Een verhouding is een gelijkheid van twee verhoudingsgetallen, bijvoorbeeld \(2:3 = 8:12\). Om verhoudingen op te lossen, heb je slechts één hulpmiddel nodig: de hoofdeigenschap van verhoudingen: het product van de extreme leden is gelijk aan het product van de middelste leden. Op school noemen ze dit de regel van het kruisproduct. Hieronder leggen we uit wat een verhoudingsgetal en een verhouding zijn, hoe je het onbekende lid vindt, wat het verschil is tussen directe en omgekeerde proportionaliteit, en analyseren we taken over recepten, schaal en prijs, en gaan we in op percentages en een trainer met 10 taken.
Wat is een verhoudingsgetal en een verhouding
Een verhoudingsgetal van twee getallen is hun quotiënt. De verhouding \(2:3\) (uitgesproken als 'twee tot drie') laat zien hoe vaak het ene getal groter is dan het andere, of welk deel het ene getal van het andere vormt. Je kunt het op twee manieren noteren: \(2:3\) of als breuk \(\frac{2}{3}\) — het is hetzelfde.
Een verhouding is een gelijkheid van twee verhoudingsgetallen:
In een verhouding staan vier getallen, en die hebben namen. De getallen aan de uiteinden van de notatie zijn de extreme leden, de getallen in het midden zijn de middelste leden. Een verhouding is correct als beide verhoudingsgetallen gelijk zijn aan hetzelfde getal.
Hoofdeigenschap van verhoudingen: de regel van het kruisproduct
Hoofdeigenschap van verhoudingen: het product van de extreme leden is gelijk aan het product van de middelste leden.
Waarom is dit zo? Vermenigvuldig beide zijden van de gelijkheid \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) met \(b \cdot d\). Aan de linkerkant valt \(b\) weg, aan de rechterkant \(d\), en er blijft precies \(a \cdot d = c \cdot b\) over. Geen magie, gewoon een eigenschap van gelijkheden.
Dit is precies wat scholieren 'verhoudingen oplossen met het kruisproduct' noemen: de getallen worden diagonaal, kruislings, vermenigvuldigd. De eigenschap werkt ook andersom: als voor vier getallen (geen van hen nul) geldt \(a \cdot d = b \cdot c\), dan kun je er een correcte verhouding mee vormen.
Hieruit volgen direct twee vaardigheden: controleren of een verhouding correct is, en er een onbekend getal in vinden.
Hoe vind je het onbekende lid van een verhouding
Uit de hoofdeigenschap volgen twee korte regels:
- onbekend extreem lid = product van middelste leden : bekend extreem lid;
- onbekend middelste lid = product van extreme leden : bekend middelste lid.
Je hoeft ze niet uit je hoofd te leren. Eén universele methode is voldoende: vermenigvuldig kruislings, krijg een gelijkheid van de vorm 'getal \(\cdot\, x\) = getal' en deel. Laten we dit stap voor stap bekijken met de verhouding \(x : 7 = 12 : 21\).
De laatste stap, de controle, duurt vijf seconden en vangt bijna elke rekenfout op, dus die mag je niet overslaan.
Directe en omgekeerde proportionaliteit
Twee grootheden worden direct evenredig genoemd als bij een verdubbeling van de ene grootheid de andere ook verdubbelt. Je koopt twee keer zoveel notitieboekjes - je betaalt twee keer zoveel. Bij zulke grootheden is hun verhoudingsgetal constant.
Grootheden zijn omgekeerd evenredig als bij een verdubbeling van de ene grootheid de andere gehalveerd wordt. Twee keer zoveel arbeiders - twee keer zo weinig dagen voor hetzelfde werk. Bij zulke grootheden is hun product constant.
