Persamaan kuadrat ialah persamaan berbentuk \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a \neq 0\). Bilangan punca ditentukan oleh diskriminan \(D = b^2 - 4ac\), dan punca itu sendiri dicari menggunakan rumus \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Halaman ini mengumpulkan segala-galanya tentang topik ini: bentuk piawai dan pekali, tiga jenis persamaan tak lengkap, diskriminan dan tiga kes, rumus punca dan varian 'genap'nya, persamaan tak lengkap dan teorem Vieta, pemfaktoran dan persamaan bikudratik — dengan contoh langkah demi langkah, analisis kesilapan lazim dan alat latihan interaktif.
Apa itu Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ialah persamaan berbentuk
di mana \(x\) ialah pemboleh ubah tak diketahui, dan \(a\), \(b\), \(c\) ialah nombor (pekali), dengan \(a \neq 0\). Tuliskan ini dipanggil bentuk piawai persamaan kuadrat: sebutan di sebelah kiri disusun mengikut penurunan kuasa, dan sifar di sebelah kanan.
Syarat \(a \neq 0\) bukanlah formaliti. Sebutan \(ax^2\) itulah yang menjadikan persamaan itu kuadrat: jika \(a = 0\), ia menjadi \(bx + c = 0\), iaitu persamaan linear biasa dengan satu punca. Oleh itu, dalam masalah parameter, perkara pertama yang perlu diperiksa ialah sama ada pekali tertinggi tidak menjadi sifar.
Persamaan hampir selalu boleh dibawa ke bentuk piawai: buka kurungan, pindahkan semua sebutan ke sebelah kiri dan permudahkan sebutan serupa. Contohnya, \(5x^2 = 3x - 2\) selepas pemindahan menjadi \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), dari mana \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Istilah 'persamaan kuadratik' bermaksud perkara yang sama — ia hanyalah satu lagi cara untuk menamakannya.
Persamaan Kuadrat Lengkap dan Tak Lengkap
Jika ketiga-tiga pekali bukan sifar, persamaan dipanggil lengkap. Jika \(b\) atau \(c\) (atau kedua-duanya) ialah sifar — tak lengkap. Terdapat tepat tiga jenis persamaan tak lengkap, dan tiada satu pun yang memerlukan diskriminan: setiap satu diselesaikan dalam satu atau dua baris, dan ini adalah cara terpantas untuk menjimatkan masa dalam ujian.
Idea utama untuk \(ax^2 + bx = 0\) ialah mengeluarkan faktor sepunya. Hasil darab \(x(ax + b)\) ialah sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu faktor ialah sifar, dari sini terus dapat dua punca. Untuk \(ax^2 + c = 0\), idea lain ialah: ungkapkan \(x^2\) dan lihat tanda nombor yang terhasil — kuasa dua nombor sebenar tidak boleh negatif.
| Bentuk persamaan | Cara penyelesaian |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Pindahkan c ke kanan dan bahagikan dengan a: x2 = −c/a. Ambil punca, jangan lupa tanda kedua.x = 5 dan x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Keluarkan x daripada kurungan: x(ax + b) = 0. Hasil darab adalah sifar apabila salah satu faktor adalah sifar.x = 0 dan x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Bahagikan dengan a dan ambil punca sifar. Punca sentiasa tepat satu.x = 0 |
Diskriminan: Cara Mencari dan Berapa Banyak Punca
Diskriminan ialah nombor yang dikira daripada pekali persamaan lengkap:
Perkataan itu sendiri bermaksud 'pembeza': diskriminan tidak menyelesaikan apa-apa, ia hanya membezakan tiga situasi — dua punca, satu punca, atau tiada punca sama sekali. Oleh itu, persoalan 'berapa banyak punca persamaan' diselesaikan tanpa mencari punca itu sendiri.
Kira \(D\) dengan teliti: \(b^2\) sentiasa positif, walaupun \(b\) itu sendiri negatif, dan tanda \(a\) dan \(c\) dimasukkan dalam hasil darab \(4ac\) seperti adanya. Ambil \(x^2 + 4x - 5 = 0\): di sini \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), jadi \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminan adalah positif, dan akan ada dua punca.
