Deelbaarheid van getallen: tabel en voorbeelden

Een deelbaarheidskenmerk is een regel waarmee je kunt bepalen of een getal deelbaar is door een ander getal, zonder de deling zelf uit te voeren. Je hoeft alleen naar de laatste cijfers te kijken of alle cijfers van het getal op te tellen.

Deelbaarheidskenmerken zijn handig overal waar je snel de 'structuur' van een getal wilt begrijpen:

• bij het vereenvoudigen van breuken — je ziet direct waardoor je de teller en de noemer kunt delen;
• bij het ontbinden van een getal in priemfactoren;
• bij het vinden van de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud;
• bij het snel controleren van antwoorden in sommen en opgaven.

Het is belangrijk om twee verschillende vragen niet door elkaar te halen. 'Is 3726 deelbaar door 9?' — hierop antwoordt het deelbaarheidskenmerk: de som van de cijfers 3 + 7 + 2 + 6 = 18 is deelbaar door 9, dus ja. En 'hoeveel is de uitkomst?' — dat is de deling zelf: 3726 : 9 = 414. Het kenmerk geeft alleen een 'ja' of 'nee' antwoord, maar wel direct en uit het hoofd.

Alle deelbaarheidskenmerken voor school zijn handig om bij de hand te hebben in één tabel. De kleur geeft aan waar je moet kijken: naar het laatste cijfer, naar de som van de cijfers, naar de 'staart' van twee of drie laatste cijfers, of direct naar twee kenmerken.

De makkelijkste groep: we kijken alleen naar het laatste cijfer, de rest is niet belangrijk.

• door 2 zijn alle even getallen deelbaar — die eindigen op 0, 2, 4, 6 of 8;
• door 5 — getallen die eindigen op 0 of 5;
• door 10 — getallen die eindigen op 0.

De lengte van het getal speelt geen rol: 987 654 320 is deelbaar door 2, 5 en 10, omdat het op nul eindigt. En 1435 is deelbaar door 5 (laatste cijfer 5), maar niet door 2 of 10 — het is een oneven getal.

Hieruit volgt een nuttige conclusie: door 10 zijn precies die getallen deelbaar die zowel door 2 als door 5 tegelijk deelbaar zijn.

Hier zegt het laatste cijfer niets — de som van alle cijfers van het getal is bepalend:

• een getal is deelbaar door 3 als de som van zijn cijfers deelbaar is door 3;
• een getal is deelbaar door 9 als de som van zijn cijfers deelbaar is door 9.

Als de som groot is, kun je het kenmerk opnieuw toepassen: bij het getal 899 991 is de som van de cijfers 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, en bij 45 is de som 4 + 5 = 9 — dus het oorspronkelijke getal is deelbaar door zowel 9 als 3.

De kenmerken lijken op elkaar, maar vervangen elkaar niet. Elk getal dat deelbaar is door 9, is ook deelbaar door 3 — want negen zelf is deelbaar door drie. Het omgekeerde geldt niet: de som van de cijfers kan deelbaar zijn door 3 en tegelijk niet deelbaar door 9, en dan voldoet het getal slechts aan één van de twee kenmerken. Beide gevallen worden hieronder besproken.

Eén laatste cijfer is hier niet genoeg — je hebt een 'staart' van meerdere laatste cijfers nodig:

• door 4 is een getal deelbaar als de laatste twee cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 4;
• door 8 — als de laatste drie cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 8;
• door 25 — als de laatste twee cijfers 00, 25, 50 of 75 vormen.

Waarom de staart volstaat: 100 is deelbaar door 4 en 25, en 1000 is deelbaar door 8. Daarom is alles wat links daarvan staat al deelbaar door het benodigde getal en heeft geen invloed op het resultaat.

Hieruit volgt een belangrijk gevolg: evenheid is niet voldoende voor vier en acht. Een getal kan even zijn, maar als de staart van twee of drie cijfers niet deelbaar is, dan is het hele getal dat ook niet. De analyse van de staarten staat hieronder.

Zes heeft geen eigen specifiek kenmerk: 6 = 2 · 3, en de factoren zijn onderling ondeelbaar. Daarom is het kenmerk samengesteld — een getal is deelbaar door 6 als het tegelijkertijd deelbaar is door 2 en door 3.

Laten we 5124 controleren: het laatste cijfer is 4 — het getal is even, dus deelbaar door 2; de som van de cijfers 5 + 1 + 2 + 4 = 12 is deelbaar door 3. Beide voorwaarden zijn voldaan → 5124 : 6 = 854.

Alleen even zijn is niet genoeg: 1000 is even, maar de som van zijn cijfers is 1 en niet deelbaar door 3, dus het getal is niet deelbaar door 6. De andere helft werkt ook niet: bij 4521 is de som van de cijfers 12 deelbaar door 3, maar het getal zelf is oneven — het is dus ook niet deelbaar door 6.

Op precies dezelfde manier worden andere samengestelde kenmerken gevormd: door 12 — deelbaar door 3 en 4, door 15 — door 3 en 5, door 18 — door 2 en 9, door 45 — door 5 en 9.

Het deelbaarheidskenmerk door 11 gebruikt de afwisselende som van de cijfers. De cijfers worden opgeteld, beginnend bij het laatste cijfer, met afwisselend een plus en een min. Als het resultaat deelbaar is door 11 (inclusief nul), dan is het hele getal ook deelbaar door 11.

Dit kenmerk wordt vaak anders geformuleerd: het verschil tussen de som van de cijfers op oneven posities en de som van de cijfers op even posities moet deelbaar zijn door 11. Dit is hetzelfde kenmerk.