Het belangrijkste verschil is te zien wanneer we de verhouding opstellen. Voor directe evenredigheid wordt deze 'zoals hij is' opgesteld: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Voor omgekeerde evenredigheid wordt het tweede verhoudingsgetal omgedraaid: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Waarom? Voor omgekeerde evenredigheid is het product constant: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Deel beide zijden door \(a_2 \cdot b_1\) - en je krijgt precies \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Dus het 'omdraaien' is geen spreuk die je moet onthouden, maar een gevolg van het feit dat het product constant blijft, niet de verhouding.
| Kenmerk | Rechtstreeks | Omgekeerd |
|---|---|---|
| Verband | meer → meer | meer → minder |
| Constant | verhouding a : b | product a × b |
| Notatie | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Voorbeeld | 3 pennen — 90 cent, 5 pennen — 150 cent | 4 schilders — 9 dagen, 6 schilders — 6 dagen |
Hoe stel je een verhouding op voor een taak: recept, schaal, prijs
Teksttaken 'over verhoudingen' worden volgens één scenario opgelost:
- Schrijf de voorwaarden in twee kolommen, zodat gelijke grootheden onder elkaar staan (porties onder porties, grammen onder grammen).
- Ken de onbekende toe met \(x\).
- Bepaal het type verband: verdubbel mentaal de eerste grootheid en kijk of de tweede groeit of daalt.
- Stel de verhouding op - voor omgekeerde evenredigheid draai je het tweede verhoudingsgetal om.
- Los op met het kruisproduct en controleer of het antwoord logisch is.
Laten we het illustreren met een recept. Voor 4 porties pannenkoeken heb je 300 g bloem nodig - hoeveel bloem voor 6 porties? Meer porties, dus meer bloem: direct verband, de verhouding wordt 'zoals hij is' opgesteld:
Voor 6 porties heb je 450 g bloem nodig. Het antwoord is logisch: het aantal porties is anderhalf keer zo groot, en de benodigde bloem is ook anderhalf keer zo groot.
Precies zo worden taken over schaal (afstand op de kaart verhoudt zich tot afstand in werkelijkheid zoals 1 tot het getal van de schaal) en prijs (hoeveelheid goederen verhoudt zich tot hoeveelheid zoals kosten tot kosten) opgelost. Volledige analyses staan in de voorbeelden hieronder.
Percentages via verhoudingen
Een percentage is een honderdste deel van een getal, dus elke eenvoudige procententaak kan worden omgezet in een verhouding:
Ergens is één van de vier getallen onbekend - dat vinden we met het kruisproduct.
Deel vinden. Hoeveel is 15% van 240? We stellen op \(x : 240 = 15 : 100\), dus \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) en \(x = 36\).
Geheel vinden. Het getal 21 is 35% van een bepaald getal. We stellen op \(21 : x = 35 : 100\), dus \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) en \(x = 60\).
Percentage vinden. Hoeveel procent is 18 van 45? We stellen op \(18 : 45 = p : 100\), dus \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) en \(p = 40\), dus 40%.
Eén methode - drie verschillende soorten taken, je hoeft niets extra's te onthouden. Apart staat alleen de vraag 'met hoeveel procent is de waarde gestegen of gedaald': daar vind je eerst de verandering, en deelt die vervolgens door de oorspronkelijke waarde - dat is al een formule voor procentuele verandering, geen eenvoudige verhouding.
Voorbeelden van het oplossen van verhoudingen met stap-voor-stap uitleg
Voorbeeld 1. Onbekend middelste lid
Taak. Vind het onbekende lid van de verhouding \(15 : x = 45 : 24\).
Stap 1. We bepalen welk lid wat is. Extreme leden zijn 15 en 24, middelste leden zijn \(x\) en 45.
Stap 2. We passen de hoofdeigenschap toe: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), dus \(360 = 45x\).
Stap 3. We delen: \(x = 360 : 45 = 8\).
Controle. \(15 : 8 = 1.875\) en \(45 : 24 = 1.875\) - de verhoudingsgetallen zijn gelijk.
Antwoord: \(x = 8\).
Voorbeeld 2. Directe evenredigheid: prijs en hoeveelheid
Taak. Zes notitieboekjes kosten 210 ₽. Hoeveel kosten 10 van zulke notitieboekjes?
Stap 1. Meer notitieboekjes - hogere prijs, dus het verband is direct.
Stap 2. We schrijven de voorwaarden zo op dat gelijke grootheden bij elkaar staan en stellen de verhouding 'zoals hij is' op:
Stap 3. Kruislings: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), dus \(x = 2100 : 6 = 350\).