Rumus Punca Persamaan Kuadrat
Apabila \(D \ge 0\), punca dicari menggunakan rumus utama topik ini:
Tanda \(\pm\) bermaksud dua pengiraan: sekali dengan penambahan, sekali lagi dengan penolakan. Apabila \(D = 0\), kedua-dua pengiraan memberikan nombor yang sama \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — punca ini dipanggil punca berganda.
Dua tempat yang paling kerap berlaku kesilapan: pengangka mempunyai tolak \(b\) (untuk \(b = -7\) ini ialah \(+7\)), dan penyebut ialah \(2a\), bukan sekadar \(2\). Apabila \(a = 1\), perbezaannya tidak kelihatan, jadi kesilapan hanya muncul apabila pekali tertinggi berbeza daripada satu.
Mari selesaikan \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), jadi \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) dan \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Pekali Kedua Genap: Rumus dengan D₁
Jika \(b\) ialah nombor genap, ia mudah ditulis sebagai \(b = 2k\) dan mengira diskriminan 'kecil':
Nombor dalam pengiraan menjadi empat kali ganda lebih kecil (\(D = 4D_1\)), dan tanda \(D_1\) adalah sama seperti \(D\) — jadi, kesimpulan tentang bilangan punca tidak berubah.
Contoh: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Di sini \(b = 8\), jadi \(k = 4\), dan \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Kemudian \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) dan \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Menggunakan rumus biasa, kita perlu bekerja dengan \(D = 100\) — hasil yang sama, tetapi lebih banyak aritmetik.
Persamaan Tak Lengkap dan Teorem Vieta
Persamaan dengan \(a = 1\) dipanggil tak lengkap dan ditulis sebagai \(x^2 + px + q = 0\). Mana-mana persamaan kuadrat boleh dibawa ke bentuk ini dengan membahagikan dengan \(a\): contohnya, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) selepas dibahagikan dengan 4 menjadi \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Bentuk tak lengkap adalah berharga kerana teorem Vieta berfungsi untuknya: hasil tambah punca ialah \(-p\), dan hasil darabnya ialah \(q\). Untuk \(x^2 - 7x + 10 = 0\), kita perlukan dua nombor dengan hasil tambah 7 dan hasil darab 10 — iaitu 2 dan 5, dan diskriminan tidak perlu dikira.
Padanan mengikut Vieta berguna apabila punca adalah integer dan kecil, dan ia juga menyemak jawapan yang ditemui melalui diskriminan secara percuma: hasil tambah sepatutnya memberikan \(-p\), hasil darab — \(q\). Rumus untuk bentuk umum, teorem songsang dan algoritma padanan dibincangkan dalam bahan berasingan — Teorem Vieta.
Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik
Jika punca \(x_1\) dan \(x_2\) ditemui, ungkapan kuadratik boleh difaktorkan kepada:
Jangan lupa faktor \(a\) — tanpanya, kesamaan tidak akan benar. Memeriksa pemfaktoran sentiasa mudah: buka kurungan dan bandingkan dengan ungkapan asal. Katakanlah, untuk \(x^2 + 2x - 8\), punca ialah 2 dan \(-4\), jadi \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Jalan sebaliknya juga berfungsi: jika ungkapan boleh difaktorkan secara lisan, punca akan kelihatan serta-merta dan diskriminan tidak diperlukan. Di sini, rumus algebra ringkas membantu — contohnya, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) memberikan punca \(4\) dan \(-4\) dengan serta-merta.
Cara ketiga untuk mengelakkan rumus punca ialah melengkapkan kuasa dua. Dalam \(x^2 + 6x + 5 = 0\), dua sebutan pertama dilengkapkan kepada kuasa dua jumlah: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), iaitu \((x + 3)^2 = 4\), dari mana \(x + 3 = \pm 2\) dan \(x = -1\) atau \(x = -5\). Kaedah inilah yang digunakan untuk menurunkan rumus punca dalam bentuk umum.
