tijdens algebra-lessen: eerst de definitie van de rekenkundige vierkantswortel en de eigenschappen ervan, vervolgens transformaties van uitdrukkingen met wortels en het oplossen van vergelijkingen van de vorm \(x^2 = a\). Daarna komen wortels voor in de discriminantformule en in opdrachten van OGE en EGE.