Controle. Eén notitieboekje kost \(210 : 6 = 35\) ₽, en tien kosten \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Klopt.
Antwoord: 350 ₽.
Voorbeeld 3. Omgekeerde evenredigheid: arbeiders en dagen
Taak. Acht arbeiders voltooien een opdracht in 15 dagen. In hoeveel dagen voltooien 12 arbeiders dezelfde opdracht, als ze met dezelfde snelheid werken?
Stap 1. Meer arbeiders - minder dagen nodig. Het verband is omgekeerd.
Stap 2. We stellen de verhouding op door het tweede verhoudingsgetal om te draaien:
Hier is \(x\) het aantal dagen voor 12 arbeiders, en 15 is het aantal dagen voor 8 arbeiders: ze hebben van plaats gewisseld omdat het verband omgekeerd is.
Stap 3. Kruislings: \(8 \cdot 15 = 12x\), dus \(120 = 12x\) en \(x = 10\).
Controle. Het product is constant: \(8 \cdot 15 = 120\) en \(12 \cdot 10 = 120\). Het klopt, en het antwoord is logisch - het aantal dagen is minder geworden.
Antwoord: 10 dagen.
Voorbeeld 4. Schaal van de kaart
Taak. De schaal van de kaart is \(1 : 200.000\). De afstand tussen de dorpen op de kaart is 7 cm. Hoe groot is de afstand tussen hen in werkelijkheid?
Stap 1. Een schaal van \(1 : 200.000\) betekent: 1 cm op de kaart komt overeen met 200.000 cm in werkelijkheid. Dit is een kant-en-klaar verhoudingsgetal.
Stap 2. We stellen de verhouding op:
Stap 3. Kruislings: \(1 \cdot x = 200.000 \cdot 7\), dus \(x = 1.400.000\) cm.
Stap 4. We rekenen om naar handige eenheden: één kilometer is 100.000 cm, dus \(1.400.000 : 100.000 = 14\) km.
Antwoord: 14 km.
Voorbeeld 5. Percentages via verhoudingen
Taak. In de klas zitten 25 leerlingen, 60% van hen ging op kamp. Hoeveel leerlingen gingen op kamp?
Stap 1. Het geheel zijn alle 25 leerlingen, die corresponderen met 100%. Het gezochte deel is \(x\) leerlingen, die corresponderen met 60%.
Stap 2. We stellen de verhouding 'deel : geheel = percentage : 100' op:
Stap 3. Kruislings: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), dus \(x = 15\).
Controle. 15 leerlingen van de 25 is \(15 : 25 = 0.6\), dus precies 60%.
Antwoord: 15 leerlingen.
Veelvoorkomende fouten bij het oplossen van verhoudingen
-
Getallen 'langs' vermenigvuldigen in plaats van kruislings: in de verhouding 5 : 2 = 20 : 8 berekenen ze 5 · 2 en 20 · 8.
De hoofdeigenschap verbindt de extreme leden met de middelste leden, dus de getallen diagonaal: 5 · 8 = 40 en 2 · 20 = 40. De producten komen overeen - de verhouding is correct. Maar 5 · 2 en 20 · 8 zijn niet gelijk en zeggen niets.
-
In een taak over omgekeerde evenredigheid wordt een 'directe' verhouding opgesteld. Zes pompen vullen het zwembad in 10 uur; de notatie 6 : 15 = 10 : x geeft 25 uur voor 15 pompen.
Er zijn meer pompen - er is minder tijd nodig, maar het resultaat is meer tijd: dus de verhouding is niet correct opgesteld. Het tweede verhoudingsgetal moet worden omgedraaid: 6 : 15 = x : 10, dan 15x = 60 en x = 4 uur. Controleer altijd het antwoord op logica.
-
Na het 'kruisproduct' wordt er omgekeerd gedeeld: uit de gelijkheid 8x = 96 krijgen ze x = 8 : 96.
Om x te vinden, deel je het product door de factor die naast x staat: x = 96 : 8 = 12. Een goede gewoonte is om het gevonden getal terug in te vullen: 8 · 12 = 96, alles klopt.