Persamaan yang Boleh Dikurangkan kepada Persamaan Kuadrat: Persamaan Bikudratik
Persamaan bikudratik berbentuk \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): kuasa hanya genap. Ia diselesaikan dengan penggantian \(t = x^2\), dengan syarat \(t \ge 0\) — kuasa dua nombor sebenar tidak boleh negatif.
Selepas penggantian, ia menjadi persamaan kuadrat biasa \(at^2 + bt + c = 0\). Ia diselesaikan menggunakan diskriminan, dan kemudian untuk setiap punca \(t\) yang tidak negatif, kita kembali kepada \(x = \pm\sqrt{t}\). Dari sini datangnya bilangan punca: sehingga empat.
Contohnya, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) selepas penggantian menjadi \(t^2 - 5t + 4 = 0\) dengan punca \(t = 1\) dan \(t = 4\). Kedua-duanya positif, jadi \(x = \pm 1\) dan \(x = \pm 2\) — sejumlah empat punca. Jika salah satu \(t\) adalah negatif, ia hanya akan diabaikan.
Kaedah yang sama digunakan untuk menyelesaikan persamaan pecahan-rasional (selepas membawa kepada penyebut sepunya dan mengabaikan nilai yang dilarang) dan persamaan dengan penggantian berbentuk \(t = x^2 + 3x\).
Contoh Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Contoh 1. Persamaan Lengkap, D > 0
Selesaikan \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Langkah 1. Persamaan sudah dalam bentuk piawai: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Langkah 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — ada dua punca.
Langkah 3. \(\sqrt{D} = 5\), jadi \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Langkah 4. Semakan dengan penggantian. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Jawapan: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Contoh 2. Diskriminan Sifar
Selesaikan \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Langkah 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Langkah 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — ada satu punca.
Langkah 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Langkah 4. Semakan. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Jawapan: \(x = 1{,}5\). Perhatikan: bahagian kiri ialah kuasa dua sempurna \((2x - 3)^2\), jadi punca hanya satu.
Contoh 3. Diskriminan Negatif
Selesaikan \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Langkah 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Langkah 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Langkah 3. Diskriminan negatif, jadi \(\sqrt{D}\) tidak boleh diambil dalam nombor nyata. Rumus punca tidak perlu digunakan — penyelesaian tamat di sini.
Jawapan: tiada punca nyata. Ini adalah jawapan yang sah, bukan tanda kesilapan: graf fungsi \(y = 2x^2 + 3x + 5\) hanya tidak bersilang paksi \(x\).
Contoh 4. Persamaan Tak Lengkap Jenis ax² + c = 0
Selesaikan \(3x^2 - 27 = 0\).
Langkah 1. Pindahkan pemalar: \(3x^2 = 27\).
Langkah 2. Bahagikan dengan 3: \(x^2 = 9\).
Langkah 3. Kuasa dua ialah 9 untuk dua nombor: \(x = 3\) dan \(x = -3\). Tanda kedua paling kerap hilang.
Langkah 4. Semakan. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Jawapan: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Bandingkan dengan persamaan \(2x^2 + 8 = 0\): di sana \(x^2 = -4\), dan tiada punca nyata.
Contoh 5. Persamaan Tak Lengkap Jenis ax² + bx = 0
Selesaikan \(5x^2 - 15x = 0\).
Langkah 1. Keluarkan faktor sepunya: \(5x(x - 3) = 0\).
Langkah 2. Hasil darab ialah sifar jika salah satu faktor ialah sifar: \(5x = 0\) atau \(x - 3 = 0\).
Langkah 3. Dari sini \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Langkah 4. Semakan. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Jawapan: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Jika persamaan asal dibatalkan dengan \(x\), hanya \(x = 3\) akan tinggal — punca \(x = 0\) akan hilang. Membahagikan dengan ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah tidak dibenarkan.
Contoh 6. Pekali Kedua Genap
Selesaikan \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Langkah 1. \(b = -22\) ialah genap, jadi \(k = -11\), dan \(a = 5\), \(c = 8\).