-
Eenheden van meting worden niet geharmoniseerd. In een taak met schaal 1 : 50.000 bij 3 cm op de kaart geven ze het antwoord '1,5' zonder eenheden of noemen het meters.
Eerst rekenen we in de eenheden waarin de schaal is gegeven: 3 · 50.000 = 150.000 cm. En pas daarna rekenen we om: 150.000 cm = 1500 m = 1,5 km. De eenheden in het antwoord zijn net zo belangrijk als het getal zelf.
-
Verhoudingsgetallen en verhoudingen worden verward: op de vraag om een verhouding op te stellen, schrijven ze één verhoudingsgetal '12 : 4'.
Een verhoudingsgetal is één quotiënt: 12 : 4 = 3. Een verhouding is een gelijkheid van twee verhoudingsgetallen, er staan altijd vier getallen en een gelijkheidsteken in: 12 : 4 = 30 : 10 (we controleren: 12 · 10 = 120 en 4 · 30 = 120).
Vragen en antwoorden
Wat is het verschil tussen een verhoudingsgetal en een verhouding?
Een verhoudingsgetal is het quotiënt van twee getallen, bijvoorbeeld 12 : 4. Een verhouding is een gelijkheid van twee verhoudingsgetallen, er staan vier getallen in: 12 : 4 = 30 : 10. Een verhoudingsgetal beantwoordt de vraag 'hoeveel keer', terwijl een verhouding stelt dat twee van zulke vergelijkingen hetzelfde resultaat opleveren.
Wat zijn de extreme en middelste leden van een verhouding?
In de notatie a : b = c : d zijn de extreme leden degenen die aan de uiteinden staan, dus a en d. De middelste leden zijn degenen die in het midden staan, dus b en c. Als de verhouding als breuken is geschreven, zijn de extreme leden de teller van de eerste breuk en de noemer van de tweede, en de middelste leden zijn de noemer van de eerste en de teller van de tweede.
Hoe controleer je of een verhouding correct is?
Vermenigvuldig kruislings en vergelijk de producten. Bijvoorbeeld, voor 9 : 12 = 15 : 20 berekenen we 9 · 20 = 180 en 12 · 15 = 180 - de getallen komen overeen, dus de verhouding is correct. Als de producten verschillend zijn, is de verhouding onjuist.
Kun je de leden van een verhouding van plaats laten wisselen?
Ja, als je dat volgens de regels doet. In een correcte verhouding kun je de extreme leden van plaats laten wisselen, je kunt de middelste leden van plaats laten wisselen, of je kunt beide zijden tegelijk omdraaien - de verhouding blijft correct. Uit 4 : 6 = 10 : 15 krijg je 4 : 10 = 6 : 15 of 6 : 4 = 15 : 10 - het product diagonaal is overal 60. Maar één getal verplaatsen kan niet.
Wat betekent 'verhoudingen oplossen met het kruisproduct'?
Dit is de spreektaal voor de hoofdeigenschap van verhoudingen. Getallen worden diagonaal, kruislings, vermenigvuldigd: het extreme lid met het extreme lid en het middelste lid met het middelste lid. Dit resulteert in een vergelijking met één onbekende, die wordt opgelost door één deling. Er bestaat geen aparte 'kruisproductmethode' naast de hoofdeigenschap.
Hoe bepaal je of het verband in een taak direct of omgekeerd is?
Verdubbel mentaal de eerste grootheid en kijk naar de tweede. Als deze ook verdubbelt - is het verband direct, de verhouding wordt 'zoals hij is' opgesteld. Als deze halveert - is het verband omgekeerd, het tweede verhoudingsgetal moet worden omgedraaid. Nog een kenmerk: bij een direct verband is de verhouding van de grootheden constant, bij een omgekeerd verband is hun product constant.
Hoe los je procententaken op via verhoudingen?
Stel de verhouding 'deel : geheel = percentage : 100' op en vind het onbekende met het kruisproduct. Bijvoorbeeld, 12% van 350: we krijgen x : 350 = 12 : 100, dus 100x = 4200 en x = 42. Op dezelfde manier vind je het geheel uit het bekende deel, en het percentage zelf.