Langkah 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Langkah 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Langkah 4. Semakan. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Jawapan: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Diskriminan biasa akan memberikan \(D = 324\) — jawapan yang sama, tetapi pengiraan akan lebih lama.
Contoh 7. Bawa Dulu ke Bentuk Piawai
Selesaikan \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Langkah 1. Buka kurungan: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), iaitu \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Langkah 2. Pindahkan 9 ke sebelah kiri: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Baru sekarang boleh menyenaraikan pekali: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Langkah 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Langkah 4. Semakan dalam persamaan asal. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Jawapan: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Kesilapan lazim di sini ialah menyamakan setiap kurungan dengan 9: peraturan 'hasil darab ialah sifar' hanya berfungsi untuk sifar.
Contoh 8. Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik
Faktorkan \(2x^2 - 5x - 3\).
Langkah 1. Samakan ungkapan dengan sifar dan cari punca: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Langkah 2. Gantikan ke dalam rumus \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Langkah 3. Adalah mudah untuk memasukkan 2 ke dalam kurungan kedua: \((x - 3)(2x + 1)\).
Langkah 4. Semakan dengan membuka kurungan. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Jawapan: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Contoh 9. Persamaan Bikudratik
Selesaikan \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Langkah 1. Gantikan \(t = x^2\), di mana \(t \ge 0\). Persamaan menjadi \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Langkah 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Langkah 3. Kedua-dua nilai adalah tidak negatif, jadi kita kembali kepada \(x\): dari \(x^2 = 9\) kita dapat \(x = \pm 3\), dari \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Langkah 4. Semakan. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Untuk nilai negatif, kuasa genap memberikan nombor yang sama.
Jawapan: \(x = \pm 2\) dan \(x = \pm 3\) — empat punca.
Kesilapan Lazim dalam Penyelesaian Persamaan Kuadrat
-
Mengira diskriminan tanpa membawa persamaan ke bentuk piawai: untuk $2x^2 + 3x = x^2 + 5$, terus ambil $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Pertama, pindahkan semuanya ke kiri dan permudahkan sebutan serupa: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), iaitu \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Baru dari sini \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Rumus punca hanya berfungsi dengan bentuk piawai.
-
Kehilangan tanda apabila membundarkan $b$ kepada kuasa dua: untuk $x^2 - 9x + 14 = 0$, tulis $D = -81 - 56$.
Kuasa dua mana-mana nombor adalah tidak negatif: \((-9)^2 = 81\), bukan \(-81\). Betulnya \(D = 81 - 56 = 25\), punca \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), iaitu 7 dan 2. Semakan: \(49 - 63 + 14 = 0\) dan \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Dalam pengangka, tinggalkan $b$ bukannya $-b$: untuk $x^2 + 5x - 6 = 0$, kira $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Dalam rumus ialah \(-b\), jadi apabila \(b = 5\) pengangka ialah \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), dari mana \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Penggantian mengesahkan: \(1 + 5 - 6 = 0\) dan \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Apabila $D = 0$, tulis 'tiada punca': untuk $x^2 + 14x + 49 = 0$, diskriminan ialah sifar, dan penyelesaian dihentikan.
Tiada punca hanya apabila \(D < 0\). Apabila \(D = 0\), punca adalah tepat satu: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Semakan: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Membatalkan persamaan $4x^2 - 9x = 0$ dengan $x$ dan mendapat satu punca $x = 2{,}25$.
Membahagikan dengan ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah adalah dilarang: \(x\) boleh jadi sifar, dan punca \(x = 0\) akan hilang. Betulnya ialah mengeluarkan faktor: \(x(4x - 9) = 0\), dari mana \(x_1 = 0\) dan \(x_2 = 2{,}25\). Semakan: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
Dalam persamaan $x^2 = 16$, hanya tulis $x = 4$.
Kuasa dua ialah 16 juga untuk nombor \(-4\). Kedua-dua punca mesti ditulis: \(x = \pm 4\). Lebih selamat ialah menyelesaikannya melalui bentuk piawai \(x^2 - 16 = 0\), iaitu \((x - 4)(x + 4) = 0\) — maka kedua-dua faktor kelihatan serta-merta.
-
Tidak menyemak syarat $a \neq 0$ dalam persamaan dengan parameter: dalam $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$, terus mengira diskriminan.
Apabila \(m = 2\), pekali tertinggi menjadi sifar, dan persamaan menjadi linear \(3x - 1 = 0\) dengan satu punca \(x = \dfrac{1}{3}\). Kes \(m = 2\) dibincangkan secara berasingan, dan rumus punca hanya digunakan apabila \(m \neq 2\).
Soalan dan Jawapan
Apa itu persamaan kuadrat?
Ia ialah persamaan berbentuk \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), \(c\) ialah nombor dan \(a \neq 0\). Pemboleh ubah tak diketahui muncul dalam kuasa dua, jadi mungkin ada dua, satu, atau tiada punca.
Bagaimana rupa bentuk piawai persamaan kuadrat?
Bentuk piawai (umum) ialah \(ax^2 + bx + c = 0\): semua sebutan dikumpulkan di sebelah kiri mengikut penurunan kuasa, dan sifar di sebelah kanan. Mana-mana persamaan kuadrat dibawa ke bentuk ini sebelum mengira diskriminan.
Bagaimana mencari diskriminan?
Mengikut rumus \(D = b^2 - 4ac\), menggantikan pekali berserta tanda mereka. Contohnya, untuk \(x^2 + 3x - 10 = 0\), kita dapat \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), dan punca ialah \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), iaitu 2 dan \(-5\).
Apakah rumus punca persamaan kuadrat?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), atau lebih ringkas \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Ia digunakan apabila \(D \ge 0\); penyebutnya ialah \(2a\), bukan 2.
Berapa banyak punca yang boleh ada pada persamaan kuadrat?
Tidak lebih daripada dua. Apabila \(D > 0\), ada dua punca, apabila \(D = 0\) — satu (punca berganda), apabila \(D < 0\) tiada punca nyata.
Apa itu persamaan kuadrat tak lengkap?
Ia ialah persamaan di mana \(b = 0\), \(c = 0\), atau kedua-duanya sekali: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Ketiga-tiganya diselesaikan tanpa diskriminan — dengan memindahkan sebutan atau mengeluarkan \(x\) sebagai faktor.
Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat tanpa diskriminan?
Terdapat tiga cara: mencari punca mengikut teorem Vieta untuk persamaan tak lengkap, pemfaktoran, dan melengkapkan kuasa dua. Cara terpantas ialah mencari punca apabila punca adalah integer kecil.
Apa yang perlu dilakukan jika diskriminan negatif?
Tulis bahawa tiada punca nyata, dan tamatkan penyelesaian. Diskriminan negatif ialah jawapan yang sah: graf parabola yang sepadan tidak bersilang paksi \(x\). Punca dalam kes ini hanya wujud dalam nombor kompleks, dan ia dipelajari kemudian.
Bagaimana menyemak punca yang ditemui?
Gantikan setiap punca ke dalam persamaan asal — ia sepatutnya menghasilkan kesamaan yang betul. Untuk persamaan tak lengkap, terdapat juga semakan pantas menggunakan teorem Vieta: hasil tambah punca ialah \(-p\), hasil darabnya ialah \(q\).
Adakah persamaan kuadrat dan persamaan kuadratik sama?
Ya, ia adalah dua nama untuk objek yang sama \(ax^2 + bx + c = 0\). Jangan kelirukan ia dengan fungsi kuadratik \(y = ax^2 + bx + c\): punca persamaan ialah tepatnya koordinat-x bagi titik di mana graf fungsi bersilang paksi \(x\).
Pada tingkatan berapa persamaan kuadrat diajar?
Pada tingkatan 8 dalam algebra: mula-mula persamaan tak lengkap, kemudian diskriminan, rumus punca dan teorem Vieta. Topik ini kemudiannya muncul dalam fungsi kuadratik, ketaksamaan, dan soalan OGE dan EGE.
